科學(xué)設(shè)計真實應(yīng)用情境，充分發(fā)揮學(xué)生主體性

文/ 深圳市高級中學(xué) 邵愛國

真實應(yīng)用情景是指問題背景是現(xiàn)實問題，需要解決的問題是生活問題而不是直接的數(shù)學(xué)問題。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》指出，數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)在于讓學(xué)生能用數(shù)學(xué)的眼光去分析世界。因此通過設(shè)計真實應(yīng)用情境，在問題的解決過程中理解知識的應(yīng)用本質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。

一題多變的變式設(shè)計將章節(jié)知識融于一個“問題串”中，把相關(guān)知識最大限度的整合，學(xué)生通過自主探究變式題組，主動建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)。另外通過改變同一個問題的條件與結(jié)論，避免了因使用多個不同背景的題目而在審題上浪費時間，從而提高了效率，收到“一網(wǎng)打盡”的復(fù)習(xí)效果。

隨機事件的概率與分布列比較抽象，是學(xué)習(xí)的難點。下面，以本節(jié)課的教學(xué)為例，談?wù)勅绾慰茖W(xué)設(shè)計真實應(yīng)用情景，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，幫助學(xué)生主動建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、教學(xué)內(nèi)容分析

《概率統(tǒng)計》作為高中數(shù)學(xué)應(yīng)用部分之一，是與現(xiàn)實生活聯(lián)系最密切的內(nèi)容，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等能力的最重要應(yīng)用載體。首先古典概型是概率問題的基礎(chǔ)。其次以分布列為核心，將排列組合、期望、方差等串在一起。本節(jié)課通過真實問題情境變式探究把相關(guān)知識進行整合，引導(dǎo)學(xué)生主動建構(gòu)整體性的“認(rèn)知框架”。

教學(xué)重點：理解概率分布列的本質(zhì)，辨別超幾何分布與二項分布，掌握分布列應(yīng)用的一般步驟。

二、學(xué)生學(xué)情診斷

學(xué)生具備的知識及心理基礎(chǔ)：排列組合，古典概型，分布列，超幾何分布，二項分布。

學(xué)生直觀認(rèn)知與準(zhǔn)確理解以及靈活運用之間的矛盾：古典概型和概率分布列的理解僅僅停留在感性認(rèn)識的層面上；超幾何分布與二項分布之間的關(guān)系含混不清；在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題時，缺乏建模能力，缺乏從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力。

教學(xué)難點：理解分布列的本質(zhì)，識別不同的分布列類型。

三、教學(xué)目標(biāo)分析

1.知識與技能

①理解古典概型與離散型隨機變量的分布列的概念；

②會用古典概型求離散型隨機變量的分布列；

③會用超幾何分布和二項分布解決實際問題。

2.過程與方法

通過真實應(yīng)用情境的變式探究，能夠理解分布列的本質(zhì)，辨別超幾何分布與二項分布。

3.情感、態(tài)度與價值觀

①了解分布列的實際意義；

②通過分布列的應(yīng)用，理解事物間的相互轉(zhuǎn)化、對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系。

四、教學(xué)策略分析

在“教師是主導(dǎo)，學(xué)生是主體”理念指導(dǎo)下，教學(xué)設(shè)計主要采用自主探究式教學(xué)方法，即“真實情境—變式探究—反思升華”，注重“引、探、歸”的結(jié)合。采用真實情境激發(fā)興趣，通過真實問題的變式探究培養(yǎng)應(yīng)用意識，通過反思?xì)w納幫助學(xué)生建構(gòu)知識體系。

教學(xué)方法：

啟發(fā)式教學(xué)：始終從問題出發(fā)，層層設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生在不斷思考中獲取知識。

教學(xué)流程：創(chuàng)設(shè)情境—變式探究—有效建構(gòu)—觸摸高考

五、教學(xué)過程設(shè)計

1.創(chuàng)設(shè)情境

某商場為了促進顧客消費，決定周末舉行消費滿額抽獎活動，在一個不透明的箱子里裝了材質(zhì)大小形狀完全相同的1 個白球，2 個黑球和4 個紅球，每球有一個區(qū)別于其他球的編號，從中隨機摸出一個球，以摸到球的不同顏色作為一、二、三等獎標(biāo)準(zhǔn)，要使得中一等獎的概率最小，應(yīng)定為什么顏色？如果一次抽取兩個球，若兩個球都是紅球為一等獎，求中一等獎的概率？你還可以設(shè)計怎樣的中獎規(guī)則，能夠使中一等獎的概率不超過

設(shè)計意圖及預(yù)設(shè)：問題背景真實，學(xué)生熟悉易理解，前兩個問題難度小，學(xué)生可以通過口答加深對古典概型的理解，第三個問題開放，讓同學(xué)們感受命題過程，同時把學(xué)生的設(shè)計作為變式探究，激發(fā)興趣。

2.變式探究

變式一、設(shè)計抽獎規(guī)則為一次從中抽取3 個球，以抽取到的紅球數(shù)對應(yīng)不同的中獎等級，一共可以設(shè)為幾個獎項？怎樣對應(yīng)能夠使得中一等獎的概率最??？設(shè)計中獎規(guī)則使得中一二三等獎和不中獎的概率依次增大，并使得獎金額分別為100 元，50 元，20 元，0 元。求一次抽獎，商家需支付的平均獎金額。

設(shè)計意圖及預(yù)設(shè)：第1 問是離散型隨機變量的理解，第2 問要解決問題，必須把所有概率都求出來并進行比較，揭示了概率分布列的本質(zhì)。第3 問幫學(xué)生理解分布列的應(yīng)用本質(zhì)。

反饋評價：遞進的問題設(shè)置，揭示古典概型和超幾何分布的關(guān)系。通過解決實際問題培養(yǎng)應(yīng)用意識。

變式二、題干不變，摸球方式為：1.依次從中摸出3 個球。2.每次從中摸出1 個球，摸出后放回去，連續(xù)摸球3 次。作為商家更愿意采用哪種方式？

變式三、袋中有材質(zhì)大小形狀完全相同的1 個白球，2 個黑球和n（n≥2）個紅球，一次從中抽取 2 個球， 記抽到的紅球數(shù)不少于2 個為中獎，獎金為50 元，否則為不中獎獎金為0 元。為了使得100 個人抽獎的平均中獎金額不超過2500 元，請問商家最多應(yīng)在袋中放多少個紅球？

設(shè)計意圖及預(yù)設(shè)：變式二通過變換摸球方式，讓學(xué)生體會依次“無放回”摸球與“有放回”摸球求概率的不同，辨別超幾何分布與二項分布。變式三，通過設(shè)計實驗，加深理解獨立重復(fù)試驗的特征，每次摸球概率值相等。

反饋評價：通過小組討論，自主探究，使認(rèn)識更加深刻，知識脈絡(luò)更加明了，從而更加深刻理解超幾何分布所要滿足的概率條件是古典概型（不放回的摸球），二項分布滿足的概率條件是獨立重復(fù)試驗（有放回的摸球或者每次試驗概率不變）。

3.有效建構(gòu)

①概率分布列是一次實驗中的所有隨機變量的概率函數(shù)表示。

②超幾何分布與二項分布的區(qū)別與聯(lián)系。

④求離散型隨機變量分布列的解題流程。

4.觸摸高考

（2021 年北京卷18）為加快新冠肺炎檢測效率，某檢測機構(gòu)采取“k 合1 檢測法”，即將k 個人的拭子樣本合并檢測，若為陰性，則可以確定所有樣本都是陰性的：若為陽性，則還需要對本組的每個人再做檢測。現(xiàn)有100 人，已知其中2 人感染病毒。

（1）（i） 若采用“10 合 1 檢測法”，且兩名患者在同一組，求總檢測次數(shù)；

（ⅱ）已知10 人分成一組，分10 組，兩名感染患者在同一組的概率為，定義隨機變量X 為總檢測次數(shù)，求檢測次數(shù)X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 E（X）。

（2）若采用“5 合 1 檢測法”，檢測次數(shù) Y 的期望為 E （Y），試比較E（X）和 E（X）的大?。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果）。

設(shè)計意圖及預(yù)設(shè)：學(xué)以致用，通過高考題的訓(xùn)練進一步鞏固知識方法，加強應(yīng)用意識。

六、教學(xué)設(shè)計反思

1.設(shè)計真實情境，培養(yǎng)應(yīng)用意識

本節(jié)課從解決真實情境問題出發(fā)，從實際應(yīng)用角度提出問題并引導(dǎo)學(xué)生解決，通過把實際問題轉(zhuǎn)化為概率問題的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識。

2.變式探究整體設(shè)計優(yōu)化知識網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu)

本節(jié)課通過變式探究問題的設(shè)計，做到探中抽知，串知成鏈，動態(tài)生成，從而達到有效建構(gòu)的目的。

3.自主探究積極反思培養(yǎng)學(xué)生探究精神

本節(jié)課通過實際問題，引導(dǎo)學(xué)生自主探究并總結(jié)規(guī)律，應(yīng)該充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，引導(dǎo)學(xué)生參與到問題的設(shè)計中，不斷經(jīng)歷問題提出、解決、反思，使學(xué)生清楚地領(lǐng)會到思維的全過程。使學(xué)生在享受探究合作、尋求答案的快樂活動中培養(yǎng)探究精神。