相繼投影同步及其在保密通信中的應(yīng)用

祝曉靜，李科贊，丁 勇

(1.桂林電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,廣西 桂林 541004;2.鵬城實(shí)驗(yàn)室網(wǎng)絡(luò)空間安全研究中心,深圳 518055;3.江蘇省無(wú)錫交通高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校， 江蘇 無(wú)錫 214000)

0 引言

復(fù)雜動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)被定義為大量的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)耦合形成的網(wǎng)絡(luò)，其中每個(gè)節(jié)點(diǎn)都是一個(gè)動(dòng)態(tài)的子系統(tǒng)。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)中常用的建模工具，其中，元素被定義為節(jié)點(diǎn)，鏈接表示元素之間的交互關(guān)系。過(guò)去十多年，我們見(jiàn)證了復(fù)雜動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)在各個(gè)領(lǐng)域的發(fā)展，如生物網(wǎng)、神經(jīng)網(wǎng)、食物鏈網(wǎng)、國(guó)家電網(wǎng)、互聯(lián)網(wǎng)、保密通信技術(shù)[1-6]等。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)無(wú)處不在，因此研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的動(dòng)力學(xué)行為是很有必要的。

網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的同步性是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的一種非常有趣的現(xiàn)象。同步是一個(gè)典型的集體行為，是指所有節(jié)點(diǎn)相互同步或到達(dá)期望的軌道[7-9]。網(wǎng)絡(luò)同步由于在通信、圖像處理、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和信息科學(xué)等領(lǐng)域[10-12]的潛在應(yīng)用而受到越來(lái)越多的關(guān)注和廣泛的研究。到目前為止，關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步已經(jīng)有很多成果。Hu等[13]和Parekh等[14]分別研究了兩種特定網(wǎng)絡(luò)中的同步:小世界網(wǎng)絡(luò)和無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。隨后Mahmoud等[15]引入了復(fù)雜的混沌系統(tǒng)，研究了耦合完全相同系統(tǒng)的全局同步問(wèn)題。對(duì)于生活中的一些復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，為了更快實(shí)現(xiàn)同步，考慮添加適當(dāng)?shù)目刂破鳎纾壕€性控制、自適應(yīng)控制、間歇控制[16-18]等。

相繼投影同步是完全同步和投影同步的推廣形式，然而有關(guān)它的控制理論，特別是牽制控制理論，仍相當(dāng)缺乏。故本文對(duì)自適應(yīng)牽制控制下實(shí)現(xiàn)相繼投影同步開(kāi)展研究，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)通常由大量的節(jié)點(diǎn)構(gòu)成，出于實(shí)際考慮，引入了控制少量節(jié)點(diǎn)的思想，稱之為牽制控制策略。同時(shí)，自適應(yīng)控制方法有利于整個(gè)網(wǎng)絡(luò)獲得合適的控制增益，保證網(wǎng)絡(luò)同步[19-20]。在不完全了解耦合系統(tǒng)的模型參數(shù)、耦合強(qiáng)度及外部干擾的情況下，更宜采用自適應(yīng)控制。牽制控制和自適應(yīng)控制的成本低，在實(shí)際動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)中得到廣泛應(yīng)用。文獻(xiàn)[21]利用自適應(yīng)反饋控制方法，研究了驅(qū)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)和響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)之間的投影同步?；谝酝芯恐刑岢龅目刂品椒ǎ绻?qū)動(dòng)系統(tǒng)不是部分線性系統(tǒng)，要想實(shí)現(xiàn)投影同步，則需對(duì)驅(qū)動(dòng)響應(yīng)系統(tǒng)施加非線性控制[22]。當(dāng)比例因子推廣成矩陣或者函數(shù)時(shí)，投影同步相應(yīng)推廣為修正投影同步或函數(shù)投影同步[23-24]。Sun等[25]在驅(qū)動(dòng)響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)之上引入通信時(shí)滯，通過(guò)對(duì)響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的所有節(jié)點(diǎn)追加自適應(yīng)反饋控制器，獲得了實(shí)現(xiàn)投影同步的充分條件。盡管許多研究者對(duì)網(wǎng)絡(luò)投影同步進(jìn)行了研究，然而，關(guān)于自適應(yīng)牽制控制下實(shí)現(xiàn)相繼投影同步還是一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題。另外以往的投影同步在保密通信中的應(yīng)用，只適用于一對(duì)一發(fā)送信息。已有的保密通信系統(tǒng)都是基于低維的驅(qū)動(dòng)響應(yīng)系統(tǒng)[5-6,26]，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)單個(gè)的信息發(fā)送者，響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)單個(gè)的信息接收者。如果有多個(gè)接收者想同時(shí)接收發(fā)送者發(fā)出的信息，那么這些保密通信系統(tǒng)就不再適用了。

通過(guò)以上分析，本文做了以下工作：1)設(shè)計(jì)自適應(yīng)牽制控制策略實(shí)現(xiàn)相繼投影同步問(wèn)題，利用李亞普諾夫穩(wěn)定性理論，得到了兩個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)用的同步判據(jù)；2)將相繼投影同步的牽制控制理論運(yùn)用到保密通信，提出了一類能夠有效實(shí)現(xiàn)一對(duì)多實(shí)時(shí)發(fā)送信息信號(hào)的保密通信系統(tǒng)；3)借助數(shù)值仿真分析，檢驗(yàn)了相繼投影同步理論的準(zhǔn)確性和保密通信系統(tǒng)的可靠性。

1 網(wǎng)絡(luò)建模及預(yù)備知識(shí)

1.1 網(wǎng)絡(luò)建模

引入一類由n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)耦合而成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)[27]，描述如式(1)所示。

(1)

以及

(2)

1.2 預(yù)備知識(shí)

定義1[27]對(duì)任意的初始條件xi(0),i=0,1,2,…,n和y0(0)，如果存在M>0,α>0,t0>0,驅(qū)動(dòng)響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)(1)～(2)的解滿足

‖x0(t)-βi-1xi(t)‖≤Mexp{-αt}

(3)

對(duì)所有的t>t0,i=1,2,…,n都成立，那么稱相繼投影同步是全局指數(shù)穩(wěn)定的。

假設(shè)1[28]驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(1)是最終有界的，即存在μ>0和t0>0，?t≥t0，有‖(x0(t),y0(t))‖≤μ。

引理1[27]已知對(duì)稱矩陣A=(aik)∈Rn×n不可約，Rank(A)=n-1，且行和皆為零。記Di(d)為第i個(gè)主對(duì)角元為d且其它對(duì)角元皆為零的n階對(duì)角矩陣，其中d≥0。以下結(jié)論成立：

1)A-Dj(d)<0，其中d>0，j=1,2,…,n。

2)對(duì)任意j∈{1,2,…,n}，若d>d′≥0，則λi(A-Dj(d))≤λi(A-Dj(d′))，i=1,2,…,n。

3)對(duì)任意j,k∈{1,2,…,n}且j≠k，d>0，d′>0，有λi(A-Dj(d)-Dk(d′))≤λi(A-Dj(d))，i=1,2,…,n。

引理2[29]已知G,H為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，若H半正定，則

λi(G)≤λi(G+H),i=1,2,…,n

其中，等號(hào)對(duì)于某些i成立，當(dāng)且僅當(dāng)H是奇異的，且存在非零向量y使得Gy=λi(G)y，Hy=0，(G+H)y=λi(G+H)y同時(shí)成立。

引理3[29]對(duì)于任意實(shí)對(duì)稱n×n矩陣G和H，其特征值滿足

λk(G)+λn(H)≤λk(G+H)≤λk(G)+λ1(H)

其中，k=1,2,…,n。

2 主要結(jié)論

自適應(yīng)控制策略能有效減少控制增益的大小，從而降低控制成本。依定義1，將同步誤差定義為：ei(t)=x0(t)-βi-1xi(t),i=1,2,…,n。

(4)

證明：在自適應(yīng)控制器(4)下，驅(qū)動(dòng)響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)(1)～(2)的相繼投影同步誤差系統(tǒng)為：

當(dāng)i∈U時(shí)，

(5)

當(dāng)i?U時(shí)，

(6)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)如式(7)：

(7)

(8)

(9)

推論1給定δ>0，任選i0∈{1,2,…,n}。若存在t0，使得當(dāng)t>t0時(shí)耦合強(qiáng)度滿足

(10)

則可設(shè)計(jì)如式(11)的自適應(yīng)控制器

(11)

證明：由定理1，只需證明λ1(In?Ms(y0(t))+c(A-Di0(δi0))?Im)<0。由引理2，以及Kronecker積的性質(zhì)，我們知道，

λ1(In?Ms(y0(t))+c(A-Di0(δi0))?Im)
≤λ1(In?Ms(y0(t)))+cλ1((A-Di0(δi0)))?Im)

=λ1(Ms(y0(t)))+cλ1(A-Di0(δi0))

由引理1的結(jié)論(1)，知λ1(A-Di0(δi0))<0。于是，式(10)成立時(shí)，必有λ1(In?Ms(y0(t))+c(A-Di0(δi0))?Im)<0。取U={i0}，依定理1，得證。

只要耦合強(qiáng)度足夠大，那么由推論1可知，在自適應(yīng)控制(11)下，只需要控制一個(gè)節(jié)點(diǎn)，就能保證相繼投影同步的全局指數(shù)穩(wěn)定性。如果耦合強(qiáng)度不夠大，由定理1，那么需要控制多個(gè)節(jié)點(diǎn)。文[19]和[20]利用自適應(yīng)控制方法研究了復(fù)雜動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)的投影同步問(wèn)題，不過(guò)需要對(duì)網(wǎng)絡(luò)的所有節(jié)點(diǎn)追加控制器。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，特別是針對(duì)大規(guī)模的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，本文提出的只控制部分節(jié)點(diǎn)或一個(gè)節(jié)點(diǎn)的自適應(yīng)牽制控制方法具有較大的優(yōu)勢(shì)。

3 仿真檢驗(yàn)與保密通信上的應(yīng)用

3.1 仿真檢驗(yàn)

(12)

其中,參數(shù)σ=10,α=28,b=(8/3)，f(x0(t),y0(t))=-by0(t)+x01(t)x02(t)，且

(13)

響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)大小為n=5，其耦合矩陣選取為

(14)

圖1 自適應(yīng)控制下的時(shí)變?cè)鲆鎑i(t)Fig.1 Time-varying gain di(t) under adaptive control

圖2 自適應(yīng)控制下的相繼投影同步誤差E(t)Fig.2 Successive projective synchronization error E(t) under adaptive control

圖3 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(15)的相圖Fig.3 Phase diagram of the drive system (15)

圖4 明文z(t)，同步誤差E(t)Fig.4 Plaintext z(t), synchronization error E(t)

圖5 第1個(gè)節(jié)點(diǎn)解密后的明文z1(t)，解密誤差Fig.5 Decrypted plaintext z1(t) of the first node and decryption error

圖6 第2個(gè)節(jié)點(diǎn)解密后的明文z2(t)，解密誤差Fig.6 Decrypted plaintext z2(t) of the second node and decryption error

圖7 第3個(gè)節(jié)點(diǎn)解密后的明文z3(t)，解密誤差Fig.7 Decrypted plaintext z3(t) of the third node and decryption error

圖8 第4個(gè)節(jié)點(diǎn)解密后的明文z4(t)，解密誤差Fig.8 Decrypted plaintext z4(t) of the fourth node and decryption error

圖9 第5個(gè)節(jié)點(diǎn)解密后的明文z5(t)，解密誤差Fig.9 Decrypted plaintext z5(t) of the fifth node and decryption error

3.2 基于投影同步的混沌保密通信

基于相繼投影同步原理，本節(jié)構(gòu)建一類混沌保密通信系統(tǒng)，可實(shí)現(xiàn)一對(duì)多實(shí)時(shí)發(fā)送信息，較一對(duì)一的保密通信系統(tǒng)[5-6,26]具有更高的信息發(fā)送能力。該保密通信系統(tǒng)由發(fā)送端、接收端和解密過(guò)程構(gòu)成。

1)發(fā)射端(信息發(fā)送者)。

(15)

其中,z(t)∈R為明文，即信息信號(hào),發(fā)送端對(duì)應(yīng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。

2)接收端(信息接收者)。

(16)

其中,si(t)=β1-i(z(t),0,…,0)T+di(t)x0(t)為發(fā)送給第i個(gè)接收者的密文，即傳輸信號(hào)。x01(t)為混沌載波信號(hào)。假設(shè)信道是無(wú)損信道，即接收者能完全無(wú)損耗地收到密文。接收端對(duì)應(yīng)響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)。

3)解密過(guò)程。

不同接收者的解密過(guò)程是不一樣的，主要依賴于該接收者在響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)中的編號(hào)。當(dāng)?shù)趇個(gè)接收者收到密文si(t)后，作變換[si(t)-di(t)βi-1xi(t)]×βi-1，當(dāng)相繼投影同步發(fā)生后，就有[si(t)-di(t)βi-1xi(t)]×βi-1→(z(t),0,…,0)T,這是因?yàn)?/p>

其中,zi(t)為解密后的明文。當(dāng)相繼投影同步發(fā)生后，即ei(t)→0，就有zi(t)→z(t)，即解密成功。值得注意的是，每個(gè)接收者必須按照自己的編號(hào)進(jìn)行解密，否則就會(huì)解密失敗。而且，di(t),β這些參數(shù)起到了密鑰的作用，接收者只有準(zhǔn)確知道這些參數(shù)，才能成功地解密，大大增加了保密通信系統(tǒng)的安全性。

不難看出，系統(tǒng)(15)～(16)的相繼投影同步誤差系統(tǒng)與(6)完全一樣，這意味著第2節(jié)中的穩(wěn)定性條件完全適用于系統(tǒng)(15)～(16)的相繼投影同步。方便起見(jiàn)，不加明文時(shí)，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)仍設(shè)定為混沌的Lorenz系統(tǒng)，響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)仍由(14)給出。不過(guò)，需要注意的是，由于系統(tǒng)(15)是在Lorenz系統(tǒng)的基礎(chǔ)之上增加了信息信號(hào)，相當(dāng)于對(duì)Lorenz系統(tǒng)做了擾動(dòng)。此時(shí)，λ1(Ms(y0(t)))的上界需要重新計(jì)算。

4 結(jié)語(yǔ)

本文首先研究了自適應(yīng)牽制控制下相繼投影同步問(wèn)題。然后，設(shè)計(jì)了一種有效的自適應(yīng)牽制控制策略，該策略具有更靈活的自適應(yīng)律。自適應(yīng)牽制控制策略通過(guò)調(diào)整反饋增益來(lái)實(shí)現(xiàn)反饋增益和耦合強(qiáng)度之間的平衡。在該控制方案中，只是控制部分節(jié)點(diǎn)，可以有效降低控制成本。同時(shí)，本文設(shè)計(jì)了一種基于混沌掩蓋技術(shù)的保密通信系統(tǒng)，可實(shí)現(xiàn)一對(duì)多實(shí)時(shí)發(fā)送信息，且具有解密速度快和安全性高的特點(diǎn)。最后，通過(guò)對(duì)兩個(gè)混沌系統(tǒng)的數(shù)值仿真，驗(yàn)證了所提同步方案的有效性和可行性。