數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與發(fā)明關(guān)系新說(shuō)

李昌官

數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與發(fā)明關(guān)系新說(shuō)

李昌官

（浙江省臺(tái)州市教育教學(xué)研究院，浙江 臺(tái)州 318000）

數(shù)學(xué)是發(fā)現(xiàn)還是發(fā)明是一個(gè)古老且爭(zhēng)議不斷的問(wèn)題．?dāng)?shù)學(xué)是客觀與主觀、發(fā)現(xiàn)與發(fā)明的融合；數(shù)學(xué)的內(nèi)涵是客觀的、發(fā)現(xiàn)的，數(shù)學(xué)的表達(dá)方式是主觀的、發(fā)明的，并且這種客觀性與主觀性、發(fā)現(xiàn)性與發(fā)明性是相對(duì)的，而不是絕對(duì)的．不同屬性的數(shù)學(xué)內(nèi)容的客觀性與主觀性、發(fā)現(xiàn)與發(fā)明的成分是不同的；數(shù)學(xué)在發(fā)現(xiàn)與發(fā)明的交織與融合中發(fā)展．?dāng)?shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)是數(shù)學(xué)發(fā)明的基礎(chǔ)與依據(jù)，發(fā)現(xiàn)是數(shù)學(xué)的第一性，發(fā)明性是數(shù)學(xué)的第二性．

發(fā)現(xiàn)與發(fā)明融合說(shuō)；發(fā)現(xiàn)與發(fā)明分類說(shuō)；發(fā)現(xiàn)與發(fā)明相對(duì)說(shuō)；發(fā)現(xiàn)第一性發(fā)明第二性說(shuō)

數(shù)學(xué)是發(fā)現(xiàn)的還是發(fā)明的，幾千年以來(lái)，人們對(duì)此爭(zhēng)論不休，至今還沒(méi)有形成相對(duì)統(tǒng)一的、明確的觀點(diǎn)[1]．

1 已有數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與發(fā)明的主要觀點(diǎn)及其局限

歷史上，關(guān)于數(shù)學(xué)是發(fā)現(xiàn)的還是發(fā)明的觀點(diǎn)大致可歸結(jié)為3類：一是數(shù)學(xué)是客觀的、發(fā)現(xiàn)的；二是數(shù)學(xué)主觀的、發(fā)明的；三是數(shù)學(xué)是客觀與主觀、發(fā)現(xiàn)與發(fā)明的統(tǒng)一體．

1.1 數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)說(shuō)及其缺陷

早在古希臘時(shí)期，畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，約公元前580—公元前500）學(xué)派就認(rèn)為：“宇宙是以數(shù)學(xué)方式設(shè)計(jì)的，而不是雜亂無(wú)章的；萬(wàn)物皆數(shù)．”柏拉圖（Plato，公元前427—公元前347）認(rèn)為：“數(shù)學(xué)是獨(dú)立存在于可感知的事物之外，是以永恒不變的理念的形式存在的客觀實(shí)在．”數(shù)學(xué)追求的是“關(guān)于永恒事物的知識(shí)，而非關(guān)于任何必然毀滅的短暫事物的知識(shí)．”[2]克羅內(nèi)克（Kronecker，1823—1891）認(rèn)為：“上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其他的都是人的工作．”[3]拉卡托斯（Imre Lakatos，1922—1974）認(rèn)為：“自然科學(xué)是一種后驗(yàn)的、內(nèi)容豐富的、（至少在原則上）可謬的，而數(shù)學(xué)是先驗(yàn)的、同語(yǔ)反復(fù)的、不可謬的．”[4]M·克萊因（Morris Kline，1908—1992）認(rèn)為：“上帝一開(kāi)始就創(chuàng)造了數(shù)學(xué)，然后再按照數(shù)學(xué)定律創(chuàng)造了宇宙和地球．”[5]由于確信數(shù)學(xué)知識(shí)具有絕對(duì)真理性，因此上帝創(chuàng)造了數(shù)學(xué)這種具有明顯唯心主義性質(zhì)的觀點(diǎn)在西方長(zhǎng)期占主導(dǎo)地位．人們相信：數(shù)學(xué)是獨(dú)立于具體對(duì)象的永恒客觀實(shí)在的理念世界，人們只能發(fā)現(xiàn)它、理解它、接受它．

與上帝創(chuàng)造數(shù)學(xué)的唯心主義“發(fā)現(xiàn)說(shuō)”不同，恩格斯（Friedrich Engels，1820—1895）等持唯物主義“發(fā)現(xiàn)說(shuō)”．恩格斯指出：“純數(shù)學(xué)具有脫離任何個(gè)人的特殊經(jīng)驗(yàn)而獨(dú)立的意義，這當(dāng)然是正確的，而且這也適用于一切科學(xué)的，一切已經(jīng)確立的事實(shí)，甚至適用于所有的事實(shí)……數(shù)和形的概念不是從其它任何地方，而是從現(xiàn)實(shí)世界中得來(lái)的……純數(shù)學(xué)的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系，所以是非?，F(xiàn)實(shí)的材料．”[6]與此相類似，亞歷山大洛夫（A. D. Aleksandrov，1912—1999）認(rèn)為：“數(shù)學(xué)，連同寫在紙面上的和數(shù)學(xué)家所想的，都是反映現(xiàn)實(shí)世界的，而數(shù)學(xué)的真理則在于它同客觀現(xiàn)實(shí)相一致．”[7]盡管唯物主義“發(fā)現(xiàn)說(shuō)”也認(rèn)為人們只能接受數(shù)學(xué)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，但它與唯心主義“發(fā)現(xiàn)說(shuō)”有著質(zhì)的區(qū)別，它實(shí)現(xiàn)了由發(fā)現(xiàn)上帝創(chuàng)造的數(shù)學(xué)到發(fā)現(xiàn)作為客觀世界本質(zhì)、關(guān)系與規(guī)律表現(xiàn)的數(shù)學(xué)的飛躍．它認(rèn)為，不是宇宙以數(shù)學(xué)方式設(shè)計(jì)，而是人們借助數(shù)學(xué)、通過(guò)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、認(rèn)識(shí)宇宙的本質(zhì)與規(guī)律；客觀世界與數(shù)學(xué)世界具有高度的一致性，是因?yàn)閿?shù)學(xué)是按客觀世界的本來(lái)面貌建構(gòu)的，而不是偏離它的規(guī)律．

“發(fā)現(xiàn)說(shuō)”后來(lái)受到了廣泛的質(zhì)疑．因?yàn)閿?shù)學(xué)對(duì)象并非客觀世界中的真實(shí)存在，客觀世界中找不到數(shù)學(xué)意義上的點(diǎn)、直線、隨機(jī)現(xiàn)象，更找不到高等數(shù)學(xué)中的微分、積分、偏微分方程；數(shù)學(xué)結(jié)論不是建立在直接經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，而是建立在心智和邏輯的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)與人的思維、人的心智是分不開(kāi)的．

1.2 數(shù)學(xué)發(fā)明說(shuō)及其缺陷

柏拉圖的學(xué)生亞里士多德（Aristotle，公元前384—公元前322）提出了與自己老師不同的觀點(diǎn)．他認(rèn)為，數(shù)學(xué)對(duì)象不可能獨(dú)立存在于可感的事物之中，也不可能獨(dú)立存在于可感的事物之外；它是通過(guò)數(shù)學(xué)家的抽象建構(gòu)而獲得的，是一種抽象存在，而不是客觀存在．進(jìn)入20世紀(jì)后，隨著科學(xué)的發(fā)展，上帝隱退了，許多數(shù)學(xué)家轉(zhuǎn)而認(rèn)為，數(shù)學(xué)是人的主觀意識(shí)的反映．直覺(jué)主義者認(rèn)為，數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)在于直覺(jué)；存在必須被構(gòu)造．直覺(jué)主義主要代表人物之一黑丁（A. Heyting，1899—1980）認(rèn)為：“數(shù)學(xué)思想的特性在于它并不傳達(dá)關(guān)于外部世界的真理，而只涉及心智的構(gòu)造”“我的數(shù)學(xué)思想屬于我個(gè)人的智力生活，并限于我個(gè)人的思想．”[8]克羅內(nèi)克后來(lái)也認(rèn)為：“數(shù)學(xué)概念是自主的數(shù)學(xué)活動(dòng)；數(shù)學(xué)研究對(duì)象一定能夠通過(guò)有限步驟構(gòu)造出來(lái)．”戴德金（R. Dedekind，1831—1916）非?？隙ǖ卣J(rèn)為，數(shù)不是由時(shí)間和空間感覺(jué)得來(lái)，而是“一種純粹思維規(guī)律的直接產(chǎn)物”[3]．布里奇曼（P. W. Bridgman，1882—1961）說(shuō)得更明確、更絕對(duì)：“數(shù)學(xué)是人類的發(fā)明，這是最起碼的真實(shí)，即便未經(jīng)訓(xùn)練的觀察，都會(huì)很快明白這一點(diǎn)．”[9]集合論創(chuàng)始人康托爾（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845—1918）認(rèn)為：“數(shù)學(xué)是絕對(duì)自由發(fā)展的學(xué)科，它只服從明顯的思維．就是說(shuō)它的概念必須擺脫自相矛盾，并且必須通過(guò)定義而確定地、有秩序地與先前已經(jīng)建立和存在的概念相聯(lián)系．”[10]“到19世紀(jì)末，盛行的看法是，數(shù)學(xué)里的一切公理都是任意的．公理只不過(guò)是導(dǎo)出結(jié)論的推理的基礎(chǔ)．既然公理不再是關(guān)于包含在它里面的概念的真理，于是也就不用去管這些概念的物理意義了……數(shù)學(xué)已經(jīng)從實(shí)在性中分裂出來(lái)了；它已經(jīng)明顯地而且無(wú)可奈何地失去了對(duì)自然界真理的所有權(quán)，因而變成了一些沒(méi)有意義的任意公理之必然推論的隨從了．”[11]國(guó)內(nèi)也有學(xué)者持與此相類似的觀點(diǎn)，如，胡作玄（1936—）認(rèn)為：“自然科學(xué)工作的本質(zhì)是發(fā)現(xiàn)；數(shù)學(xué)工作的本質(zhì)是發(fā)明．”[12]

“發(fā)明說(shuō)”受到的質(zhì)疑更多、更大．正如鄭毓信（1944—）所說(shuō)：“如果數(shù)學(xué)對(duì)象并非不依賴于思維的獨(dú)立存在，而只是抽象思維的產(chǎn)物，從而也就必然地從屬于個(gè)人的思維活動(dòng)，那么，數(shù)學(xué)又何以可能具有超越個(gè)人的‘客觀性’？何以具有廣泛的應(yīng)用性？”[8]

1.3 數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與發(fā)明統(tǒng)一說(shuō)及其局限

柏拉圖已隱約地感受到數(shù)學(xué)具有發(fā)現(xiàn)與發(fā)明的兩重性質(zhì)．他認(rèn)為：“數(shù)學(xué)是使靈魂脫離變化世界進(jìn)入實(shí)在世界的學(xué)問(wèn)；數(shù)學(xué)對(duì)象具有居間的性質(zhì)，數(shù)學(xué)家的心理狀態(tài)是介于理性與意見(jiàn)之間的理智．”[13]呂埃勒（David Ruelle，1935—）認(rèn)為：“數(shù)學(xué)是人或人腦研究的數(shù)學(xué)．當(dāng)我們討論數(shù)學(xué)的形式方面時(shí)，人腦的考慮是無(wú)關(guān)緊要的，但如果涉及數(shù)學(xué)的概念方面時(shí)，則并非如此．?dāng)?shù)學(xué)概念是人腦的產(chǎn)物，應(yīng)該會(huì)反映出人腦的特質(zhì)．”[14]M·克萊因認(rèn)為：“數(shù)學(xué)研究并不是對(duì)自然的記錄，而是對(duì)自然的探索；數(shù)學(xué)知識(shí)是人們對(duì)世界的一種認(rèn)識(shí)、一種解釋，與自然界的本來(lái)面目相距甚遠(yuǎn)．”[5]愛(ài)因斯坦（Albert Einstein，1879—1955）也持相似的觀點(diǎn)．他認(rèn)為：“從來(lái)沒(méi)有一個(gè)真正有用的和深刻的理論果真是靠單純思辨去發(fā)現(xiàn)的……要是數(shù)學(xué)的命題所涉及的只是想象中的對(duì)象而不是實(shí)在的客體，那么別的科學(xué)部門的研究者還是沒(méi)有必要去羨慕數(shù)學(xué)家．”[15]

國(guó)內(nèi)大量的專家、學(xué)者支持“數(shù)學(xué)研究既是一種發(fā)明，同時(shí)又是一種發(fā)現(xiàn)的活動(dòng)”[8]的觀點(diǎn)．張景中（1936—）院士認(rèn)為：“數(shù)學(xué)從客觀世界汲取營(yíng)養(yǎng)，形成自己的概念．然而概念一旦形成，就有了自己的性質(zhì)，數(shù)學(xué)家奈何它不得……數(shù)學(xué)世界是人的創(chuàng)造，它卻是客觀的．它的內(nèi)在性質(zhì)與規(guī)律不以人的主觀意志為轉(zhuǎn)移．”[16]林夏水（1938—）先生認(rèn)為：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)是經(jīng)驗(yàn)性與演繹性在實(shí)踐基礎(chǔ)上的辯證統(tǒng)一．”[13]張楚廷（1937—）先生認(rèn)為：“數(shù)學(xué)創(chuàng)造的復(fù)雜過(guò)程實(shí)際上是主、客觀達(dá)到統(tǒng)一的過(guò)程，是發(fā)明與發(fā)現(xiàn)的結(jié)合．”[17]

數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與發(fā)明統(tǒng)一說(shuō)在很大程度上彌補(bǔ)了“發(fā)現(xiàn)說(shuō)”與“發(fā)明說(shuō)”的缺陷，但“統(tǒng)一說(shuō)”沒(méi)有說(shuō)明統(tǒng)一的方式：一是所有的數(shù)學(xué)知識(shí)都既是發(fā)現(xiàn)的又是發(fā)明的還是部分是？如果是部分是，那么哪些數(shù)學(xué)知識(shí)是主觀—發(fā)明的？哪些數(shù)學(xué)知識(shí)是客觀—發(fā)現(xiàn)的？二是這種客觀與主觀、發(fā)現(xiàn)與發(fā)明是絕對(duì)的還是相對(duì)的？是側(cè)重于客觀與發(fā)現(xiàn)，還是側(cè)重地主觀與發(fā)明？三是發(fā)現(xiàn)與發(fā)明有怎樣的聯(lián)系？它們中誰(shuí)是第一性、誰(shuí)是第二性？

2 數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與發(fā)明關(guān)系新說(shuō)

2.1 數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與發(fā)明融合說(shuō)

2.1.1 數(shù)學(xué)發(fā)明是以數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)為基礎(chǔ)的

一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)對(duì)象的形成有兩個(gè)基本環(huán)節(jié)：第一個(gè)環(huán)節(jié)是發(fā)現(xiàn)其內(nèi)涵，即發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象所蘊(yùn)含的事物的本質(zhì)、關(guān)系與規(guī)律；第二個(gè)環(huán)節(jié)是發(fā)明其表達(dá)形式，即把發(fā)現(xiàn)的東西用便于人們理解的方式簡(jiǎn)約地表達(dá)出來(lái)．?dāng)?shù)學(xué)的真正源頭是客觀世界的本質(zhì)、關(guān)系與規(guī)律；數(shù)學(xué)發(fā)明和創(chuàng)造的基礎(chǔ)和前提是發(fā)現(xiàn)，是人們發(fā)現(xiàn)客觀世界的本質(zhì)、關(guān)系與規(guī)律．“任何稍有數(shù)學(xué)常識(shí)的人都一定有這樣的體會(huì)：我們?cè)跀?shù)學(xué)中所從事的是一種客觀的研究，這也就是指，我們不能隨心所欲地去創(chuàng)造數(shù)學(xué)規(guī)律，而只有按照數(shù)學(xué)對(duì)象的‘本來(lái)面貌’去對(duì)此進(jìn)行研究．”[8]“數(shù)學(xué)中的術(shù)語(yǔ)、定義具有約定的性質(zhì)．不過(guò)，它不完全是任意的約定．約定論無(wú)法說(shuō)明為什么數(shù)學(xué)家普遍使用基本上一致的推理規(guī)則，也無(wú)法解釋由約定產(chǎn)生的結(jié)論和現(xiàn)實(shí)世界符合得這樣好，為什么數(shù)學(xué)有如此廣泛的應(yīng)用．”[16]

2.1.2 數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與數(shù)學(xué)發(fā)明相互作用并相互轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)發(fā)明是人與客觀世界相互作用的結(jié)果．皮亞杰（Jean Piaget，1896—1980）認(rèn)為：“認(rèn)識(shí)既不是起因于一個(gè)有自我意識(shí)的主體，也不是起因于業(yè)已形成的、會(huì)把自己烙印在主體之上的客體；認(rèn)識(shí)起因于主客體之間的相互作用，這種作用發(fā)生在主體和客體的中途，因而同時(shí)既包含著主體又包含著客體．”[19]希爾伯特（David Hilbert，1862—1943）認(rèn)為：“數(shù)學(xué)的根源就在于思維與經(jīng)驗(yàn)之間的反復(fù)出現(xiàn)的相互作用．”[20]這些論述充分揭示了數(shù)學(xué)發(fā)展是客觀與主觀、發(fā)現(xiàn)與發(fā)明相互作用、相互轉(zhuǎn)化的結(jié)果．更進(jìn)一步，不僅應(yīng)看到“思維對(duì)象”向“客觀對(duì)象”的轉(zhuǎn)化，還應(yīng)看到數(shù)學(xué)發(fā)展之初時(shí)“客觀對(duì)象”向“思維對(duì)象”的轉(zhuǎn)化．也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)的發(fā)展先是“客觀對(duì)象”向“思維對(duì)象”轉(zhuǎn)化，再經(jīng)由“思維創(chuàng)造”，由“思維對(duì)象”向“客觀對(duì)象”轉(zhuǎn)化．從源頭和根本上說(shuō)，數(shù)學(xué)是客觀的、發(fā)現(xiàn)的；從形成的途徑和方式上說(shuō)，數(shù)學(xué)是主觀的、發(fā)明的．

2.1.3 數(shù)學(xué)是“客觀與主觀”“發(fā)現(xiàn)與發(fā)明”的融合

“縱觀歷史長(zhǎng)河，數(shù)學(xué)的靈感有兩種源泉——現(xiàn)實(shí)世界和人類的想象世界．哪一個(gè)更重要呢？都不是．重要的是兩者的結(jié)合．歷史見(jiàn)證了，正是這兩者的綜合作用創(chuàng)造了數(shù)學(xué)的力量和美．”[21]“科學(xué)的客觀內(nèi)容總是被置于這些或那些思想形式中；這兩個(gè)辯證的對(duì)立面——客觀內(nèi)容和思想形式——的統(tǒng)一和斗爭(zhēng)，在數(shù)學(xué)中，如同在一切科學(xué)中一樣，對(duì)于這門科學(xué)的發(fā)展起了遠(yuǎn)非微末的作用．”[7]“數(shù)學(xué)艱難地徘徊在現(xiàn)實(shí)與非現(xiàn)實(shí)之間；它的意義不存在于形式的抽象中，也不存在于具體的事物中……數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)了心靈感知的抽象世界和完全沒(méi)有生命的真實(shí)的物質(zhì)世界．”[22]馮·諾伊曼（John von Neumann，1903—1957）認(rèn)為，數(shù)學(xué)的本質(zhì)存在著經(jīng)驗(yàn)與抽象的二重性[20]．R·柯朗（Richard Courant，1888—1972）認(rèn)為，數(shù)學(xué)“進(jìn)入抽象一般性的飛行，必須從具體和特定的事物出發(fā)，并且又返回具體和特定的事物中去”[23]．

“統(tǒng)一”是指各部分聯(lián)成整體，或各部分歸于一致．“融合”是指幾種不同物體合成一體，是“你中有我，我中有你”．世上本沒(méi)有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)來(lái)到人間的方式必然在下列4種之內(nèi)：一是所有數(shù)學(xué)都是發(fā)現(xiàn)的；二是所有數(shù)學(xué)都是發(fā)明的；三是有的數(shù)學(xué)是發(fā)現(xiàn)的，有的是發(fā)明的；四是發(fā)現(xiàn)中有發(fā)明，發(fā)明中有發(fā)現(xiàn)．?dāng)?shù)學(xué)中，“發(fā)現(xiàn)”與“發(fā)明”的關(guān)系，猶如微觀粒子的“粒子性”與“波動(dòng)性”的關(guān)系，有時(shí)發(fā)現(xiàn)特征明顯而發(fā)明特征不明顯，有時(shí)發(fā)明特征明顯而發(fā)現(xiàn)特征不明顯．?dāng)?shù)學(xué)的發(fā)展不是“發(fā)現(xiàn)”與“發(fā)明”簡(jiǎn)單的疊加，而是發(fā)現(xiàn)與發(fā)明相互作用、相互滲透、相互轉(zhuǎn)化的“融合”．

波普爾（Karl R. Popper，1902—1994）的“3個(gè)世界”理論有助于大家更深刻地理解發(fā)現(xiàn)與發(fā)明的關(guān)系．他認(rèn)為，世界由3個(gè)部分組成：“世界1”是通常所說(shuō)的物理世界；“世界2”是指心理學(xué)世界，即精神世界；“世界3”是指人類精神產(chǎn)物的世界．世界1不是自足的或“封閉的”；它受到世界2的影響，與世界2相互作用；或者它在因果關(guān)系上對(duì)于世界2開(kāi)放，因此又進(jìn)一步對(duì)世界3開(kāi)放[24]．

2.2 數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與發(fā)明分類說(shuō)

2.2.1 數(shù)學(xué)的內(nèi)涵是客觀的和發(fā)現(xiàn)的

內(nèi)涵是指概念所反映的事物的本質(zhì)屬性．決定數(shù)學(xué)是被發(fā)現(xiàn)還是被發(fā)明的最大依據(jù)是數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，是“數(shù)學(xué)到底是什么”．盡管數(shù)學(xué)對(duì)象不是現(xiàn)實(shí)世界的客觀存在，而是思維加工的結(jié)果，但不能由此否定這些數(shù)學(xué)對(duì)象內(nèi)涵的客觀性．以數(shù)學(xué)中的“點(diǎn)”為例．現(xiàn)實(shí)世界中不存在抽象的、沒(méi)有大小的、數(shù)學(xué)意義上的點(diǎn)，但不能否定點(diǎn)概念的內(nèi)涵是被發(fā)現(xiàn)的：即人們研究某些物理對(duì)象時(shí)，是把它作為一個(gè)整體而無(wú)需考慮其局部，或無(wú)需考慮其大小，或無(wú)法考慮其大小．盡管一些數(shù)學(xué)對(duì)象不是直接從現(xiàn)實(shí)世界的具體存在中抽象出來(lái)的，而是對(duì)已有的數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行再加工、再抽象的結(jié)果，是人類的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造，但從源頭和根本上說(shuō)，這些數(shù)學(xué)對(duì)象是發(fā)現(xiàn)的，是建立在數(shù)學(xué)發(fā)展內(nèi)在規(guī)律和人們關(guān)于客觀世界已有認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，而數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在規(guī)律與內(nèi)在邏輯歸根到底是客觀世界的內(nèi)在規(guī)律與內(nèi)在邏輯．

數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)世界．假如另一個(gè)星球上的生物也有數(shù)學(xué)，也許這些數(shù)學(xué)與“人類數(shù)學(xué)”有很大的不同，但這些數(shù)學(xué)也一定刻畫(huà)和反映那些生物所賴以生存的物質(zhì)世界的本質(zhì)、關(guān)系與規(guī)律．這類似于歐氏幾何與非歐幾何盡管有很大的不同，并且有各自不同的適用范圍，但它們都是不同物質(zhì)世界中的關(guān)系與規(guī)律的反應(yīng)．?dāng)?shù)學(xué)的最終目的是服務(wù)于人類認(rèn)識(shí)自然、改造自然，正是數(shù)學(xué)內(nèi)涵的客觀性保證了數(shù)學(xué)在特定的范圍內(nèi)具有確定性與有效性．緣于這些，伽利略（Galileo Galilei，1564—1642）認(rèn)為：“自然之書(shū)是用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言寫成的．”亞歷山大洛夫認(rèn)為：“歸根到底，數(shù)學(xué)的生命力的源泉在于它的概念和結(jié)論盡管極為抽象，但卻如我們所堅(jiān)信的那樣，它們是從現(xiàn)實(shí)中來(lái)的，并且在其它科學(xué)中，在技術(shù)中，在全部生活實(shí)踐中都有廣泛的應(yīng)用；這一點(diǎn)，對(duì)于了解數(shù)學(xué)是最主要的．”[7]“數(shù)學(xué)結(jié)論的真理性不是在一般的定義和公理中，也不是在證明的形式的嚴(yán)格性中，而是在現(xiàn)實(shí)的應(yīng)用中，也就是說(shuō)，歸根到底是在實(shí)踐中得到最后的證實(shí)．”[7]

2.2.2 數(shù)學(xué)的表達(dá)方式是主觀的和發(fā)明的

2.3 數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與發(fā)明相對(duì)說(shuō)

前面所說(shuō)的“數(shù)學(xué)的內(nèi)涵是客觀的和發(fā)現(xiàn)的”是相對(duì)的，因?yàn)閿?shù)學(xué)作為人類的一項(xiàng)活動(dòng)，必然受制于人類的活動(dòng)空間和社會(huì)發(fā)展水平，必然受制于人的思維方式與思維水平．類似地，“數(shù)學(xué)的表達(dá)方式是主觀的和發(fā)明的”也是相對(duì)的，因?yàn)樗鼩w根到底是為人類認(rèn)識(shí)自然、刻畫(huà)自然服務(wù)的．不僅如此，不同屬性的數(shù)學(xué)內(nèi)容的客觀性與主觀性、發(fā)現(xiàn)與發(fā)明的成分是不同的．

2.3.1 數(shù)學(xué)語(yǔ)言

數(shù)學(xué)語(yǔ)言是人類的發(fā)明．它屬于數(shù)學(xué)表達(dá)范疇，具有較強(qiáng)的主觀性，但這種發(fā)明和主觀性不是絕對(duì)的，是受各種客觀因素影響和制約的．以數(shù)的進(jìn)位制為例．人們?cè)謩e用五進(jìn)制、十進(jìn)制、十二進(jìn)制、十六進(jìn)制、二十進(jìn)制、六十進(jìn)制表示一個(gè)數(shù)，但最后大家都不約而同地采用十進(jìn)制，說(shuō)明數(shù)的進(jìn)位制不是純主觀的．事實(shí)上，數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)語(yǔ)言都是長(zhǎng)期進(jìn)化的結(jié)果，都服從“適者生存”的法則．徐利治曾精辟地闡釋了數(shù)學(xué)符號(hào)與現(xiàn)實(shí)世界的關(guān)系．他指出：“一般來(lái)講，形式符號(hào)給人一種錯(cuò)覺(jué)，好像它是人類意志的自由創(chuàng)造，可以和現(xiàn)實(shí)世界毫不相關(guān)．然而同樣的事實(shí)是，那些和我們關(guān)系密切的符號(hào)，如詞匯、數(shù)字、邏輯符號(hào)，都是人類文化進(jìn)化過(guò)程的產(chǎn)物．它們與現(xiàn)實(shí)世界有關(guān)密切的聯(lián)系．這座聯(lián)系的橋梁就是同構(gòu)．”[25]因此，盡管數(shù)學(xué)語(yǔ)言具有比較強(qiáng)的主觀性和較大的發(fā)明成分，但也具有一定的客觀性和發(fā)現(xiàn)成分．

2.3.2 數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法是人們因解決問(wèn)題的需要發(fā)明創(chuàng)造的，是受人的需求、知識(shí)、能力、情感、意志影響的．模型思想、集合思想、公理化思想，莫不如此．從微觀層面看，一個(gè)勾股定理就有四百多種不同的證法，更從一個(gè)側(cè)面說(shuō)明不同的人可以用不同的方法解決同一問(wèn)題．因此數(shù)學(xué)思想方法是人的發(fā)明，具有很大的主觀性．另一方面，數(shù)學(xué)思想方法之所以有效，是因?yàn)樗鼈兣c客觀實(shí)際相符合，與待解決的問(wèn)題相適應(yīng)．從根本上說(shuō)，采用怎樣的數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題是在發(fā)現(xiàn)事物本質(zhì)、關(guān)系與規(guī)律基礎(chǔ)上的選擇或創(chuàng)造，是發(fā)現(xiàn)基礎(chǔ)上的發(fā)明．計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和廣泛應(yīng)用對(duì)數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生了重大影響，也說(shuō)明數(shù)學(xué)思想方法不是純主觀的．

2.3.3 數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念是源于現(xiàn)實(shí)、又高于現(xiàn)實(shí)的抽象物．直接由客觀現(xiàn)實(shí)抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)概念，它們的內(nèi)涵是由客觀現(xiàn)象決定的，因而是客觀的、發(fā)現(xiàn)的．容易引起人們爭(zhēng)議的是，由人的大腦直接建構(gòu)的虛數(shù)、非歐幾何等概念的內(nèi)涵是客觀的還是主觀的？是發(fā)現(xiàn)的還是發(fā)明的？表面上看，虛數(shù)、非歐幾何的內(nèi)涵似乎是主觀的、發(fā)明的，但從本質(zhì)上看，它們?nèi)跃哂休^強(qiáng)的客觀性與發(fā)現(xiàn)性．正如亞歷山大洛夫所說(shuō)：“虛數(shù)不是像整數(shù)那樣從現(xiàn)實(shí)世界中提取出來(lái)的，這是一個(gè)歷史事實(shí)．同樣地，羅巴切夫斯基幾何學(xué)也是作為這個(gè)偉大學(xué)者的創(chuàng)造物而產(chǎn)生的；他還沒(méi)有看到它的現(xiàn)實(shí)意義，所以稱它為‘想象的幾何學(xué)’．但是它不是智慧的自由游戲，而是根據(jù)幾何的基本概念做出來(lái)的必然結(jié)論．‘自由創(chuàng)造和想象’，不能理解為簡(jiǎn)單的思想任性．科學(xué)中的自由創(chuàng)造——這是為來(lái)自經(jīng)驗(yàn)的初始概念和原理所決定的有意識(shí)的邏輯必然性．”[7]

R·柯朗對(duì)數(shù)學(xué)可以自由創(chuàng)造的觀點(diǎn)提出了尖銳的批評(píng)．他指出：“有一種觀點(diǎn)對(duì)科學(xué)本身是嚴(yán)重的威脅，它斷言數(shù)學(xué)不是別的東西，而只是從定義和公理推導(dǎo)出來(lái)的一組結(jié)論，而這些定義和命題除了必須不矛盾之外，可以由數(shù)學(xué)家根據(jù)他們的意志隨意創(chuàng)造．如果這個(gè)說(shuō)法正確的話，數(shù)學(xué)將不會(huì)吸引任何有理智的人．它將成為定義、規(guī)則和演繹法的游戲，既沒(méi)有動(dòng)力也沒(méi)有目標(biāo)．認(rèn)為靈感能創(chuàng)造出有意義公理體系的看法，是騙人的似是而非的真理．”[22]看似“思維自由創(chuàng)造”的負(fù)數(shù)、虛數(shù)、四元數(shù)、非歐幾何等正是因?yàn)榻?jīng)受了客觀世界的檢驗(yàn)，才被人們最終接受，因此“思維自由創(chuàng)造”的本質(zhì)是對(duì)自然規(guī)律的一種猜想和假設(shè)，它最終要接受實(shí)踐的檢驗(yàn)．?dāng)?shù)學(xué)概念的內(nèi)涵本質(zhì)上是客觀的．這里的“本質(zhì)上是客觀的”，一是指數(shù)學(xué)概念的源頭是客觀的，是人們認(rèn)識(shí)和把握客觀世界過(guò)程中形成的階段性成果；二是指數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)要遵循數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在規(guī)律與內(nèi)在標(biāo)準(zhǔn)，并接受“數(shù)學(xué)共同體”的“審查”；三是指數(shù)學(xué)概念最終要接受客觀世界的檢驗(yàn)．

2.3.4 數(shù)學(xué)定理

數(shù)學(xué)定理揭示的是客觀世界深層次的關(guān)系與規(guī)律．它們的內(nèi)容是客觀的，是發(fā)現(xiàn)的，但這種客觀性與發(fā)現(xiàn)性也不是絕對(duì)的，而是相對(duì)的．

數(shù)學(xué)定理的內(nèi)容源于人的直覺(jué)和經(jīng)驗(yàn)．“數(shù)學(xué)正是建造在某種直覺(jué)之上的，這些直覺(jué)是我們的感覺(jué)器官、大腦和外部世界結(jié)合的產(chǎn)物．它是一個(gè)人為的構(gòu)造，任何為其尋找絕對(duì)基礎(chǔ)的嘗試注定是要失敗的．”[3]完全獨(dú)立于精神，卻又想構(gòu)造它、理解它、探求它的現(xiàn)實(shí)是不存在的．如此客觀的世界，即使存在的話，也永遠(yuǎn)無(wú)法深入其中．被稱之為客觀實(shí)在的東西，歸根到底對(duì)大多數(shù)思維者是共同的，而且對(duì)所有的思維者也應(yīng)當(dāng)是共同的[26]．?dāng)?shù)學(xué)定理歸根到底是人對(duì)客觀世界的認(rèn)識(shí)，具有一定的局限性與主觀性．“數(shù)學(xué)，至少最有意義的數(shù)學(xué)理論，像自然科學(xué)理論一樣，是擬經(jīng)驗(yàn)的．”[4]擬經(jīng)驗(yàn)的東西是可謬的．觀察與經(jīng)驗(yàn)告訴人們，大地表面基本上是平的；是觀察經(jīng)驗(yàn)把人們引入歧途[27]．又如，人們往往認(rèn)為光線是直的，而事實(shí)上，光線不是直的，甚至不能體現(xiàn)任何一維的形式．人們是在不需要考慮光線的彎曲程度，或沒(méi)有能力考慮光線的彎曲程度的情況下，把光線看成是直線的．“沒(méi)有任何最微不足道的證據(jù)來(lái)表明歐氏幾何的真理性．沒(méi)有任何一點(diǎn)．”[5]“我們知曉的一切事物是通過(guò)我們自己的人腦為我們所認(rèn)知的．即使當(dāng)代我們所理解的我們生活的地球不過(guò)是物質(zhì)世界中的極小粒的塵埃．”[14]

第二，數(shù)學(xué)定理是發(fā)現(xiàn)的，但它的證明是發(fā)明的，而定理證明是定理的一部分．?dāng)?shù)學(xué)定理的證明是演繹的，但證明的前提是歸納的、假設(shè)的．克呂格爾（Georg S. Klügel，1739—1812）曾指出：“人們接受歐幾里得平行公理的正確性是基于經(jīng)驗(yàn)；公理的實(shí)質(zhì)是在于符合經(jīng)驗(yàn)而并非其不證自明．”[11]實(shí)踐最終證明：兩千多年來(lái)被人們視為絕對(duì)真理的歐氏幾何并無(wú)必然的真理性．同樣，其它數(shù)學(xué)定理、法則也無(wú)絕對(duì)的必然性．弗雷格（G. Frege，1848—1925）、羅素（Bertrand Arthur William Russell，1872—1970）試圖“從無(wú)可置疑的真邏輯公理出發(fā)演繹出全部數(shù)學(xué)真理（借助于巧妙的定義）．結(jié)果是，有些邏輯公理（更確切地說(shuō)，是集合論公理）不僅不是無(wú)可懷疑地真，而且甚至是不相容的”[4]．“我們的知識(shí)有各種各樣的源泉；但是，沒(méi)有一種源泉有權(quán)威性．”[27]“一切知識(shí)都是概率性知識(shí)，只能以假定的意義被確認(rèn)．”[28]“規(guī)律絕不會(huì)是精確的，因?yàn)槲覀兪墙柚诟拍顏?lái)表達(dá)規(guī)律的，而即使概念會(huì)發(fā)展，在將來(lái)仍然會(huì)被證明是不充分的．”[15]“我們應(yīng)當(dāng)做的是放棄終極知識(shí)源泉的觀念，承認(rèn)一切知識(shí)都是人的知識(shí)；承認(rèn)知識(shí)同我們的錯(cuò)誤、偏見(jiàn)、夢(mèng)想和希望混在一起，我們所能做的一切就是探索真理，盡管它是不可企及的．”[27]

第三，從更本質(zhì)的方面來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)主要是一種方法[5]．包括數(shù)學(xué)定理在內(nèi)的數(shù)學(xué)知識(shí)都是人類認(rèn)識(shí)自然、改造自然的工具，而工具在某種程度上必然是人類的發(fā)明和創(chuàng)造．

應(yīng)拋棄數(shù)學(xué)是絕對(duì)真理的觀點(diǎn)，但又不否定數(shù)學(xué)的真理性；拋棄客觀與主觀、發(fā)現(xiàn)與發(fā)明非此即彼的二元對(duì)立觀點(diǎn)，走向彼此的相互作用與相互融合．?dāng)?shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)與發(fā)明是相對(duì)的，而不是絕對(duì)的；不同屬性、不同側(cè)面的數(shù)學(xué)處于一個(gè)客觀與主觀、發(fā)現(xiàn)與發(fā)明的連續(xù)體中（如圖1）；沒(méi)有什么數(shù)學(xué)知識(shí)是純粹主觀的，也沒(méi)有什么數(shù)學(xué)知識(shí)是純粹客觀的；不同屬性、不同側(cè)面的數(shù)學(xué)在客觀與主觀、發(fā)現(xiàn)與發(fā)明方面的差異是程度上的差異．在客觀還是主觀、發(fā)現(xiàn)還是發(fā)明這個(gè)問(wèn)題上，數(shù)學(xué)作為人類的創(chuàng)造與其他人類創(chuàng)造的東西沒(méi)有本質(zhì)的區(qū)別，只有程度上的差異．

圖1 不同屬性數(shù)學(xué)知識(shí)的“主觀與客觀”“發(fā)明與發(fā)現(xiàn)”成分

2.4 發(fā)現(xiàn)第一性發(fā)明第二性說(shuō)

2.4.1 客觀性與發(fā)現(xiàn)性是數(shù)學(xué)的第一性

數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)是數(shù)學(xué)發(fā)明的基礎(chǔ)與依據(jù)．“不但數(shù)學(xué)概念本身，而且它的結(jié)論，它的方法都是反映現(xiàn)實(shí)界的．”[7]“數(shù)和分析中的函數(shù)不是我們精神的任意產(chǎn)物；它們?cè)谖覀冎獯嬖谥⑶液涂陀^實(shí)在的對(duì)象一樣，具有某種必然性的特征；我們找到或發(fā)現(xiàn)它們、研究它們，就和物理學(xué)家、化學(xué)家及動(dòng)物學(xué)家所做的事情一樣．”“數(shù)學(xué)定理的真?zhèn)?，它們的真?shí)性和謬誤性是獨(dú)立于我們對(duì)它們的了解的．在某種意義上，數(shù)學(xué)的真理是客觀實(shí)在的一部分．”“我相信數(shù)學(xué)的實(shí)在性是在我們之外，我們的作用只是發(fā)現(xiàn)它們或觀察它們，而那些被我們夸張描繪成為我們的‘創(chuàng)造物’的定理，其實(shí)只是我們觀察的記錄．”[11]

“人創(chuàng)造出虛數(shù)，可是虛數(shù)服從的數(shù)學(xué)規(guī)律不以人的主觀意志為轉(zhuǎn)移，因此，數(shù)學(xué)家覺(jué)得，不是人創(chuàng)造了虛數(shù)，而是人發(fā)現(xiàn)了虛數(shù)．”[16]數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與源頭是客觀現(xiàn)實(shí)，三八二十四還是二十三，歸根到底是客觀現(xiàn)實(shí)說(shuō)了算，人們無(wú)法改變它們．?dāng)?shù)學(xué)從源頭、本性與本質(zhì)上來(lái)說(shuō)是客觀的；數(shù)學(xué)知識(shí)的客觀性、發(fā)現(xiàn)性是第一性．這從根本上回答了皮亞杰提出的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論3個(gè)主要問(wèn)題：“數(shù)學(xué)雖然是奠基于極少數(shù)內(nèi)容相當(dāng)貧乏的概念或公理之上，為什么卻這樣富有成效呢；盡管數(shù)學(xué)具有建構(gòu)特性，這可能成為不合理性產(chǎn)生的根源，但為什么數(shù)學(xué)仍然具有必然性從而保持恒常的嚴(yán)格性呢；盡管數(shù)學(xué)具有完全演繹的性質(zhì)，為什么數(shù)學(xué)跟經(jīng)驗(yàn)或物理現(xiàn)實(shí)是符合一致的呢？”[19]

2.4.2 主觀性與發(fā)明性是數(shù)學(xué)的第二性

應(yīng)在下述意義上明確肯定數(shù)學(xué)的客觀性：就整體、過(guò)程、總和、趨勢(shì)、源泉而言，數(shù)學(xué)正是思維對(duì)于客觀世界量性規(guī)律性的反映；這種反映并非直接的、簡(jiǎn)單的反映，而是一種間接的、能動(dòng)的反映[8]．?dāng)?shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過(guò)程、方法是受人的習(xí)慣、能力、情感和態(tài)度影響的，具有一定的主觀性；數(shù)學(xué)結(jié)論也因人的關(guān)注點(diǎn)和研究對(duì)象的不同而不同．1+1＝2是有前提條件的，1滴水加1滴水可以是1滴水，1滴水加2滴水還可以是1滴水．正如幾何有歐氏幾何、射影幾何、解析幾何、羅巴切夫斯基幾何、黎曼幾何、微分幾何等各種幾何，代數(shù)也不是只有一種，而有好幾種．普通代數(shù)是一種人工產(chǎn)品，它的規(guī)則不可能適用于所有的物理世界．四元數(shù)、擬四元數(shù)、八元數(shù)、格拉斯曼（Hermann Günther Grassmann，1809—1877）超復(fù)數(shù)、向量等幾種量的引進(jìn)揭開(kāi)新的數(shù)學(xué)前景——不是只有一個(gè)實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的代數(shù)，而是有很多個(gè)不相同的代數(shù)[29]．

3 數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與發(fā)明關(guān)系對(duì)數(shù)學(xué)教育的啟示

數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與發(fā)明的關(guān)系是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)哲學(xué)問(wèn)題．它對(duì)數(shù)學(xué)教育具有重要的指導(dǎo)價(jià)值．

第一，數(shù)學(xué)教育應(yīng)揭示并追求數(shù)學(xué)與自然的和諧與統(tǒng)一．?dāng)?shù)學(xué)是發(fā)現(xiàn)與發(fā)明的和諧與統(tǒng)一，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)加強(qiáng)對(duì)客觀現(xiàn)象的歸納與抽象，提升學(xué)生把現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力；應(yīng)自覺(jué)地按照數(shù)學(xué)與自然和諧統(tǒng)一的規(guī)律建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)；應(yīng)注意回歸自然、從自然中尋找啟發(fā)是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思路與方法；對(duì)所得的數(shù)學(xué)結(jié)論，應(yīng)自覺(jué)地接受客觀現(xiàn)實(shí)的檢驗(yàn)，并力求在現(xiàn)實(shí)中應(yīng)用之．

第二，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)揭示并追求直覺(jué)與邏輯的和諧與統(tǒng)一．“如果數(shù)學(xué)不是獨(dú)一無(wú)二的、嚴(yán)格的邏輯結(jié)構(gòu)，那么它是什么呢？它是任何時(shí)候人們樂(lè)于使用，經(jīng)過(guò)邏輯篩選、提煉和組織的一系列偉大的直覺(jué)．”[3]數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)積極追尋直覺(jué)背后的邏輯與引領(lǐng)邏輯的直覺(jué)，積極探索直覺(jué)邏輯化與邏輯直覺(jué)化的策略、途徑與方式，有效地發(fā)展學(xué)生的思維能力[30]．

第三，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的視角看待數(shù)學(xué)．?dāng)?shù)學(xué)是人類的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明和創(chuàng)造，學(xué)生不僅應(yīng)做數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)者、接受者，也應(yīng)做數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)者和創(chuàng)造者．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)揭示發(fā)現(xiàn)、建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的一般策略與方法，增強(qiáng)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)與能力．

[1] 孫宏安．?dāng)?shù)學(xué)是發(fā)現(xiàn)還是發(fā)明[J]．大連教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2017，33（3）：27-29．

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[30] 李昌官．追尋直覺(jué)背后的邏輯與引領(lǐng)邏輯的直覺(jué)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（4）：76-81．

A New Perspective on the Relationship between Mathematical Discovery and Invention

LI Chang-guan

(Taizhou Institute of Education and Instruction, Zhejiang Taizhou 318000, China)

Whether mathematics is a discovery or an invention is an old and controversial question. Mathematics is a fusion of objectivity and subjectivity, as well as a fusion of discovery and invention. The connotation of mathematics is objective and discoverable, and the expression of mathematics is subjective and inventive. And this objectivity and subjectivity, discovery and invention are relative rather than absolute. For mathematical content with different attributes, the proportion of objectivity and subjectivity as well as the proportion of discovery and invention are different. Mathematics develops in the interweaving and fusion of discovery and invention. Mathematical discovery is the foundation and basis of mathematical invention. Discovery is the primary nature of mathematics, and invention is the secondary nature of mathematics.

fusion theory of discovery and invention; classification theory of discovery and invention; relativity theory of discovery and invention; theory of discovery as the primary nature and invention as the secondary nature

G40–03

A

1004–9894（2022）01–0097–06

李昌官．?dāng)?shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與發(fā)明關(guān)系新說(shuō)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022，31（1）：97-102．

2021–10–10

浙江省教研課題——高中數(shù)學(xué)研究型教學(xué)實(shí)踐與探索（10455）

李昌官（1964—），男，浙江臨海人，正高級(jí)教師，博士，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳漢君]