微積分的內(nèi)核裂變與“后微積分范式”的數(shù)學(xué)教育價(jià)值

黃秦安

微積分的內(nèi)核裂變與“后微積分范式”的數(shù)學(xué)教育價(jià)值

黃秦安

（陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 西安 710119）

微積分理論作為人類歷史上偉大的知識(shí)創(chuàng)造之一，自誕生之后在相當(dāng)長(zhǎng)一段時(shí)期內(nèi)被奉為描繪宇宙與自然運(yùn)行強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與模型．20世紀(jì)以來(lái)，作為具有典型革命性意義的知識(shí)創(chuàng)新，誕生了分形幾何學(xué)、混沌理論和復(fù)雜性科學(xué)等多種新興學(xué)科．這些重要的數(shù)學(xué)知識(shí)創(chuàng)造構(gòu)成了后微積分時(shí)代的主流數(shù)學(xué)知識(shí)形態(tài)并凝聚成為一種新的數(shù)學(xué)范式——“后微積分范式”．作為微積分范式的一種內(nèi)核裂變，它實(shí)現(xiàn)了對(duì)原有范式的顛覆、突破和遷越，具有非確定性、混沌性和復(fù)雜性等顯著的當(dāng)代科學(xué)革命特征．“后微積分范式”已經(jīng)構(gòu)成了大學(xué)數(shù)學(xué)課程的重要組成部分和必要內(nèi)容，也必將成為未來(lái)高中甚至義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的基本內(nèi)容．因此，“后微積分范式”的數(shù)學(xué)教育意義以及如何開(kāi)展教學(xué)的話題需要予以充分的論證和關(guān)注．

微積分；內(nèi)核裂變；后微積分范式；混沌理論；復(fù)雜性科學(xué)；數(shù)學(xué)課程

微積分是人類歷史上最偉大的數(shù)學(xué)創(chuàng)造之一，它在數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中的地位和在人類文明進(jìn)程中的重要性是無(wú)論如何估計(jì)都不會(huì)過(guò)高的．然而，如同人類任何其它的知識(shí)創(chuàng)造一樣，微積分也有自己固有的思想、知識(shí)與方法的局限性．在肯定其價(jià)值的同時(shí)，有必要對(duì)其范式的內(nèi)在局限性進(jìn)行若干分析．與20世紀(jì)的科學(xué)進(jìn)步相互輝映，持續(xù)的數(shù)學(xué)知識(shí)創(chuàng)新與革命構(gòu)成了后微積分時(shí)代絢麗多彩的科學(xué)畫(huà)卷，書(shū)寫了數(shù)學(xué)哲學(xué)的新觀點(diǎn)和新方法．突破傳統(tǒng)的微積分范式，既是數(shù)學(xué)發(fā)展的要求，也是數(shù)學(xué)教育改革需要特別加以關(guān)注的．

1 微積分的知識(shí)價(jià)值與范式局限性

這里用“微積分范式”來(lái)表示自微積分誕生以來(lái)，以微積分的內(nèi)容、思想與方法為主導(dǎo)，以微積分的理論體系為知識(shí)本體，以微積分理論為數(shù)學(xué)模型的所有數(shù)學(xué)類型和分支的整體．包括微積分的基本思想、精神、方法、內(nèi)容、體系和應(yīng)用．在微積分范式中具有典范性知識(shí)特征的學(xué)科有：數(shù)學(xué)分析（包括微分學(xué)、積分學(xué)和級(jí)數(shù)論等）、常微分和偏微分方程、微分幾何、實(shí)變函數(shù)和復(fù)變函數(shù)、泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)、微分代數(shù)、黎曼幾何、微分流形、微分動(dòng)力系統(tǒng)、積分方程和非標(biāo)準(zhǔn)分析等．概括起來(lái)看，微積分的思想與知識(shí)價(jià)值主要表現(xiàn)在以下方面：

第一，在數(shù)學(xué)知識(shí)范式上，微積分完成了數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的一次極其重要的范式轉(zhuǎn)換，即常量數(shù)學(xué)范式向變量數(shù)學(xué)范式的轉(zhuǎn)換．雖然在古希臘數(shù)學(xué)中直至微積分誕生之前，已有一些變量數(shù)學(xué)的思想萌動(dòng)，如古希臘著名數(shù)學(xué)家阿基米德在沒(méi)有使用極限概念的情況利用窮竭法（the method of exhaustion）求出了諸如球面和球體等許多著名幾何圖形的面積和幾何體的體積[1]．在17世紀(jì)初，卡瓦列里（F. B. Cavalieri）對(duì)不可分概念的澄清并使之成為求面積和體積的有用技術(shù)，還有費(fèi)馬（P. D. Fermat）設(shè)計(jì)的求多項(xiàng)式曲線切線的方法[2]，等等．但上述工作尚沒(méi)有構(gòu)成范式轉(zhuǎn)換的全部必要條件．經(jīng)過(guò)數(shù)代數(shù)學(xué)家的努力，特別是牛頓和萊布尼茲兩位著名數(shù)學(xué)家的工作，微積分的初步知識(shí)構(gòu)型得以建立．正如微積分（calculus）的另一個(gè)叫法“無(wú)窮小分析”（infinitesimal analysis）一樣，微積分的思想核心是對(duì)于“無(wú)窮小”和“極限”這些新的數(shù)學(xué)概念的引入和處理．微積分的思想及方法，超越了對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象的靜態(tài)分析和單純方法，并且構(gòu)成了許多后續(xù)學(xué)科的知識(shí)基礎(chǔ)．從數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展看，微積分作為整個(gè)連續(xù)數(shù)學(xué)范式的先導(dǎo)，是一系列后續(xù)數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)．在高等數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)分析的系列知識(shí)內(nèi)容都是建立在微積分的理論基礎(chǔ)之上的，例如常（偏）微分方程、微分幾何、實(shí)（復(fù)）變函數(shù)、積分方程，以及微分流型、泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)、黎曼幾何，等等．

第二，微積分所開(kāi)創(chuàng)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用體系適應(yīng)了第一次工業(yè)革命的要求，解決了大量的科學(xué)、工程和技術(shù)問(wèn)題，為近代文明的創(chuàng)立以及從近代文明走向現(xiàn)代文明發(fā)揮了重要的推動(dòng)作用．17世紀(jì)以來(lái)，大量的科學(xué)技術(shù)與工程問(wèn)題都遭遇到了理論解決方案的瓶頸，按照著名數(shù)學(xué)史家M·克萊因的研究，有4種主要類型的問(wèn)題必須尋求理論上的突破．第一類是，已知物體移動(dòng)的距離表為時(shí)間的函數(shù)的公式，求物體在任意時(shí)刻的速度和加速度；反過(guò)來(lái)，已知物體的加速度表為時(shí)間的函數(shù)的公式，求速度和距離．第二類的問(wèn)題是求曲線的切線．第三類問(wèn)題是求函數(shù)的最大值和最小值．第四類問(wèn)題是求曲線長(zhǎng)；曲線圍成的面積；曲面圍成的體積；物體的重心；一個(gè)體積相當(dāng)大的物體（例如行星）作用于另一物體上的引力[3]．而微積分理論的建立，為上述4類問(wèn)題的解決提供了絕佳的方法．

第三，微積分作為一種新的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具，為自然科學(xué)的發(fā)展奠定了必要的語(yǔ)言基礎(chǔ)和理論模式．從更廣泛的意義講，微積分理論提供了相當(dāng)一大類自然現(xiàn)象的定量模型．例如在偏微分方程理論中，三大類典型的偏微分方程：雙曲型偏微分方程、拋物型偏微分方程、橢圓型偏微分方程分別對(duì)應(yīng)著不同的自然現(xiàn)象．波動(dòng)現(xiàn)象或振動(dòng)現(xiàn)象，如聲波、水波、光波、弦振動(dòng)和桿振動(dòng)等，可以用雙曲型偏微分方程來(lái)描繪．各種傳導(dǎo)現(xiàn)象，如熱傳導(dǎo)，則可以用拋物型偏微分方程來(lái)刻畫(huà)．而對(duì)各種場(chǎng)，如靜電場(chǎng)、磁場(chǎng)則可以用橢圓型偏微分方程來(lái)表示．

第四，微積分范式的局限性．一般來(lái)看，20世紀(jì)誕生的許多數(shù)學(xué)新理論表明，用連續(xù)變化的觀念去對(duì)自然做出一種刻畫(huà)，在許多情況下是否只是一種簡(jiǎn)單化和理想化？微積分的知識(shí)范式就假設(shè)了研究對(duì)象的許多理想屬性，如連續(xù)、可微、光滑、收斂、可積等．如果對(duì)象不具有這樣的屬性，微積分思想方法就會(huì)出現(xiàn)散焦現(xiàn)象，即難以對(duì)這些對(duì)象進(jìn)行很好地刻畫(huà)．形象地說(shuō)，微積分是喜歡那些可以具有連續(xù)性、可以求導(dǎo)、可以微分、可以積分等諸如此類的“理想”性質(zhì)的函數(shù)．而對(duì)于那些不連續(xù)、不可微、發(fā)散、不可積和不收斂的對(duì)象，如大量的隨機(jī)現(xiàn)象、模糊現(xiàn)象、突變現(xiàn)象、離散現(xiàn)象和混沌現(xiàn)象等，就顯得勉為其難或無(wú)能為力了．隨著對(duì)自然刻畫(huà)的深化，微積分范式的局限性必須予以突破．為了更真實(shí)地描繪自然現(xiàn)象，就需要?jiǎng)?chuàng)造更為精致復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論，對(duì)既有的理論模式予以超越．

2 微積分知識(shí)的內(nèi)核裂變與當(dāng)代數(shù)學(xué)的知識(shí)創(chuàng)新與超越

20世紀(jì)以來(lái)，數(shù)學(xué)的知識(shí)進(jìn)步呈現(xiàn)出新的特征，它從單純的知識(shí)量的積累轉(zhuǎn)變?yōu)橐幌盗芯哂懈锩砸饬x的知識(shí)變革．而克服微積分知識(shí)范式及其解釋理論的固有局限性并予以超越也正是20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)鮮明和突出的特點(diǎn)．許多新的數(shù)學(xué)進(jìn)展和分支都是從突破微積分的范式視閾開(kāi)始的．下面以分形幾何學(xué)和混沌理論等幾個(gè)領(lǐng)域中的典范例子對(duì)相關(guān)論點(diǎn)予以論證．

2.1 “病態(tài)函數(shù)”的新生與分形幾何學(xué)

按照微積分的知識(shí)直覺(jué)，處處連續(xù)的函數(shù)雖然可以在某些有限的點(diǎn)上不存在導(dǎo)數(shù)，但似乎不可能在其定義域內(nèi)沒(méi)有一個(gè)點(diǎn)上都是不可求導(dǎo)的．然而，這一似乎毫無(wú)瑕疵和理所應(yīng)當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)直覺(jué)卻并不正確．推翻這一直覺(jué)的反例有很多．其中的一個(gè)例子是著名數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯首先構(gòu)造出來(lái)的．如下是這個(gè)處處連續(xù)、但卻處處不可微的函數(shù)：

這一發(fā)現(xiàn)極大地震驚了數(shù)學(xué)界，因?yàn)樗囟葲_擊了經(jīng)典的微積分觀念．這類具有奇特甚至怪異性質(zhì)的函數(shù)曾一度被斥為“病態(tài)函數(shù)”而被主流數(shù)學(xué)所貶抑．而恰恰是這些具有似乎相當(dāng)怪異性質(zhì)的“病態(tài)函數(shù)”，卻構(gòu)成了數(shù)學(xué)新學(xué)科和新知識(shí)的生長(zhǎng)內(nèi)核．

在微積分范式下不受人待見(jiàn)的種種知識(shí)型中，有些開(kāi)始了新的生長(zhǎng)并逐漸碩果累累．其中最為引人矚目的成就之一就是“分形”這一學(xué)科的創(chuàng)立．分形（fractal）一詞，是法國(guó)數(shù)學(xué)家曼德勃羅（B. B. Mandelbrot）于20世紀(jì)70年代創(chuàng)造出來(lái)的，其原意是不規(guī)則、支離破碎等．起源于如何刻畫(huà)自然界大量的諸如云朵、山峰、海岸線和閃電等經(jīng)典微積分無(wú)法很好描述的物態(tài)和形狀，曼德勃羅提出了分形幾何學(xué)的基本思想，它是一門以非規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)．曼德勃羅曾經(jīng)為分形下過(guò)兩個(gè)定義．（i）滿足條件Dim()>dim()的集合，稱為分形集．其中，Dim()為集合的Hausdoff維數(shù)（或分維數(shù)），dim()為其拓?fù)渚S數(shù)．一般說(shuō)來(lái)，Dim()不是整數(shù)，而是分?jǐn)?shù)．（ii）部分與整體以某種形式相似的形，稱為分形．

由于不規(guī)則現(xiàn)象在自然界是普遍存在的，因此分形幾何又被稱為描述大自然的幾何學(xué)．分形幾何建立以后，很快就引起了許多學(xué)科的關(guān)注，這是由于它不僅在理論上，而且在實(shí)用上都具有重要價(jià)值．因?yàn)榉中卧谒械拇笮〕叨认露硷@得相似，所以通常被認(rèn)為是無(wú)限復(fù)雜的（在不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)挠迷~意義下）．自然界里一定程度類似分形的事物有云朵、山脈、閃電、海岸線和雪片，等等．而著名的分形圖形有皮亞諾曲線、科契雪花曲線、康托集、曼德勃羅集、朱麗葉集、謝賓斯基毯、無(wú)限二進(jìn)制樹(shù)等（見(jiàn)圖1）．

圖1 幾種典型的分形圖形

隨著分形理論的誕生，人們逐漸發(fā)現(xiàn)了越來(lái)越多的處處連續(xù)、處處不可微的函數(shù)，如著名的魏爾斯特拉斯–曼德勃羅分形函數(shù)：

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圖2 魏–曼分形函數(shù)的兩種圖形

這一函數(shù)的特點(diǎn)是連續(xù)，不可微，無(wú)標(biāo)尺．圖2顯示了這一函數(shù)在兩種不同取值下的圖形．從中可以看出，當(dāng)值逐漸變大時(shí)，圖形的幅度變化加劇，呈現(xiàn)出更加密集的分布．

2.2 混沌理論的開(kāi)創(chuàng)：洛倫茲吸引子與KAM定理

更廣泛地看，分形是構(gòu)成了更為一般的混沌理論的一個(gè)重要分支．混沌理論的開(kāi)創(chuàng)者之一是美國(guó)麻省理工學(xué)院教授洛倫茲（E. N. Lorenz）．1963年，洛倫茲在《大氣科學(xué)》雜志上發(fā)表了題為“決定性的非周期流”的文章，其中闡述了在氣候不能精確重演與長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)者無(wú)能為力之間必然存在著非周期性與不可預(yù)見(jiàn)性之間的關(guān)系．其中一個(gè)主要結(jié)論就是“隨著一個(gè)小的改變非周期的解通常變得不穩(wěn)定，因此初始狀態(tài)的微小改變可以演化成相當(dāng)不同的狀態(tài)”[5]．該論文的發(fā)表被認(rèn)為是一個(gè)劃時(shí)代和具有里程碑意義的杰作，被科學(xué)界看作是對(duì)牛頓的古典物理學(xué)所確立的一直未受挑戰(zhàn)的決定論的一個(gè)致命打擊[6]．洛倫茲在計(jì)算機(jī)上用他建立的微分方程（被稱為洛倫茲方程或洛倫茲系統(tǒng)）：

這里，表示對(duì)流強(qiáng)度；是上升氣流與下降氣流的溫度差；表示垂直方向溫度分布的非線性強(qiáng)度．系統(tǒng)參數(shù)、、分別表示普朗特?cái)?shù)、瑞利數(shù)和與對(duì)流縱橫比有關(guān)的外形比．）模擬氣候變化的時(shí)候，偶然發(fā)現(xiàn)當(dāng)輸入的初始條件發(fā)生極微小的差別之后，居然會(huì)引起模擬結(jié)果的巨大變化，這一奇異的運(yùn)動(dòng)結(jié)果被稱為“洛倫茲吸引子”．

“洛倫茲吸引子”被稱為混沌的范式．“洛倫茲吸引子”具有這樣幾個(gè)特性：“（1）它是復(fù)雜的和混沌的，但不是雙曲型的；（2）無(wú)論是從拓?fù)鋵W(xué)還是遍歷理論的觀點(diǎn)，其動(dòng)力學(xué)可以很好且合理地描述；（3）它承認(rèn)某些雙曲性質(zhì)；（4）它是穩(wěn)健的，任何一個(gè)洛倫茲模型的攝動(dòng)會(huì)形成另一個(gè)洛倫茲模型．”[7]1972年，洛倫茲在一次講座中曾比喻說(shuō)，在南半球巴西某地一只蝴蝶翅膀的拍打所引起的微小氣流，可能會(huì)在幾周后演變成席卷美國(guó)得克薩斯州的一場(chǎng)陸龍卷[8]．這就是著名的“蝴蝶效應(yīng)”（butterfly effect），是對(duì)“洛倫茲吸引子”的一個(gè)通俗解釋．

與傳統(tǒng)微積分科學(xué)所擅長(zhǎng)處理的線性科學(xué)不同，混沌學(xué)的研究對(duì)象是非線性科學(xué)，比如非線性動(dòng)力系統(tǒng)．“一般而言，動(dòng)力學(xué)是關(guān)于時(shí)間進(jìn)化過(guò)程研究的一個(gè)術(shù)語(yǔ)，而對(duì)應(yīng)的描繪這一進(jìn)化的方程組，叫做動(dòng)力系統(tǒng)．其中，非線性系統(tǒng)即可以指具有一個(gè)物理存在的動(dòng)力過(guò)程，也可以指這一過(guò)程模型的方程．”[9]非線性系統(tǒng)理論的奠基者是彭加萊、李雅普諾夫和伯克霍夫．在非線性動(dòng)力系統(tǒng)的理論發(fā)展中，一個(gè)具有重要里程碑意義的成就是著名的KAM定理（KAM由3位數(shù)學(xué)家名字的首字母構(gòu)成，由科爾莫戈諾夫提出，1960年代早期被阿諾德和莫澤所證明）．在非線性系統(tǒng)的研究進(jìn)程中，人們開(kāi)始意識(shí)到即使是一個(gè)極小的非可積攝動(dòng)都會(huì)導(dǎo)致困難的分析問(wèn)題．在KAM定理誕生之前的很長(zhǎng)一段時(shí)間，這樣一種攝動(dòng)是否會(huì)即刻導(dǎo)致一種可積的系統(tǒng)混沌性是一個(gè)未解決的問(wèn)題．這一問(wèn)題可以更為形式化地表述為當(dāng)一種非可積的攝動(dòng)被添加到可積系統(tǒng)中后，是否存在一種平滑和即刻的從規(guī)則到混沌的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換（在攝動(dòng)的強(qiáng)度下）？KAM定理回答了這個(gè)問(wèn)題．KAM定理表明，在微小的攝動(dòng)下規(guī)則結(jié)構(gòu)的存在性，非線性系統(tǒng)中出現(xiàn)混沌具有普遍性．

混沌打破了確定性方程由初始條件嚴(yán)格確定系統(tǒng)未來(lái)運(yùn)動(dòng)的常規(guī)模式，會(huì)出現(xiàn)所謂各種“奇異吸引子”現(xiàn)象等．而如何從數(shù)學(xué)上研究混沌一直是數(shù)學(xué)家孜孜以求的目標(biāo)．當(dāng)代英國(guó)著名數(shù)學(xué)家阿迪亞寫道：“孤立子和混沌是微分方程理論兩個(gè)非常不同的方面，在本世紀(jì)已經(jīng)成為極其重要和非常著名的研究課題．它們代表著可供選擇的極端．孤立子代表非線性微分方程的不可預(yù)料但有組織的行為，而混沌代表的是不可預(yù)料且無(wú)組織的行為．”[10]與20世紀(jì)中葉之前的數(shù)學(xué)分支不同的是，混沌理論的數(shù)學(xué)表示既是獨(dú)立于應(yīng)用性和可觀察的現(xiàn)象的，同時(shí)又很難與從一般科學(xué)角度研究混沌中分離開(kāi)來(lái)[11]．

3 當(dāng)代數(shù)學(xué)知識(shí)的遷越：走向復(fù)雜性科學(xué)與后微積分范式

“復(fù)雜性科學(xué)”是對(duì)各種顯示了與傳統(tǒng)科學(xué)范式明顯不同的具有復(fù)雜性科學(xué)知識(shí)形態(tài)的多門學(xué)科的總稱．盡管目前對(duì)復(fù)雜性科學(xué)尚沒(méi)有完全一致的看法，但有一些觀點(diǎn)已逐步成為學(xué)者的共識(shí)．在Springer出版社出版的復(fù)雜性叢書(shū)的前言中，對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)性的定義是：“復(fù)雜系統(tǒng)是包含許多相互作用的部分組成的系統(tǒng)，這些部分具有產(chǎn)生宏觀集群行為的新特性，這些新特性的顯現(xiàn)是暫時(shí)的、立體的或功能型結(jié)構(gòu)所自發(fā)形成的．”[12]

富特（R. Foote）曾在著名的《科學(xué)》雜志上撰文，提出了“復(fù)雜系統(tǒng)”（complex system）所描繪的現(xiàn)象、結(jié)構(gòu)、集合、組織和問(wèn)題所具有的4個(gè)共性：“（1）它們都是內(nèi)在復(fù)雜或纏繞的；（2）它們很少被完全確定的；（3）系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型通常是復(fù)雜的并包含著非線性、不適定的（ill-posed）或混沌的行為；（4）系統(tǒng)易受意外結(jié)果（所謂的‘突現(xiàn)行為’）的影響．”[13]諸如突變理論、非線性科學(xué)（如非線性動(dòng)力系統(tǒng)）、模糊數(shù)學(xué)、隨機(jī)數(shù)學(xué)和計(jì)算復(fù)雜性等都是具有復(fù)雜性科學(xué)特征的學(xué)科．其中，復(fù)雜關(guān)聯(lián)度（即與其它學(xué)科的交叉度高，難以完全析出知識(shí)的獨(dú)立指標(biāo)性）、內(nèi)隱性（即難以完全刻畫(huà)和窮盡的）和邊際模糊性構(gòu)成了這些學(xué)科的知識(shí)特點(diǎn)．

復(fù)雜性科學(xué)不是一門單一的學(xué)科，而是具有內(nèi)在復(fù)雜性的一系列學(xué)科的集合．這些學(xué)科之間存在著學(xué)科對(duì)象、內(nèi)容和思想方法的交叉、重疊和復(fù)雜的關(guān)聯(lián)性．借助于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)，分形成為探索復(fù)雜性現(xiàn)象的一個(gè)有力工具，如朱麗葉集．（朱麗葉集由一個(gè)復(fù)變函數(shù)的迭代生成．在復(fù)平面上，像這樣一個(gè)帶有常數(shù)c的簡(jiǎn)單函數(shù)，由很簡(jiǎn)單的迭代過(guò)程，就能生成非常復(fù)雜的集，或者說(shuō)具有奇異形狀的分形．）

圖3顯示的是計(jì)算機(jī)在某些給定條件下做出的c取兩種不同數(shù)值時(shí)所得到的朱麗葉集的圖形．分形誕生以來(lái)，人們從不同的數(shù)學(xué)理論視角對(duì)之進(jìn)行了更為深入廣泛的研究．例如從度量拓?fù)鋵W(xué)的角度對(duì)分形進(jìn)行的研究；還有從測(cè)度論角度對(duì)分形開(kāi)展的研究；進(jìn)而產(chǎn)生了分形維度、多重分形、超級(jí)分形等概念．由此，分形被納入了當(dāng)代數(shù)學(xué)復(fù)雜的學(xué)科間性之中，并成為復(fù)雜性科學(xué)的標(biāo)志性科學(xué)之一．

（左圖為f(z)=z2-1的圖象；右圖為f(z)=z2+i）的圖象[14]）

“量子混沌”研究的是在量子水平上的混沌現(xiàn)象．維姆伯格（S. Wimberger）在《非線性動(dòng)力學(xué)與量子混沌》一書(shū)中討論了兩種定義量子混沌性的方式，一種是用半古典的強(qiáng)有力方法去刻畫(huà)動(dòng)力量子系統(tǒng)，第二種是從量子力學(xué)的最核心處，即量子譜及其性質(zhì)出發(fā)[15]．“在一個(gè)量子系統(tǒng)中，如果允許以一種自洽的方式與其邊界相互作用，就會(huì)出現(xiàn)混沌．”[16]與經(jīng)典混沌運(yùn)動(dòng)不同，“在現(xiàn)實(shí)中，一個(gè)量子系統(tǒng)不像在經(jīng)典混沌中那樣軌道通常是多樣的，它對(duì)初始條件的依賴并不強(qiáng)”[7]．

綜上就可以歸納出“后微積分范式”的概念．其基本含義是在若干關(guān)節(jié)點(diǎn)上突破了傳統(tǒng)微積分的理論框架，尤其是對(duì)于那些在微積分范式下被輕視或被看低的研究對(duì)象與性質(zhì)（如不連續(xù)（離散）、不可導(dǎo)、不可積、初始條件和最終解之間的關(guān)系是漸變平衡的對(duì)象等等）予以重新認(rèn)識(shí)并獲得新生的理論叢和學(xué)科群的一個(gè)總體的概括．其中以混沌理論和復(fù)雜性科學(xué)為主要學(xué)科標(biāo)志．在后微積分范式中，新的問(wèn)題會(huì)被不斷提出并激發(fā)有生命力的新學(xué)科的萌生和生長(zhǎng)．其基本理論對(duì)各種現(xiàn)象的解釋力要高于舊的理論體系．這些新的理論叢和學(xué)科群在數(shù)學(xué)界和科學(xué)界獲得了專家系統(tǒng)高度和普遍的認(rèn)可和好評(píng)，并與自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的最新進(jìn)展有著更好的親和力．

4 后微積分范式下數(shù)學(xué)課程與教學(xué)改革的開(kāi)創(chuàng)與前瞻

從哲學(xué)的視域看，后微積分范式是20世紀(jì)后半葉以來(lái)整體科學(xué)革命圖景的一個(gè)突出的亮點(diǎn)．它的確立意味著自伽利略以來(lái)西方現(xiàn)代性科學(xué)的整體范式（即基于確定性、決定論、還原論和機(jī)械論的世界觀念及其思想框架）正在遭受前所未有的挑戰(zhàn)并逐步解體．亞瑟（W. B. Arthur）等學(xué)者認(rèn)為“預(yù)測(cè)性數(shù)學(xué)”（即以微積分理論為標(biāo)志的，特別是以經(jīng)典的常微分與偏微分方程為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)）是以一種平衡態(tài)的假設(shè)為前提的，而諸如分散化的相互作用、沒(méi)有全局的控制者或原因、多重水平的組織、連續(xù)修正適應(yīng)性和遠(yuǎn)離平衡態(tài)等經(jīng)濟(jì)特征是“預(yù)測(cè)性數(shù)學(xué)”難以描繪的[17]．而后者正是復(fù)雜性科學(xué)所著力刻畫(huà)的對(duì)象和現(xiàn)象．

雖然復(fù)雜性科學(xué)的學(xué)科范圍要大于或超出數(shù)學(xué)的理論框架，但數(shù)學(xué)對(duì)于復(fù)雜性科學(xué)等一系列新興科學(xué)的發(fā)展無(wú)疑有一種“數(shù)學(xué)視野”的敏感性．面對(duì)相對(duì)論、量子力學(xué)、非線性科學(xué)、復(fù)雜性科學(xué)、耗散結(jié)構(gòu)、自組織和協(xié)同學(xué)（上述學(xué)科之間許多是相互交叉和相互包含的）等新科學(xué)的出現(xiàn)和挑戰(zhàn)，數(shù)學(xué)自然不會(huì)示弱．對(duì)此，富特的預(yù)測(cè)是：“數(shù)學(xué)與物理的發(fā)展將會(huì)深刻地超越它們的歷史源頭．在更大的意義上，數(shù)學(xué)自身的研究，正在不斷地超越研究者‘用手’驗(yàn)證的能力，將會(huì)是根本的復(fù)雜系統(tǒng)．”[13]可以期待的是，隨機(jī)過(guò)程、混沌理論、非線性科學(xué)和計(jì)算復(fù)雜性（包括生物計(jì)算、膜計(jì)算、量子計(jì)算和云計(jì)算等新的計(jì)算方法和類型）等具有復(fù)雜性科學(xué)特征的領(lǐng)域?qū)⒊蔀楹笪⒎e分時(shí)代數(shù)學(xué)知識(shí)的重要形態(tài)，并將對(duì)未來(lái)科學(xué)的形態(tài)和走向產(chǎn)生持續(xù)而深刻的影響．

在后微積分范式下，數(shù)學(xué)教育會(huì)面臨怎樣的機(jī)遇與挑戰(zhàn)？事實(shí)上，20世紀(jì)后半葉以來(lái)，已經(jīng)有越來(lái)越多的研究者開(kāi)始重視與后微積分范式相關(guān)的課程設(shè)置和教學(xué)問(wèn)題．需要指出的是，雖然后微積分范式是數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)步的一場(chǎng)革命，但它與微積分范式并不是對(duì)立的和截然分離的關(guān)系．后微積分范式是微積分范式的一種超越和突破，強(qiáng)調(diào)后微積分范式的價(jià)值，并不是以完全取代微積分范式為代價(jià)，微積分的知識(shí)價(jià)值和教學(xué)價(jià)值依然是不可替代的．只是后微積分范式是在原有的范式上更進(jìn)一步，在觀念、視角、方法和應(yīng)用等維度上予以開(kāi)拓，以適應(yīng)科學(xué)技術(shù)創(chuàng)新、社會(huì)發(fā)展和教育改革的需要．具體來(lái)看，后微積分范式將會(huì)在以下幾個(gè)方面對(duì)數(shù)學(xué)教育形成影響和推動(dòng)力．

第一，后微積分范式將動(dòng)搖并變革傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課程體系．

在內(nèi)容上，后微積分范式具有更大的知識(shí)體量和更加兼容的知識(shí)結(jié)構(gòu)．法國(guó)數(shù)學(xué)家曼德勃羅曾對(duì)傳統(tǒng)幾何學(xué)的知識(shí)形態(tài)予以詬病：“為什么幾何學(xué)常被說(shuō)成是冷酷和干澀的？一個(gè)原因就在于它不能描繪一朵云、一座山、一條海岸線或一棵樹(shù)的形狀．云朵不是球體狀的，山巒不是錐體狀的，海岸線不是圓形的，樹(shù)皮是不光滑的，甚至閃電都不是以直線行進(jìn)的．”[18]擴(kuò)大對(duì)幾何學(xué)內(nèi)涵的認(rèn)識(shí)就成為幾何教學(xué)改革的先決條件．與微積分范式不同的是，后微積分范式包含了微積分但不限于微積分，是一種集大成（連續(xù)與離散、純粹與應(yīng)用）的綜合數(shù)學(xué)知識(shí)體．

美國(guó)的Seidman和Rice在“熔離散數(shù)學(xué)與連續(xù)數(shù)學(xué)觀念于一爐的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教程”一文中，介紹了把離散與連續(xù)觀念緊密結(jié)合的數(shù)學(xué)課程．這種課程的基本特點(diǎn)是，既能克服傳統(tǒng)單一的微積分課程的不足，又沒(méi)有用離散數(shù)學(xué)完全替代微積分，因?yàn)槲⒎e分的知識(shí)體系對(duì)于數(shù)學(xué)而言是必不可少的，并且能夠把離散數(shù)學(xué)的基本概念和方法與微積分的概念與方法相融合，讓學(xué)生能夠獲取更為寬闊的知識(shí)視野，顯示出更為靈活和優(yōu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)[19]．為了更好地開(kāi)展后微積分范式的教學(xué)，中外教材的比較是很重要的工作．例如中國(guó)學(xué)者對(duì)中美微積分教材進(jìn)行的有益的比較[20]．

中國(guó)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施以來(lái)，數(shù)學(xué)教育界對(duì)后微積分范式中的離散數(shù)學(xué)內(nèi)容，予以了越來(lái)越多的關(guān)注．《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》中，對(duì)當(dāng)代數(shù)學(xué)的許多趨勢(shì)給予了描述．“近年來(lái)，在通信業(yè)中發(fā)展起一門新的科學(xué)——安全技術(shù)，包括消息認(rèn)證和身份驗(yàn)證兩個(gè)方面．消息認(rèn)證是檢查收到的消息是否真實(shí)的一種手段，應(yīng)用十分廣泛……在當(dāng)今通信事業(yè)以及軍事指揮中心、軍事監(jiān)聽(tīng)機(jī)構(gòu)中都要有很好的消息認(rèn)證系統(tǒng)，以使受假消息影響的程度為最?。矸蒡?yàn)證是檢驗(yàn)消息的來(lái)源（發(fā)信者）是否正確，或者傳遞的消息是否到達(dá)正確目的地（收信者）的方法．”[21]“由于計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用帶來(lái)的信息革命，適宜于計(jì)算機(jī)作離散化處理的離散數(shù)學(xué)日益顯示出其巨大的威力，并導(dǎo)致了在高等數(shù)學(xué)課程中微積分核心地位的動(dòng)搖．”[22]

第二，在后微積分范式引導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教育，將會(huì)帶來(lái)許多數(shù)學(xué)觀念的全新變革．例如，簡(jiǎn)單性曾被包括彭加萊在內(nèi)的數(shù)學(xué)大師視為數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)美的一個(gè)典型特征[23]，而在后微積分知識(shí)中，除了簡(jiǎn)單性之外，復(fù)雜性則會(huì)成為基本的數(shù)學(xué)知識(shí)樣貌．不僅如此，傳統(tǒng)微積分理念中的許多舒適的假設(shè)都被顛覆了．例如前面談到的魏爾斯特拉斯所構(gòu)造的存在處處連續(xù)，處處不可導(dǎo)的函數(shù)就與微積分的直覺(jué)相違背．雪花曲線則提供了一個(gè)面積有限、周長(zhǎng)無(wú)限的非經(jīng)典圖形的范例．在后微積分時(shí)代，一個(gè)重要的觀念轉(zhuǎn)換就是“從線性的、可逆的、可還原的動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)模型向非線性的、不可逆的、功能上不可還原的復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)模型（特別是包括所有生命系統(tǒng)在內(nèi)的復(fù)雜的適應(yīng)系統(tǒng)）的轉(zhuǎn)換”[24]．

第三，在方法論層面，后微積分范式帶來(lái)數(shù)學(xué)方法論的許多變革．例如，模糊邏輯為不精確推理提供了理論基礎(chǔ)．“這種推理又稱為近似推理．近似推理引用精確推理的謂詞邏輯來(lái)處理部分真命題，因此它是經(jīng)典命題演繹的推廣．”[25]再比如，“在離散數(shù)學(xué)中，猜測(cè)、算法、試錯(cuò)和計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)成為基本的方法，這是一個(gè)數(shù)學(xué)方法論的重大轉(zhuǎn)變，具有典型的方法論革命意義”[26]．計(jì)算機(jī)輔助化成為做數(shù)學(xué)的基本方法，如阿佩爾和哈肯運(yùn)用計(jì)算機(jī)對(duì)四色定理的證明，就顛覆了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)手工證明的觀念．計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)也逐漸成為做數(shù)學(xué)的一種基本方式．進(jìn)而，機(jī)器證明作為一種計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)結(jié)合的新方法，將會(huì)對(duì)幾何教學(xué)帶來(lái)深刻的變革[27]．

第四，后微積分范式還將給數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域帶來(lái)新的生機(jī)，在計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)教學(xué)日益融合的時(shí)代更是如此．比如，在混沌理論的研究中，計(jì)算機(jī)科學(xué)就扮演著十分重要的作用．計(jì)算機(jī)對(duì)于建立非線性系統(tǒng)的模型十分重要．與以往數(shù)學(xué)與物理學(xué)的緊密聯(lián)系不同，在混沌理論中，物理與數(shù)學(xué)模型的對(duì)應(yīng)性不再是直接的，而是經(jīng)過(guò)了計(jì)算和計(jì)算機(jī)模擬與實(shí)驗(yàn)這一中介方式．

計(jì)算復(fù)雜性是計(jì)算機(jī)科學(xué)的復(fù)雜性理論和數(shù)值計(jì)算的復(fù)雜性理論的總稱．在大數(shù)據(jù)、云計(jì)算、互聯(lián)網(wǎng)+的技術(shù)背景下，計(jì)算復(fù)雜性的思想正扮演著越來(lái)越重要的角色．計(jì)算復(fù)雜性的概念源自于圖靈機(jī)（TM）在采用一種算法進(jìn)行計(jì)算時(shí)的運(yùn)算時(shí)間問(wèn)題．有時(shí)候?yàn)榱说玫揭粋€(gè)答案，即使TM運(yùn)行得足夠快，也仍然會(huì)出現(xiàn)TM會(huì)花費(fèi)不切實(shí)際的運(yùn)行時(shí)間的可能．比如，假如你想去參觀遍布于世界各地的50個(gè)旅游目的地．并且你也知道從一個(gè)目的地到另一個(gè)目的地所需的費(fèi)用．具體取決于你從哪一個(gè)地方開(kāi)始，以及下一個(gè)目的地去哪里．這樣，你就有50!（即50的階乘）種旅游方案可供選擇．而各種不同可能性的數(shù)目將是一個(gè)巨大的數(shù)字，50!>10025．如果計(jì)算每次旅行這50個(gè)地點(diǎn)所需花銷的時(shí)間僅需十億分之一秒（這已是相當(dāng)快的了），那么要確定那次旅行的費(fèi)用最低，將用掉不少于1025次一個(gè)人一生的時(shí)間[28]．因此，僅僅滿足于算法可解性是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還需要考慮實(shí)際可解性．這就涉及到TM所采用的計(jì)算模式以及TM運(yùn)行的時(shí)間和空間．這正是計(jì)算復(fù)雜性所要考慮的問(wèn)題．

第五，教學(xué)改革的可行性與漸進(jìn)性．

20世紀(jì)60年代風(fēng)靡西方數(shù)學(xué)教育的新數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)之所以沒(méi)有獲得成功，一個(gè)原因就是在課程體系中沒(méi)有充分考慮數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性，偏于抽象數(shù)學(xué)之一隅而偏廢了應(yīng)用數(shù)學(xué)．而后微積分范式則體現(xiàn)純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)的統(tǒng)一，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的歷史連續(xù)性，完整地表達(dá)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想觀念和知識(shí)體系．后微積分知識(shí)可以在不同階段的課程設(shè)置和教育實(shí)踐中得以漸進(jìn)地安排．其實(shí)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不少后微積分的知識(shí)內(nèi)容并非像天外來(lái)客那么遙不可及．如前面提到的雪花曲線的周長(zhǎng)和面積問(wèn)題，都是高中階段知識(shí)完全可以解決的．混沌理論中的“蝴蝶效應(yīng)”在數(shù)學(xué)教育圈內(nèi)則是家喻戶曉的文化常識(shí)．

可以期待的是，數(shù)學(xué)知識(shí)范式的演變將對(duì)數(shù)學(xué)課程的設(shè)置和數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生持續(xù)深刻的革命性影響．應(yīng)該指出的是，在當(dāng)下，無(wú)論是大學(xué)教育階段，還是義務(wù)教育和高中教育階段，對(duì)后微積分范式的敏感度仍然是不夠的．改革的必要性還沒(méi)有被充分意識(shí)到．尤其是中國(guó)師范院校的數(shù)學(xué)課程體系，依然是微積分本位的．而以微積分為基底的大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)形態(tài)，對(duì)于未來(lái)數(shù)學(xué)教師的知識(shí)準(zhǔn)備和未來(lái)數(shù)學(xué)課程的展開(kāi)而言是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的．從微積分范式向后微積分范式的轉(zhuǎn)換，前景可期，路程漫漫，數(shù)學(xué)教育工作者仍需努力．

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Kernel Fission of Calculus and the Significance of Mathematics Education of “Post-Calculus Paradigm”

HUANG Qin-an

(School of Mathematics and Statistics, Shaanxi Normal University, Shaanxi Xi’an 710119, China)

Calculus theory, as one of the great knowledge creations in human history, has been regarded as a powerful mathematical language and model to describe the universe and natural operation for a long period of time since its birth. Since the 20th century, as a typical revolutionary knowledge innovation, a variety of emerging disciplines such as fractal geometry, chaos theory and complexity science have emerged. These important mathematical branches constituted the mainstream of mathematics knowledge form in the post-calculus era and condense into a new paradigm-“post-calculus paradigm”. As a kernel fission of the calculus paradigm, it realizes the subversion, breakthrough and transition of the original paradigm, and has the remarkable characteristics of contemporary scientific revolution such as uncertainty, chaos and complexity. “Post-calculus paradigm” has already constituted an important part and necessary content of college mathematics curriculum, and it will also become the basic content of mathematics curriculum in high school and even compulsory education in the future. Therefore, the significance of “post calculus paradigm” in mathematics education and the topic of how to use the post calculus paradigm to carry out teaching need to be fully demonstrated and paid attention to.

calculus; kernel fission; post calculus paradigm; chaos theory; complexity sciences; mathematics curriculum

G640

A

1004–9894（2022）01–00013–06

黃秦安．微積分的內(nèi)核裂變與“后微積分范式”的數(shù)學(xué)教育價(jià)值[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022，31（1）：13-18．

2021–10–21

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助——數(shù)學(xué)定理背后的發(fā)現(xiàn)細(xì)節(jié)及心理學(xué)解析（GK202105007）

黃秦安（1962—），男，陜西西安人，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)教育哲學(xué)和數(shù)學(xué)文化研究．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、張楠]