知識與核心素養(yǎng)視角下中法圖形與幾何比較研究——基于法國2018版與中國2011版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)

張玉環(huán)，吳佳檜

知識與核心素養(yǎng)視角下中法圖形與幾何比較研究——基于法國2018版與中國2011版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)

張玉環(huán)，吳佳檜

（河南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 開封 475004）

自2017年以來，“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”成為教育界的核心語詞和焦點論域，決定著學(xué)生在數(shù)學(xué)上的全面、可持續(xù)發(fā)展．“圖形與幾何”不僅是數(shù)學(xué)的重要組成部分，也是學(xué)生進(jìn)行認(rèn)知的核心．以法國2018版和中國2011版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)為研究對象，首先對兩國圖形與幾何領(lǐng)域知識內(nèi)容的呈現(xiàn)形式以及知識廣度、深度、難度的設(shè)定情況進(jìn)行對比分析；其次基于內(nèi)涵界定和知識分布兩個層面探析兩國圖形與幾何領(lǐng)域主要涉及的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；最后結(jié)合中國義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實際給出啟示：適當(dāng)調(diào)整“測量”模塊的比重，加強(qiáng)學(xué)生與他人有效的數(shù)學(xué)交流，貫徹算法與編程輔助幾何學(xué)習(xí)．

數(shù)學(xué)知識與核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)；圖形與幾何；比較研究

1 研究緣起

進(jìn)入21世紀(jì)，世界各國對提高公民素養(yǎng)積極響應(yīng)，素養(yǎng)的提高離不開基礎(chǔ)教育．面對新世紀(jì)對人才培養(yǎng)提出的各方面挑戰(zhàn)，各國紛紛對數(shù)學(xué)課程進(jìn)行改革，出臺了適合本國國情的課程改革政策文件[1]．當(dāng)今世界信息高度共享，為順應(yīng)時代潮流、緊跟時代步伐，中國也將迎來新一輪的義務(wù)教育課程改革．歷次課程改革常以數(shù)學(xué)課程改革為突破口，認(rèn)為數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的選擇是首要問題[2]，作為中國義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)設(shè)置的4大領(lǐng)域之一，“圖形與幾何”對訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維能力有著其它領(lǐng)域難以取代的作用[3]．近年來，國內(nèi)學(xué)者從不同角度進(jìn)行了課程標(biāo)準(zhǔn)的中外比較，取得了不少有價值的結(jié)果，涉及到的類型有課程標(biāo)準(zhǔn)整體架構(gòu)的比較[4]、課程標(biāo)準(zhǔn)理念與目標(biāo)的比較[5]、課程內(nèi)容的比較[6]、基于課程標(biāo)準(zhǔn)的能力要求比較[7]．其中課程內(nèi)容研究是教育理論工作者關(guān)注的熱門話題[8]，主要就課程內(nèi)容設(shè)置，知識內(nèi)容廣度、深度、認(rèn)知分布，以及學(xué)段劃分等方面進(jìn)行探討，涉及的領(lǐng)域涵蓋函數(shù)[9]、概率與統(tǒng)計[10]、圖形與幾何[11–12]、微積分[13]等多方面．在中國知網(wǎng)中以“課程內(nèi)容+比較研究”為主題詞可以檢索到180篇期刊論文，其中涉及圖形與幾何領(lǐng)域的僅有10篇，可見目前國內(nèi)對圖形與幾何領(lǐng)域的比較研究還有待進(jìn)一步加強(qiáng)．不少學(xué)者基于課程標(biāo)準(zhǔn)的能力要求進(jìn)行了中外對比，就數(shù)學(xué)能力的發(fā)展歷史、現(xiàn)狀以及內(nèi)涵界定差異等方面進(jìn)行探討，既包括多個能力的整體分析[14]，又涵蓋單個能力的細(xì)致對比[15]．特別地，嚴(yán)虹[16]在對5國初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)能力要求進(jìn)行對比時，試圖從內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)與數(shù)學(xué)能力深度融合的視角探析各國特色，結(jié)論是融合效果并不明顯且富有主觀色彩，但在內(nèi)容和方法上為進(jìn)一步探究內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)與數(shù)學(xué)能力的融合提供了寶貴的經(jīng)驗．

目前，國內(nèi)對于課程標(biāo)準(zhǔn)的比較研究多是從內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)或核心素養(yǎng)的單方面視角進(jìn)行剖析，較少綜合兩個角度進(jìn)行研究，特別是基于知識分布探析核心素養(yǎng)的特性與內(nèi)容體現(xiàn)的文獻(xiàn)更為罕見．此外，還未有學(xué)者對法國2018版課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較研究．法國是一個非常重視數(shù)學(xué)文化及傳統(tǒng)的國家，一直以來也處于數(shù)學(xué)強(qiáng)國的地位，從古至今數(shù)學(xué)家不斷涌現(xiàn)，如費馬、柯西等學(xué)者均在數(shù)學(xué)領(lǐng)域閃耀著光輝，為數(shù)學(xué)發(fā)展開辟了新道路，研究法國數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育頗有意義．為此，基于數(shù)學(xué)知識與核心素養(yǎng)雙重視角對比中法義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)圖形與幾何領(lǐng)域，注重對該主題主要涉及的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)做內(nèi)涵界定與知識分布兩方面的對比，以期對中國義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)修訂工作提供一定的啟示與參考[17]．

2 研究設(shè)計

2.1 研究對象

研究對象源于中國教育部2012年1月出版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（簡稱“中標(biāo)”）[18]和法國教育部2018年10月公布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2018版）》（簡稱“法標(biāo)”）中“圖形與幾何”領(lǐng)域．法國義務(wù)教育分為3個學(xué)段，即第二學(xué)段（cycle 2）、第三學(xué)段（cycle 3）、第四學(xué)段（cycle 4）[19]，所包含的年級為一～三年級（CP、CE1、CE2）、四～六年級（CM1、CM2、6e）、七～九年級（5e、4e、3e）[20]，為論述方便且能較好與中國對比，將3個學(xué)段稱為第一學(xué)段、第二學(xué)段、第三學(xué)段．

2.2 研究問題

許多研究表明，課程標(biāo)準(zhǔn)中最主要、最核心的就是內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)[2]，研究者將主要探討以下問題：中法兩國義務(wù)教育圖形與幾何領(lǐng)域中知識內(nèi)容的呈現(xiàn)形式，以及知識廣度、深度、難度有何差異？中法兩國義務(wù)教育圖形與幾何領(lǐng)域主要涉及的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在內(nèi)涵界定和知識分布上有何特點？

2.3 研究思路

以中法兩國現(xiàn)行的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)文本為研究對象，主要采用定性和定量相結(jié)合的方法．首先，從知識內(nèi)容層面出發(fā)，對其呈現(xiàn)形式以及廣度、深度、難度進(jìn)行對比分析．其次，基于核心素養(yǎng)層面對圖形與幾何領(lǐng)域主要涉及的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)做內(nèi)涵界定與知識分布兩方面的對比．?dāng)?shù)學(xué)能力是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵所在，而10大核心概念所包含的思想、意識、觀念是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要指標(biāo)，與法標(biāo)的六大能力均是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn)．立足于中標(biāo)提出的核心概念與法標(biāo)提出的數(shù)學(xué)能力，對比中法兩國圖形與幾何領(lǐng)域主要涉及的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．知識是素養(yǎng)產(chǎn)生的本源，為素養(yǎng)的發(fā)展提供了理論依據(jù)，而素養(yǎng)也以知識為載體[21]，為此，依據(jù)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的特點，對其蘊含的最突出的知識內(nèi)容進(jìn)行匯總，展開知識分布層面的對比．

3 中法圖形與幾何領(lǐng)域知識內(nèi)容比較與分析

3.1 知識內(nèi)容呈現(xiàn)形式比較

在闡述圖形與幾何領(lǐng)域知識目標(biāo)時，中國劃分3個學(xué)段呈現(xiàn)，其中小學(xué)階段主要涵蓋“圖形的認(rèn)識”“測量”“圖形的運動”“圖形與坐標(biāo)”4個部分，初中階段分為“圖形的性質(zhì)”“圖形的變化”“圖形與坐標(biāo)”3個部分，顯而易見的事實是這些知識內(nèi)容并沒有細(xì)化到各個年級，而是作為每個學(xué)段的終極目標(biāo)呈現(xiàn)，雖然凸顯出內(nèi)容結(jié)構(gòu)的整體性，但籠統(tǒng)的內(nèi)容要求不利于教師清楚地把握課程內(nèi)容．教師是教學(xué)過程中的主力軍，如果教師對學(xué)生各年級結(jié)束時應(yīng)達(dá)到的內(nèi)容要求還存有疑慮，將會直接影響到教學(xué)質(zhì)量．

反觀法國，不僅呈現(xiàn)出各學(xué)段的整體目標(biāo)，而且還詳細(xì)羅列出學(xué)生各年級結(jié)束時應(yīng)掌握的知識內(nèi)容及其目標(biāo)要求，這一舉措既保障了內(nèi)容結(jié)構(gòu)的整體性，又促使各年級知識內(nèi)容之間的聯(lián)系更加緊密．并結(jié)合具體實例將課程標(biāo)準(zhǔn)提到的知識內(nèi)容逐一進(jìn)行了剖析，為經(jīng)驗薄弱的教師把握課程內(nèi)容提供行動指南的同時，也可促使課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的學(xué)生應(yīng)達(dá)到的知識目標(biāo)得到有效落實．

3.2 知識內(nèi)容特性比較

知識內(nèi)容的特性可以從知識廣度、知識深度和知識難度來體現(xiàn)，以下逐一論述．

3.2.1 知識廣度

知識廣度研究的首要任務(wù)是對知識點進(jìn)行統(tǒng)計，知識點有大有小，按最大知識點統(tǒng)計過于籠統(tǒng)，中間層次知識點沒有界定標(biāo)準(zhǔn)，不易把控，為此統(tǒng)計盡可能小的知識點．

（1）知識模塊的比較與分析．

①中法知識點數(shù)量比較．對中法兩國課程標(biāo)準(zhǔn)圖形與幾何領(lǐng)域的知識點數(shù)量進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果見圖1．

圖1 基于模塊的中法知識點匯總

如圖1所示，“測量”“圖形與坐標(biāo)”模塊法國的知識點數(shù)量多于中國，而“圖形的性質(zhì)”“圖形的變化”模塊中國的知識點數(shù)量要多于法國．整體上看，中國圖形與幾何領(lǐng)域知識點個數(shù)比法國多27個，即知識廣度高于法國．顯而易見的是，中法兩國占比最高的均是“圖形的性質(zhì)”模塊，尤其是中國占據(jù)整個內(nèi)容的52%左右，包含53個知識點，處于該領(lǐng)域的核心地位．

②中法知識異同點比較．對中法兩國課程標(biāo)準(zhǔn)圖形與幾何領(lǐng)域的知識異同點進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果見圖2．

圖2 中法兩國獨有知識點匯總

注：圖中左側(cè)為中國，右側(cè)為法國．

如圖2所示，“圖形的性質(zhì)”模塊中國知識點分布較廣，關(guān)于三角形、四邊形、圓的相關(guān)性質(zhì)、定理均有較全面的體現(xiàn)，而法國只是涵蓋個別性質(zhì)、定理．“圖形的變化”模塊中國在圖形變換方面涉及內(nèi)容較多，關(guān)于圖形旋轉(zhuǎn)、投影等知識在法國并未體現(xiàn)．在三角函數(shù)方面，中國要求在了解銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上掌握特殊三角函數(shù)值，而法國僅需了解直角三角函數(shù)．“測量”模塊法國知識點分布較廣，要求學(xué)生能夠使用多種測量儀器，且能就顯示內(nèi)容進(jìn)行讀數(shù)，注重培養(yǎng)學(xué)生操作實踐以及運用數(shù)學(xué)解決生活實際問題的能力．“圖形的認(rèn)識”模塊法國滲透了算法與編程知識，顯而易見的事實是現(xiàn)代信息技術(shù)融入幾何教學(xué)的知識并未在中國涉及．“圖形與坐標(biāo)”模塊，法國要求學(xué)生能夠?qū)ζ矫鎴D、模型進(jìn)行空間表達(dá)，并掌握球體的經(jīng)度、緯度，幫助學(xué)生增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的現(xiàn)實感和立體感．

（2）學(xué)段層面的比較與分析．

如圖3所示，中法兩國課程標(biāo)準(zhǔn)在第三學(xué)段知識點數(shù)量相差最大（中國72個，法國28個），知識點交集較?。袊R點數(shù)量隨學(xué)段逐漸升高，并在第三學(xué)段達(dá)到最大值，幾乎是前兩個學(xué)段知識點總和的2倍，呈“重末端”現(xiàn)狀．相比較來說，法國在各個學(xué)段知識點數(shù)量比較均衡．

圖3 基于學(xué)段的中法知識點匯總

3.2.2 知識深度

知識深度的研究依托課程標(biāo)準(zhǔn)對知識點描述時所用詞語，以布盧姆教育目標(biāo)分類學(xué)為基礎(chǔ)，并結(jié)合中國義務(wù)教育對數(shù)學(xué)課程內(nèi)容要求層次劃分方式，將中法兩國義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對內(nèi)容要求描述時所用的蘊含遞進(jìn)關(guān)系的行為動詞分為4個水平：了解、理解、掌握、活用，規(guī)定水平權(quán)重分別為1、2、3、4[22]，如表1．利用公式

計算，其中d=1, 2, 3, 4依次表示了解、理解、掌握、活用4個深度水平；n表示第d個深度水平的知識點個數(shù)，n的總和即為本次統(tǒng)計的知識點總數(shù)．

表1 認(rèn)知層次界定參照

（1）認(rèn)知水平知識分布整體比較與分析．

統(tǒng)計中法兩國課程標(biāo)準(zhǔn)在4個水平上的知識點個數(shù)，結(jié)果見圖4．

圖4 中法圖形與幾何認(rèn)知水平的知識分布

如圖4所示，中法兩國課程標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生達(dá)到“理解”水平的比例最高，在“掌握”水平要求均是最低的．“理解”和“掌握”水平兩國差距不大，而在“了解”和“活用”水平分別相差7.16%和6.30%．中法兩國課程標(biāo)準(zhǔn)在“了解”“理解”水平比例均高于“掌握”“活用”水平．總體上看，中法兩國課程標(biāo)準(zhǔn)在4個水平上的分布情況差距不大．

（2）知識模塊、學(xué)段的比較與分析．

如圖5所示，中法兩國課程標(biāo)準(zhǔn)知識深度基本穩(wěn)定在認(rèn)知層次2左右．“圖形的認(rèn)識”模塊明顯看出法國的知識深度高出中國0.540層次，該模塊中國要求學(xué)生認(rèn)識、了解圖形即可，而法國要求學(xué)生會辨認(rèn)基本圖形的同時，還要求能運用幾何軟件構(gòu)建圖形．相對于中國用認(rèn)識、了解等行為動詞來描述“圖形的認(rèn)識”模塊知識的認(rèn)知要求，法國更多的為運用、構(gòu)建層次．“圖形的變化”模塊法國知識深度高于中國0.610層次，這一模塊中國知識點數(shù)量約是法國的兩倍，但其行為動詞絕大多數(shù)處于了解水平．如位似這一相同知識點，中國要求了解，而法國則要求認(rèn)識、運用．

圖5 基于模塊的中法知識深度對比

如圖6所示，中法兩國課程標(biāo)準(zhǔn)知識深度均隨學(xué)段的升高而上升，且法國遞增的趨勢逐漸變大，中國則逐漸趨于平緩，中法兩國課程標(biāo)準(zhǔn)知識深度均在2.300層次上下浮動，法國3個學(xué)段的知識深度均高于中國．整體上看，法國的知識深度高出中國0.104層次（法國2.364，中國2.260）．

圖6 基于學(xué)段的中法知識深度對比

3.2.3 知識難度

對圖形與幾何的知識難度研究，首要任務(wù)是構(gòu)建難度測量模型．參考國內(nèi)相關(guān)的課程難度研究方法[23]，再基于文獻(xiàn)分析，最后確立了知識廣度、知識深度的“二維度”難度線性模型：

=(1,2)，

=11+22，0<1、2<1，1+2=1．

其中，1表示知識廣度，2表示知識深度，模型系數(shù)：1=2=0.5．為了更合理地比較，對1、2進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，即：1之值為各國課程標(biāo)準(zhǔn)包含的知識點個數(shù)與兩國知識點總數(shù)之比，2之值為各國課程標(biāo)準(zhǔn)知識深度與兩國課標(biāo)知識深度之比，結(jié)果見圖7．

圖7 基于模塊的中法知識難度對比

由圖7可知，中國在“圖形的變化”“圖形的性質(zhì)”這兩個模塊知識難度均高于法國．“圖形與坐標(biāo)”模塊中法兩國課程標(biāo)準(zhǔn)知識難度近乎相等且趨于0.500層次．“圖形的性質(zhì)”模塊中國在知識內(nèi)容的3個維度均高于法國，“圖形的性質(zhì)”可視為思維的體操，對發(fā)展學(xué)生邏輯思維、推理論證等能力有著不可估量的作用．法國在“測量”模塊不僅知識點分布較廣，且要求也不再是簡單的了解層次，更多的是理解、掌握層次，也就造成了知識難度的差異．

如圖8所示，中法兩國課程標(biāo)準(zhǔn)在一、三學(xué)段知識難度近似相等，第二學(xué)段法國高于中國．中國的知識難度先減后增，呈“U”形；而法國先增后減，呈倒“U”形．整體上看，法國的知識難度高于中國，難度值分別為0.521、0.480．

圖8 基于學(xué)段的中法知識難度對比

4 中法圖形與幾何領(lǐng)域數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)比較與分析

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的研究起步較早，卻始終沒有統(tǒng)一的界定．后來學(xué)界參照核心素養(yǎng)這個上位詞的概念，給出明確界定，即學(xué)生應(yīng)具備適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵的數(shù)學(xué)能力[21]．這里的“數(shù)學(xué)能力”是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵要素，占據(jù)核心地位．中標(biāo)提出的十大核心概念所涉及的思想、意識、觀念是塑造學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要指標(biāo)，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵，其中圖形與幾何領(lǐng)域中主要涉及的有5部分，即空間觀念、幾何直觀、模型思想、推理能力、運算能力．同樣地，法標(biāo)在“數(shù)學(xué)綜述”部分提出的六大數(shù)學(xué)能力也均是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的表現(xiàn)，其中圖形與幾何領(lǐng)域主要涉及的有4部分，即表征能力、建模能力、推理能力、計算能力．?dāng)?shù)學(xué)知識位居數(shù)學(xué)體系的核心，具有明顯的數(shù)學(xué)特征，無論是培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力還是思維品質(zhì)，它都具有強(qiáng)大的縱向融合、橫向聯(lián)系的組織功能．為此，在剖析中法義務(wù)教育圖形與幾何領(lǐng)域主要涉及的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)內(nèi)涵界定的基礎(chǔ)上，依據(jù)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的特點，對其蘊含的最突出的知識內(nèi)容進(jìn)行匯總，展開知識分布層面的對比．

4.1 關(guān)鍵素養(yǎng)的比較與分析

4.1.1 內(nèi)涵界定對比

中標(biāo)提出的空間觀念、幾何直觀是數(shù)學(xué)教學(xué)中一直強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，內(nèi)容上和“圖形與幾何”領(lǐng)域關(guān)系緊密，而法標(biāo)的表征能力內(nèi)容上既涉及數(shù)與代數(shù)，又涵蓋圖形與幾何領(lǐng)域，在此主要就圖形與幾何領(lǐng)域?qū)蓢P(guān)鍵素養(yǎng)進(jìn)行內(nèi)涵界定對比，具體對應(yīng)見圖9．

圖9 中法關(guān)鍵素養(yǎng)內(nèi)涵界定對應(yīng)

如圖9所示，幾何直觀與表征能力在內(nèi)涵界定上一致性程度較高，二者均需要利用圖形將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，從而降低問題的解答難度，達(dá)到預(yù)測結(jié)果的目的，本質(zhì)上均是幫助學(xué)生更直觀地理解數(shù)學(xué)，不同的是幾何直觀致力于運用幾何模型去轉(zhuǎn)化問題，而表征能力多是借助工具圖（圖畫、示意圖、簡圖、圖表）將問題加以轉(zhuǎn)化．空間觀念與表征能力在內(nèi)涵界定上一致性程度較弱，二者均需要進(jìn)行實物與圖形之間的轉(zhuǎn)化，不同的是空間觀念側(cè)重空間想象，而表征能力側(cè)重形式轉(zhuǎn)化．

4.1.2 知識分布對比

按兩國關(guān)鍵素養(yǎng)描述對課程標(biāo)準(zhǔn)知識內(nèi)容進(jìn)行劃分并統(tǒng)計，結(jié)果見圖10、圖11．

圖10 基于模塊的關(guān)鍵素養(yǎng)知識點匯總

如圖10所示，不難發(fā)現(xiàn)“圖形的認(rèn)識”“圖形的變化”模塊中國空間觀念與幾何直觀涵蓋知識點數(shù)量均高于法國．空間觀念旨在將三維空間的物體抽象成二維圖形，研究的問題主要是位置關(guān)系、變化規(guī)律，幾何直觀是利用圖形認(rèn)識問題、啟發(fā)思路[24]，可見二者存在重疊部分，即均需要依托圖形進(jìn)行思考和想象，“圖形的認(rèn)識”是進(jìn)行想象的前提，“圖形的變化”是實現(xiàn)想象的工具．

“圖形的性質(zhì)”模塊法國表征能力涵蓋知識點數(shù)量遠(yuǎn)高于中國．表征能力實質(zhì)上就是學(xué)生運用數(shù)學(xué)概念的能力，由學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、規(guī)律的理解來支撐．另外徐斌艷在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)研究中指出表征能力為：“依托書面符號、圖形、操作性模型等形式，表達(dá)要處理或?qū)W習(xí)的數(shù)學(xué)概念或關(guān)系，從而解決問題．”[25]這一觀點也為上述發(fā)現(xiàn)提供了有力支撐．

如圖11所示，中法兩國對關(guān)鍵素養(yǎng)的重視程度隨學(xué)段的升高逐漸凸顯，其中空間觀念在各學(xué)段中涉及到的知識點數(shù)量較為均衡，幾何直觀與表征能力的趨勢圖相近，且第三學(xué)段知識點數(shù)量高于前兩個學(xué)段的總和．關(guān)鍵素養(yǎng)的培養(yǎng)需要較高的認(rèn)知水平，小學(xué)階段學(xué)生多處于具體形象思維階段，對幾何的認(rèn)識多依賴于現(xiàn)實生活中的實物觀察，更多的是保留對圖形外觀的記憶，建立幾何直觀、制作幾何體以及對空間情境進(jìn)行表征多需要借助抽象思維才可以實現(xiàn)．

圖11 基于學(xué)段的關(guān)鍵素養(yǎng)知識點匯總

4.2 相似素養(yǎng)的比較與分析

4.2.1 中國“模型思想”對法國“建模能力”

（1）內(nèi)涵界定對比．

如圖12所示，模型思想與建模能力均期望學(xué)生能夠體會建模和求解的一般過程，即從問題情境中敏銳地捕捉到數(shù)學(xué)信息，建立相關(guān)式子表示問題中的數(shù)量關(guān)系，并使用數(shù)學(xué)求解，將數(shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)譯為現(xiàn)實結(jié)果并進(jìn)行驗證．不同的是，法國建模能力還要求學(xué)生能夠基于情境信息進(jìn)行模型歸類．經(jīng)對比發(fā)現(xiàn)中國模型思想偏向?qū)嵱眯裕瑥?qiáng)調(diào)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的重要途徑[26]，注重提高學(xué)生的問題解決能力，法國建模能力注重培養(yǎng)學(xué)生類比推理、同化模型的意識．

圖12 模型思想與建模能力內(nèi)涵界定對應(yīng)

（2）知識分布對比．

按模型思想與建模能力內(nèi)涵描述對兩國課程標(biāo)準(zhǔn)知識內(nèi)容進(jìn)行劃分并統(tǒng)計，結(jié)果見表2．

由表2可知，中國模型思想在“圖形的變化”模塊知識點數(shù)量最多，為7個．模型思想的本質(zhì)要求是使學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，聯(lián)系二者的橋梁就是數(shù)學(xué)模型，這里的模型多指方程式、函數(shù)以及各種圖形，而繪制圖形、建立函數(shù)等知識均體現(xiàn)在“圖形的變化”中．法國的建模能力在“圖形的認(rèn)識”模塊涵蓋知識點最多，為6個．法國建模能力注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何思維，特意將能夠運用幾何模擬實際情境作為能力目標(biāo)提出，依托圖形分析問題的前提是有一定的圖形認(rèn)知．經(jīng)對比發(fā)現(xiàn)，法國建模能力貫穿了算法與編程知識，實現(xiàn)了信息技術(shù)與幾何內(nèi)容的有效整合．

表2 模型思想與建模能力知識劃分

注：“√”和“○”分別表示包含和不包含該知識點（下同）

4.2.2 中國“推理能力”對法國“推理能力”

（1）內(nèi)涵界定對比．

如圖13所示，中法兩國推理能力期望學(xué)生在解決問題的過程中既能憑借直覺感知，調(diào)用所學(xué)知識和方法探索思路、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又能依托既定規(guī)則證明該結(jié)論．不同之處在于：①中國推理能力長期以來側(cè)重于在幾何教學(xué)的作圖、證明、計算中培養(yǎng)，而法國推理能力在內(nèi)容上呈現(xiàn)出跨學(xué)科性，即解決的問題可以涉及物理、經(jīng)濟(jì)等；②中國強(qiáng)調(diào)個人活動，即學(xué)生本人通過觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動發(fā)展推理能力[15]；而法國強(qiáng)調(diào)合作交流，即學(xué)生在推理的過程中與教師、同學(xué)展開合作，解釋猜想和結(jié)論的合理性以發(fā)展推理能力；③相比中國，法國還要求學(xué)生能夠反駁一個判斷，注重培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維．

（2）知識分布對比．

按各國推理能力內(nèi)涵描述對兩國課程標(biāo)準(zhǔn)知識內(nèi)容進(jìn)行劃分并統(tǒng)計，結(jié)果見表3．中法兩國推理能力在“圖形的性質(zhì)”模塊涵蓋知識點最多，分別為15個和8個．

經(jīng)對比發(fā)現(xiàn)，與圓有關(guān)的性質(zhì)定理法國涉及較少，中國特意將其作為“圖形的性質(zhì)”模塊中的核心要素進(jìn)行詳細(xì)闡述，并要求學(xué)生能夠進(jìn)行探索及證明，也就造成了“圖形的性質(zhì)”模塊兩國課程標(biāo)準(zhǔn)知識廣度、深度上的差距．在“測量”模塊，法國推理能力涵蓋知識點數(shù)量高于中國，強(qiáng)調(diào)在估算中發(fā)展學(xué)生的推理能力，為學(xué)生提供了自主探索、合作交流的空間．

4.2.3 中國“運算能力”對法國“計算能力”

（1）內(nèi)涵界定對比．

如圖14所示，運算能力與計算能力均期望學(xué)生不僅能夠依據(jù)法則和運算律進(jìn)行簡單的數(shù)值計算，代數(shù)式、方程的變形，以及邏輯演算（必要時可以借助計算器），并且能夠?qū)τ嬎憬Y(jié)果進(jìn)行驗證．不同的是中國運算能力要求學(xué)生尋求到的最佳解決路徑可以體現(xiàn)其思維方式，注重算理，而法國計算能力強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)技巧及工具的使用，注重算法．

（2）知識分布對比．

按運算能力與計算能力內(nèi)涵描述對兩國課程標(biāo)準(zhǔn)知識內(nèi)容進(jìn)行劃分并統(tǒng)計，結(jié)果見表4．

中國運算能力與法國計算能力均在“測量”模塊涵蓋知識點最多，分別為6個和8個．經(jīng)對比發(fā)現(xiàn)：法國計算能力所涉知識點多是數(shù)值、代數(shù)式的計算，且與生活實際聯(lián)系更為緊密，如“重量”“容積”“尺寸”計算，均是現(xiàn)代社會公民必備的生活技能；中國運算能力所涉及的知識多是基于圖形，側(cè)重邏輯演算，這是因為中國運算能力是一個綜合性的能力，與推理能力、建模能力相互滲透、相互支撐．

5 研究結(jié)論

5.1 知識內(nèi)容異同

（1）知識內(nèi)容呈現(xiàn)．

對中法兩國義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)圖形與幾何領(lǐng)域的知識內(nèi)容比較可以看出，兩國知識內(nèi)容呈現(xiàn)形式差異較大，中國以學(xué)段為依托闡述其內(nèi)容要求，法國既有學(xué)段層面的整體把握，又涵蓋年級層面的細(xì)致分析．

表3 推理能力知識劃分

（2）知識廣度、深度、難度．

從知識廣度方面看，中國明顯高于法國，形成這一差異的原因在于“圖形的性質(zhì)”模塊，中國所含知識點數(shù)量高出法國兩倍，該模塊位于第三學(xué)段，這也是導(dǎo)致中國出現(xiàn)“重末端”現(xiàn)象的關(guān)鍵所在．

表4 運算能力與計算能力知識劃分

兩國認(rèn)知水平分布整體差距不大，以至于中法兩國知識深度能夠基本穩(wěn)定在認(rèn)知層次2左右，但顯而易見的事實是法國“活用”水平高于中國，可見法國既注重知識的掌握又強(qiáng)調(diào)知識的拓展及運用，而中國絕大多數(shù)處于“了解”水平，相比法國更注重知識掌握，也就形成了兩國知識深度的差異．

兩國知識難度差距較大，懸殊之處位于第二學(xué)段，究其原因主要在于法國為實現(xiàn)小學(xué)、初中兩階段知識內(nèi)容有階段性但又無明顯界限的銜接，將“圖形的性質(zhì)”模塊的部分知識歸入第二學(xué)段進(jìn)行學(xué)習(xí)，該模塊的認(rèn)知水平“理解”“掌握”層次居多，而在中國該模塊專屬于第三學(xué)段．

圖14 運算能力與計算能力內(nèi)涵界定對應(yīng)

5.2 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)異同

（1）關(guān)鍵素養(yǎng)．

對中法兩國的關(guān)鍵素養(yǎng)對比可以看出，中國的空間觀念與幾何直觀側(cè)重培養(yǎng)學(xué)生對幾何圖形的感知和運用能力，在“圖形的變化”模塊涵蓋知識點最多；而法國的表征能力側(cè)重培養(yǎng)學(xué)生運用圖形語言轉(zhuǎn)譯數(shù)學(xué)思維的能力，這里的圖形可以是幾何模型，也可以是圖畫、示意圖、圖表等，在“圖形的性質(zhì)”模塊涵蓋知識點最多．特別地，幾何直觀與表征能力在內(nèi)涵界定以及知識分布上一致性程度較高，空間觀念與表征能力一致性程度相對較弱．這是因為表征能力與幾何直觀均是基于一定背景條件對圖形進(jìn)行整體把握的能力，而空間觀念傾向于脫離背景想象圖形的形狀與關(guān)系．

（2）相似素養(yǎng)．

經(jīng)對比發(fā)現(xiàn)，兩國相似素養(yǎng)存在一定的差異：內(nèi)涵界定層面，中國的模型思想注重提高學(xué)生的問題解決能力，法國的建模能力注重培養(yǎng)學(xué)生類比推理、同化模型的意識；中國的推理能力凸顯了數(shù)學(xué)特性，強(qiáng)調(diào)個人活動，法國的推理能力呈現(xiàn)出跨學(xué)科性，強(qiáng)調(diào)合作交流；中國的運算能力強(qiáng)調(diào)算理，法國的計算能力強(qiáng)調(diào)算法．

知識分布層面，中國側(cè)重在“圖形的變化”模塊發(fā)展學(xué)生的模型思想，法國側(cè)重在“圖形的認(rèn)識”模塊發(fā)展學(xué)生的建模能力；中法兩國均側(cè)重在“圖形的性質(zhì)”模塊發(fā)展學(xué)生的推理能力，在“測量”模塊發(fā)展學(xué)生的運算（計算）能力．

6 啟示

以上對中法兩國課程標(biāo)準(zhǔn)“圖形與幾何”領(lǐng)域的比較，發(fā)現(xiàn)了一些差異，存在差異是正常的，不必判定孰優(yōu)孰劣，他山之石，可以攻玉．通過比較，也進(jìn)一步了解到中國圖形與幾何方面的基本情況，得到以下幾點啟示．

6.1 適當(dāng)調(diào)整“測量”模塊的比重

從知識內(nèi)容與核心素養(yǎng)的對比發(fā)現(xiàn)，中法兩國義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對“測量”模塊側(cè)重程度不同．法國較為重視“測量”模塊，知識內(nèi)容的3個維度均高于中國，且涉及知識與學(xué)生生活聯(lián)系更為緊密，如“比較、估算、測量重量”“比較、估算、測量容積”“測量尺寸”等知識，均是現(xiàn)代社會公民必備的生活技能，能夠幫助學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)的價值、親身體驗到數(shù)學(xué)的應(yīng)用，有助于調(diào)動學(xué)生操作實踐的積極性，激起學(xué)生的參與意識，高效地理解與吸收知識．可見法國義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)更強(qiáng)調(diào)幾何課程的現(xiàn)實性與實踐性，注重學(xué)生參與，突出數(shù)學(xué)的實用性．這一發(fā)現(xiàn)與曹一鳴在初中數(shù)學(xué)幾何分布的國際比較中的結(jié)論相對契合，除中國內(nèi)地外，新加坡、英國、美國等國家都非常注重測量[27]．為此，在對義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂過程中應(yīng)重新審視幾何內(nèi)容，基于中國國情以及未來社會對學(xué)生的要求合理調(diào)整“測量”模塊的比重，保障課程標(biāo)準(zhǔn)的時代性[28–31]．

6.2 加強(qiáng)學(xué)生與他人有效的數(shù)學(xué)交流

隨著人才需求的改變以及素質(zhì)教育的推進(jìn)，數(shù)學(xué)交流幾乎融入到人類交流活動的各個領(lǐng)域，加強(qiáng)學(xué)生交流能力的培養(yǎng)已成為當(dāng)前數(shù)學(xué)教育改革的一種發(fā)展趨勢和潮流．法國推理能力特意將“能夠聽取他人的意見，開展合作”作為目標(biāo)要求羅列出來，期望學(xué)生在推理的過程中既能解釋自己的思路與方法，又能以尊重、欣賞的態(tài)度傾聽他人的觀點，就傾聽中的疑惑或不同見解進(jìn)行深入交流，這有利于發(fā)展學(xué)生的深層次思維，讓學(xué)生學(xué)會多角度、多層面、多途徑地探索和分析問題，同時也有助于增強(qiáng)學(xué)生的溝通意識、合作精神．特別地，法國義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)特意將交流能力作為六大能力目標(biāo)之一提出，倡導(dǎo)學(xué)生在進(jìn)行自我審視的同時學(xué)會與他人展開合作，以達(dá)到共同進(jìn)步的愿景，可見法國重視與他人交流，強(qiáng)調(diào)合作與共享．中國義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)雖也提出“清晰地表達(dá)自己的想法”“學(xué)會與他人合作交流”的觀點，但顯而易見的事實是中國更加重視自我交流，強(qiáng)調(diào)自我審視與反思[23]．為此，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的過程中可以考慮在不弱化自我交流的基礎(chǔ)上加強(qiáng)學(xué)生與他人有效的數(shù)學(xué)交流，幫助學(xué)生更深入地理解數(shù)學(xué)．

6.3 貫徹算法與編程輔助幾何學(xué)習(xí)

21世紀(jì)以來，現(xiàn)代信息技術(shù)正以前所未有的速度快速發(fā)展，且已融入社會的方方面面，尤其對幾何教學(xué)影響顯著，信息技術(shù)可凸顯幾何的直觀性，將其融入幾何教學(xué)對提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，探索除表象以外的知識有著不可忽視的作用[3]，如今各國都非常關(guān)注信息技術(shù)在幾何教學(xué)中的應(yīng)用．“算法與編程”是信息技術(shù)教學(xué)過程中的一個重要模塊，法國義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在課程內(nèi)容中將“算法與編程”作為單獨的一個領(lǐng)域羅列出來，要求學(xué)生在讀懂算法指令、理解程序框圖的基礎(chǔ)上，設(shè)計出問題解決的算法，并利用軟件執(zhí)行程序解決問題，在義務(wù)教育結(jié)束時達(dá)到計算機(jī)三級的水平[19]．特別地，法國將算法與編程知識融入到圖形與幾何領(lǐng)域，如“圖形的認(rèn)識”模塊要求學(xué)生編寫算法程序繪制圖形、運用幾何軟件構(gòu)建圖形，實現(xiàn)了信息技術(shù)與幾何內(nèi)容的有效整合．目前中國義務(wù)教育對信息技術(shù)與幾何內(nèi)容的整合力度尚且匱乏，為此，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的過程中可以考慮在圖形與幾何內(nèi)容中融入算法與編程知識，以輔助學(xué)生幾何學(xué)習(xí)．

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[31] 黃榮金，曹一鳴．中國數(shù)學(xué)教師合作學(xué)習(xí)的理論和實踐：一個國際視角的審視[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2021，30（3）：1-3．

A Comparative Study of Chinese and French Figures and Geometry from the Perspective of Mathematical Knowledge and Core Competencies——Based on the Compulsory Education Curriculum Standards of France (2018 Version) and China (2011 Version)

ZHANG Yu-huan, WU Jia-hui

(School of Mathematics and Statistics, Henan University, Henan Kaifeng 475004, China)

Since 2017, “mathematical core competencies” has become the core term and focus of the education field, which determines the comprehensive and sustainable development of students in mathematics. “Figures and geometry” is not only an important part of mathematics, but also the core of students’ cognition. Taking the compulsory education curriculum standards of France (2018 version) and China (2011 version) as the research objects, firstly, this study compares and analyzes the presentation forms of knowledge content in the fields of figures and geometry in the two countries, as well as the setting of knowledge breadth, depth and difficulty; Secondly, based on the definition of connotation and the distribution of knowledge, the core competencies of mathematics mainly involved in the fields of graphics and geometry in the two countries is analyzed; Finally, based on the mathematics curriculum standards for compulsory education in China, some suggestions are given: appropriately adjust the proportion of the “measurement” module, strengthen the effective mathematical communication between students and others, and implement algorithms and programming to assist geometry learning.

mathematical knowledge and core competencies; mathematics curriculum standards; figures and geometry; comparative study

G632.4

A

1004–9894（2022）01–0070–09

張玉環(huán)，吳佳檜．知識與核心素養(yǎng)視角下中法圖形與幾何比較研究——基于法國2018版與中國2011版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2022，31（1）：70-78．

2021–10–07

河南省2021年度教師教育課程改革課題研究項目——學(xué)科核心素養(yǎng)背景下職前數(shù)學(xué)教師評價素養(yǎng)現(xiàn)狀及提升策略（2021-JSJYYB- 005）；江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度課題——“教育數(shù)學(xué)”視角下數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)改革研究——以中小學(xué)“微積分”為例（D/2020/01/30）；河南大學(xué)2019年度本科教育教學(xué)改革研究與實踐項目——數(shù)學(xué)師范類課程線上線下混合式教學(xué)的實踐與研究（HDXJJG2019-20）

張玉環(huán)（1983—），女，河南商丘人，副教授，博士，碩士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)教育、教師教育研究．吳佳檜為本文通訊作者．

[責(zé)任編校：陳漢君、陳雋]