基于潛在類別分析的小學(xué)生早期代數(shù)思維水平研究

孫思雨，許添舒，孔企平

基于潛在類別分析的小學(xué)生早期代數(shù)思維水平研究

孫思雨，許添舒，孔企平

（華東師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，上海 200062）

如何通過算術(shù)學(xué)習(xí)培養(yǎng)小學(xué)生的代數(shù)思維近些年受到數(shù)學(xué)教育研究者的關(guān)注．研究采用詹姆斯·J·卡普特（James J Kaput）的代數(shù)思維理論模型，通過對392名三～五年級小學(xué)生的抽象算術(shù)、函數(shù)思維和數(shù)量關(guān)系3方面進(jìn)行調(diào)查，利用潛在類別分析（LCA）對學(xué)生的答題情況進(jìn)行分類，研究結(jié)果顯示：學(xué)生的早期代數(shù)思維從低到高依次劃分為“算術(shù)思維、具體的代數(shù)思維、一般化的代數(shù)思維和符號代數(shù)思維”．隨著早期代數(shù)思維的發(fā)展，學(xué)生的一般化能力和符號化水平逐漸提高．教師應(yīng)在算術(shù)教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生對“相等”的認(rèn)識，讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過程、鼓勵多元表征等活動．

早期代數(shù)；代數(shù)思維；符號意識；小學(xué)生；潛在類別分析

1 問題提出

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是發(fā)展兒童抽象、推理和建模等能力的重要載體，是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待世界的重要途徑[1]．隨著課程改革的不斷深入，人們對于兒童數(shù)學(xué)思維的發(fā)展也越來越關(guān)注．“算術(shù)”一直在小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中占有重要的地位，如何挖掘算術(shù)學(xué)習(xí)背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想？這是值得思考的話題．其實(shí)，算術(shù)的學(xué)習(xí)不僅僅要培養(yǎng)學(xué)生熟練的計(jì)算技能，更要提供發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象與概括，論證與表征的機(jī)會．

國際上小學(xué)數(shù)學(xué)改革反映出這樣一個趨勢：“小學(xué)學(xué)習(xí)算術(shù)，初中再學(xué)習(xí)代數(shù)”的課程設(shè)計(jì)體系逐漸被改變，代數(shù)思維的滲透應(yīng)該從小學(xué)甚至幼兒園開始[2]．隨著研究的不斷積累，這類研究成為了一個單獨(dú)的數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，被稱作“早期代數(shù)”．在ICME-13專門針對“早期代數(shù)”的小組報(bào)告會議集中，卡羅琳·基蘭（Carolyn Kieran）等人曾對早期代數(shù)研究進(jìn)行總結(jié)：“早期代數(shù)的研究目前主要關(guān)注于6～12歲的兒童在構(gòu)建數(shù)學(xué)關(guān)系、模式和算術(shù)結(jié)構(gòu)時(shí)所使用的推理過程，比如注意（noticing）、猜測（conjecturing）、概括（generalizing）、表征（representing）和論證（justifying）．”[2]

雖然中國不提“早期代數(shù)”，但是在課程標(biāo)準(zhǔn)和教學(xué)實(shí)踐中都已滲透了早期代數(shù)思維培養(yǎng)的思想．例如：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在課程基本理念中就明確指出：“學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等過程．”[3]同時(shí)，“符號意識”也包含了“理解并且運(yùn)用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性”[5]．除此之外，蔡金法曾對中美的小學(xué)數(shù)學(xué)課程進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)中國的小學(xué)數(shù)學(xué)課程對于代數(shù)思維的處理有三大特點(diǎn)：第一，小學(xué)算術(shù)中互逆運(yùn)算同時(shí)出現(xiàn)；第二，解應(yīng)用題時(shí)要求學(xué)生同時(shí)使用代數(shù)和算術(shù)方法；第三，教材中等式的設(shè)計(jì)有助于學(xué)生對于“等號”的理解[4]．這都表明中國的小學(xué)數(shù)學(xué)課程為學(xué)生代數(shù)思維的發(fā)展提供了基礎(chǔ)．

目前，中國對于小學(xué)生早期代數(shù)思維的研究基本圍繞概念介紹[5]、教學(xué)設(shè)計(jì)[6]等內(nèi)容，對學(xué)生代數(shù)思維水平發(fā)展的研究較少．對學(xué)生思維發(fā)展的研究有助于教師進(jìn)一步理解學(xué)生、同時(shí)可以針對性地進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)．因此，研究提出以下兩個研究問題：（1）小學(xué)生的早期代數(shù)思維可以劃分為幾個水平？（2）每個水平具有什么樣的思維特征？

2 文獻(xiàn)綜述

如果想要對學(xué)生的早期代數(shù)思維進(jìn)行調(diào)查，首先需要對早期代數(shù)思維的內(nèi)涵進(jìn)行界定，其次是對早期代數(shù)思維的測量工具進(jìn)行設(shè)計(jì)．因此，這里主要對早期代數(shù)思維的內(nèi)涵和早期代數(shù)思維測量進(jìn)行文獻(xiàn)綜述．

2.1 早期代數(shù)思維的內(nèi)涵

許多人把代數(shù)思維僅僅看作利用技巧進(jìn)行方程的求解，化簡和求值，其實(shí)代數(shù)思維不僅僅是會處理這些代數(shù)運(yùn)算，更重要的是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中具有一般化、建模、數(shù)學(xué)概括等思維能力．詹姆斯·J·卡普特（James J. Kaput）較早對早期代數(shù)研究進(jìn)行探索，他認(rèn)為代數(shù)主要包含兩個核心方面．第一，能夠運(yùn)用越來越正式和傳統(tǒng)的符號系統(tǒng)進(jìn)行概括和表達(dá)一般化的結(jié)論．第二，能夠?qū)σ?guī)范嚴(yán)格語法（syntax）進(jìn)行操作．隨后，卡普特提出這兩個核心由3個方面（strands）體現(xiàn)出來：（1）代數(shù)是研究從算術(shù)和量化推理（quantitative reasoning）中抽象出來的結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)；（2）代數(shù)研究函數(shù)、關(guān)系（relations）和協(xié)同變化（joint variation）；（3）代數(shù)是用于表征純數(shù)學(xué)情境和現(xiàn)實(shí)情境的模型語言[7]．

瑪麗亞·布蘭頓（Maria Blanton）等人就是繼承了詹姆斯·J·卡普特的代數(shù)理念展開相關(guān)早期代數(shù)思維的研究．他們的項(xiàng)目LEAP（Learning Through an Early Algebra Progression，簡稱LEAP）由TERC、威斯康辛麥迪遜大學(xué)等機(jī)構(gòu)的研究成員和眾多實(shí)驗(yàn)學(xué)校構(gòu)成，在早期代數(shù)的研究領(lǐng)域具有比較大的影響力．他們將“一般化（generalization）”作為早期代數(shù)思維的核心，并且認(rèn)為早期代數(shù)就是指學(xué)生在小學(xué)階段對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和關(guān)系進(jìn)行概括（generalizing）、表征（representing）、論證（justifying）和推理（reasoning）的過程[8]．與之類似的，安娜·史蒂芬（Ana Stephen）對小學(xué)和初中代數(shù)思維的研究進(jìn)行綜述，她認(rèn)為目前的研究主要圍繞在“抽象算術(shù)（generalized arithmetic）、函數(shù)思維（functional thinking）、數(shù)量推理（quantitative reasoning）”3類數(shù)學(xué)內(nèi)容，以及“概括（generalizing）、推理（reasoning）、表征（representing）和論證（justifying）”4種思維過程[9]．

綜上所述，早期代數(shù)思維包含了學(xué)生在對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和關(guān)系進(jìn)行概括時(shí)經(jīng)歷的一系列思維過程，它是指兒童能夠歸納概括出一般化的算式結(jié)構(gòu)、變化規(guī)律和數(shù)量關(guān)系，并且能運(yùn)用符號來表征和推理論證一般化的結(jié)論．它的核心是學(xué)生在算術(shù)學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)出來的一般化能力．同時(shí)，任何思維的發(fā)展都無法脫離知識作為載體，早期代數(shù)思維的發(fā)展主要有“抽象算術(shù)”“函數(shù)思維”和“數(shù)量推理”3條知識路徑．

2.2 早期代數(shù)思維的測量

早期代數(shù)思維測試主要分為兩類，第一類是單獨(dú)針對抽象算術(shù)、函數(shù)思維或者數(shù)量推理的測試，第二類是對于早期代數(shù)思維進(jìn)行比較全面的測試，同時(shí)包含了至少兩個內(nèi)容的測試．由于早期代數(shù)的研究還處在初期階段，大多數(shù)研究內(nèi)容是圍繞著它的內(nèi)涵、課程與教學(xué)設(shè)計(jì)等，因此大規(guī)模的測量研究還較少．

與函數(shù)思維和數(shù)量推理相比，抽象算術(shù)的測試卷發(fā)展較為成熟，比如帕西佛·馬修斯（Percival G Matthews）等人根據(jù)前人對兒童認(rèn)識“等量關(guān)系”的認(rèn)知水平劃分，開發(fā)出了一套較為全面的測量兒童對于“等式”認(rèn)識的測試[10]．他們對224名二～六年級的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，最后形成了一套包含3種類型、27個題目的測試卷．除此之外，關(guān)系性思維的測量也是抽象算術(shù)中非常重要的一個方面，并且已經(jīng)被應(yīng)用到中國小學(xué)生和初中生早期代數(shù)思維的測量中來[11]．與抽象算術(shù)相比，函數(shù)思維和數(shù)量推理的測試還未有大規(guī)模的測量研究，這些題目比較多地被用于小規(guī)模的課堂與教學(xué)干預(yù)測驗(yàn)當(dāng)中．

隨著早期代數(shù)研究的不斷發(fā)展，近些年逐漸有一些研究者開始開發(fā)內(nèi)容覆蓋比較全面的測試卷．在內(nèi)容結(jié)構(gòu)方面，都是使用卡普特提出的“抽象算術(shù)、函數(shù)思維和建?！弊鳛槔碚撃Ｐ?，但是每個維度測試的具體數(shù)學(xué)知識存在差異．比如瑪麗亞·布蘭頓等人開發(fā)出一套包含11道題目的測試學(xué)生早期代數(shù)思維的測試卷，用來檢驗(yàn)早期代數(shù)教學(xué)干預(yù)前后的學(xué)生能力變化，他們將測試內(nèi)容分為“等式、表達(dá)式、不等式，抽象算術(shù)，變量，函數(shù)思維，比例推理”5個方面[12]．羅爾斯頓·C·尼科爾（Nicole C Ralston）等人通過專家驗(yàn)證、學(xué)生測試與深度訪談等4輪修訂開發(fā)出AAT（Assessment of Algebraic Thinking）．通過對美國華盛頓地區(qū)的學(xué)生分層抽樣得到的397名一～五年級的學(xué)生進(jìn)行測試，得出這是一套信效度良好的早期代數(shù)測試卷[13]．該測試卷一共包含25道測試題，涉及建模、抽象算術(shù)、函數(shù)3塊數(shù)學(xué)內(nèi)容．除了國外的一些研究，國內(nèi)也有關(guān)于符號意識的測量研究，比如，朱立明的博士論文開發(fā)了適合中國義務(wù)教育階段學(xué)生的符號意識的測試卷，該測試卷中也包含了許多概括規(guī)律、理解變量等一些了內(nèi)容的測試題[14]．

3 研究方法與過程

研究采用了混合研究的研究范式，其中既包含用數(shù)學(xué)測試卷對學(xué)生的早期代數(shù)思維進(jìn)行調(diào)查，還包含對個案進(jìn)行單獨(dú)的半結(jié)構(gòu)化訪談．整個研究過程主要包含了以下4個環(huán)節(jié)（如圖1）．

圖1 研究流程

3.1 研究對象

由于早期代數(shù)思維的測試需要學(xué)生具有較高的抽象思維水平，結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)對小學(xué)生的能力要求以及學(xué)生的現(xiàn)實(shí)水平，研究選取三～五年級的學(xué)生進(jìn)行測試．該次測試選擇上海地區(qū)的兩所小學(xué)進(jìn)行數(shù)據(jù)收集，按照學(xué)生平時(shí)的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行整班分層抽樣，盡量保證測試能夠涵蓋不同能力水平的學(xué)生．一共收集到392名學(xué)生的測試卷，其中三年級189人，四年級126人，五年級77人．測試卷的完成時(shí)間為40分鐘，考試過程中由各班的數(shù)學(xué)教師或者班主任監(jiān)督考試，以保證試卷的完成質(zhì)量．

個案是根據(jù)對學(xué)生的早期代數(shù)測試卷結(jié)果進(jìn)行分析之后選擇出來，為了使個案具有代表性，以及保證數(shù)據(jù)的豐富度和有效性，主要依據(jù)以下3個原則挑選：（1）要包括不同思維水平的學(xué)生都；（2）答題策略較為豐富，或者是某一個策略特別獨(dú)特；（3）書面體現(xiàn)出較強(qiáng)的表達(dá)能力．

3.2 測量工具的編制

測試卷中數(shù)學(xué)題目的確立經(jīng)歷了兩個階段．首先，如果要保證試卷具有較高的效度需要有清晰的理論框架．結(jié)合上文對于早期代數(shù)研究的介紹，研究的早期代數(shù)思維測量工具主要改編自詹姆斯·J·卡普特早期代數(shù)理論框架編制[12]，并結(jié)合中國《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對學(xué)生提出的能力要求進(jìn)行難度調(diào)整，具體內(nèi)容如表1．

表1 早期代數(shù)思維測試內(nèi)容框架

結(jié)合表1中的3個主題和不同內(nèi)容維度，查找相應(yīng)的數(shù)學(xué)測試卷，形成試題庫．例如，帕西佛·馬修斯（Percival G. Matthews）開發(fā)的關(guān)于“理解相等”的測試卷已經(jīng)經(jīng)過了大樣本的項(xiàng)目檢驗(yàn)，試題比較成熟，并且被許多研究者所使用，因此馬修斯的測試題便會被選擇進(jìn)入到“抽象算術(shù)”主題中的試題庫．同樣，“桌子與人數(shù)”這個問題情境被許多研究者使用分析學(xué)生的函數(shù)思維，因此這個問題被歸類到“函數(shù)思維”試題庫當(dāng)中．根據(jù)這樣的文獻(xiàn)檢索建立題庫的過程，最后形成了具有16道測試題的早期代數(shù)思維測試卷初稿．

第二個階段是檢驗(yàn)專家效度，也就是測試卷的內(nèi)容效度．研究一共向6位專家放發(fā)了“早期代數(shù)思維測試專家問卷”，6位專家包括兩位小學(xué)數(shù)學(xué)教育專家、兩位數(shù)學(xué)教育博士研究生及兩位教齡超過10年的優(yōu)秀教師，數(shù)據(jù)結(jié)果計(jì)算的內(nèi)容效度指標(biāo)（）為0.92，這表明測試卷題目的設(shè)計(jì)具有較高的專家效度．最終根據(jù)專家的意見對試卷的題目進(jìn)行調(diào)整，形成了一套具有12道測試題的早期代數(shù)測試卷．

3.3 數(shù)據(jù)編碼與分析

3.3.1 數(shù)據(jù)編碼

為了更好地反映出學(xué)生的早期代數(shù)思維，研究中的測試題均采用雙重編碼．學(xué)生所有的答題情況都會按照“是否正確”和“答題策略使用”兩個方面進(jìn)行編碼．回答正確編碼為1，錯誤編碼為0．除此之外，根據(jù)每個題目具體答題策略情況，會按照1～4進(jìn)行等級編碼．下面主要對學(xué)生策略的等級編碼進(jìn)行介紹．

第1～6題是測量學(xué)生的“抽象算術(shù)”．抽象算術(shù)與一般算術(shù)的差異體現(xiàn)在，一般的算術(shù)題主要要求學(xué)生根據(jù)具體的數(shù)值正確地計(jì)算出結(jié)果，是一種程序性思維．而抽象算術(shù)反映出一種“結(jié)構(gòu)化思維”，或者是稱作“關(guān)系性思維”，這是指學(xué)生不僅僅關(guān)注到具體的數(shù)值，而是能夠發(fā)現(xiàn)算式隱含的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)[15]．比如，第1題（如圖2），處在計(jì)算性思維的兒童只能夠通過計(jì)算67+86=153，68+85=153從而得到相等．但是具有“關(guān)系性思維”的兒童可以通過“68比67多1，85比86少1”從而得到等式相等．因此，這道題目一共分為了4個等級：如果完全空白或者（1）選擇“錯誤”得0分；如果（1）選擇“正確”，但是理由空白或錯誤得1分；如果（1）正確，但是理由是計(jì)算67+86=153，68+85=153得2分；如果通過關(guān)系性思維判斷出等式相等則得3分．同理，第2～6題都是按照學(xué)生不同層次的思維水平進(jìn)行編碼．

圖2 早期代數(shù)思維測試卷第1題

第7題、第11題和第12題是考察學(xué)生的函數(shù)思維．函數(shù)思維主要是要求在存在規(guī)律的問題中找到自變量與因變量之間的對應(yīng)關(guān)系．以第7題（圖3）為例，如果學(xué)生可以正確畫出第4個圖形，表明他可以找到規(guī)律．當(dāng)學(xué)生可以找到第20個圖形時(shí)，表明學(xué)生可以找到圖形位置與小方塊個數(shù)之間的關(guān)系．因此，這道題目也是分為了4個水平：完全空白的學(xué)生得0分；只完成（1）的學(xué)生得1分；正確完成（1），并且在第二問的算式中體現(xiàn)出找到了“后面比前面一個多3”的遞歸規(guī)律，但是答案錯誤的得2分，比如有些學(xué)生的算式是“5+3×19=65”；最后一類學(xué)生是全部回答正確，比如：5+(20-1)×3=62，或者3×20+2=62會得到3分．

圖3 早期代數(shù)測試卷第7題

第8～10題是測量學(xué)生的數(shù)量推理能力（如圖4），要求學(xué)生能夠在沒有具體數(shù)值的情境中表達(dá)不同數(shù)量之間的關(guān)系．考慮三～四年級學(xué)生很難用字母表示關(guān)系，這3道題目采用了選擇題的方式，并采用二分的計(jì)分方式，錯誤得0分，正確得1分．

圖4 早期代數(shù)測試卷第8題

由于測試題的編碼采取了等級評分，因此需要對評分標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評分者一致性的檢驗(yàn)．研究隨機(jī)選擇樣本中10%的數(shù)據(jù)，兩位評分者根據(jù)同一張?jiān)u分標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行打分（排除掉第8～10題，這3道題為客觀題），結(jié)果顯示兩者的相關(guān)性在0.924**到1**之間，這表明該評分標(biāo)準(zhǔn)具有較高的信度．

3.3.2 數(shù)據(jù)分析

在進(jìn)行正式的分析之前，研究對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行了轉(zhuǎn)化．由于不同題目學(xué)生的等級不同，因此得分不同．第1～6題為抽象算術(shù)的題目，得分均為0～3分．第8～10題為數(shù)量關(guān)系的題目，得分為0或1．最后為函數(shù)思維的題目，第7、11題為0～3分，第12題為0～4分．因此，抽象算術(shù)總分18分，數(shù)量關(guān)系總分3分，函數(shù)思維總分10分．為了使不同類型題目的平均分具有可比性，對學(xué)生的原始分?jǐn)?shù)進(jìn)行處理，每道題目的原始分均除以該題的最高分，得到該題的最終得分．

研究主要運(yùn)用了潛在類別分析的（latent class analysis, LCA）方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析．潛在類別分析是一種基于個體為中心的研究方法，近些年已經(jīng)逐漸運(yùn)用到心理學(xué)和教育學(xué)的研究當(dāng)中[16]．該方法通過對學(xué)生的行為或者答題表現(xiàn)分析，獲得潛在類別的具體外顯特征，從而將個體分為不同的類別，便于研究者進(jìn)行進(jìn)一步的分析．這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于可以更好地將學(xué)生劃分為不同表現(xiàn)群體，從而理解不同學(xué)生在數(shù)學(xué)內(nèi)容上的表現(xiàn)特征．研究通過潛在類別分析方法，將在相同題目上具有類似表現(xiàn)的學(xué)生歸為一類．隨后，可進(jìn)一步通過描述統(tǒng)計(jì)分析等方法對同類學(xué)生的表現(xiàn)進(jìn)行質(zhì)性分析，從而了解小學(xué)生早期代數(shù)思維的不同類別．研究利用Mplus8.0進(jìn)行探索性潛在類別分析，并進(jìn)一步利用SPSS23.0對同類學(xué)生的答題表現(xiàn)進(jìn)行描述統(tǒng)計(jì)分析．

4 研究結(jié)果

4.1 早期代數(shù)思維測試卷質(zhì)量分析

測試卷一共包含12個題目，它們都是用來測量學(xué)生的早期代數(shù)思維，因此對整張?jiān)嚲磉M(jìn)行內(nèi)部一致性檢驗(yàn)，結(jié)果顯示Cronbach’s=0.839，大于0.8，表明信度良好．除此之外，還利用經(jīng)典測量理論對試卷每道題目的難度和區(qū)分度進(jìn)行分析，難度系數(shù)是按照該題答對的人數(shù)與全體人數(shù)的比值，區(qū)分度則通過總分表現(xiàn)前27%和后27%的學(xué)生在該題上的通過率之差（鑒別度指數(shù)）表示（見表2），試卷的平均難度為0.52，區(qū)分度為0.55，表明該試卷具有較好的區(qū)分性和適中的難度．

表2 早期代數(shù)思維測試卷難度和區(qū)分度分析

4.2 學(xué)生早期代數(shù)思維水平劃分

潛在類別分析方法一般從初始模型開始，假定所有樣本只存在一種類別，即所有學(xué)生都屬于一類，然后逐步增加模型中的類別數(shù)目，直到找到擬合數(shù)據(jù)最好的模型．模型的適配檢驗(yàn)方法主要有Pearson卡方檢驗(yàn)和似然比卡方G2（LL）檢驗(yàn)，以及信息評價(jià)指標(biāo)、和樣本矯正的（sample size-adjusted）．目前對于模型選擇并沒有達(dá)到統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)．通常而言，、和這3個統(tǒng)計(jì)量越小越好，和是否顯著則表明了第類模型是優(yōu)于-1個模型．則表示分類的準(zhǔn)確性，的范圍是0～1，越接近1越好，當(dāng)>0.6時(shí)，表明分類的準(zhǔn)確性在80%以上，如果<0.6則表明有超過20%的個體存在分類錯誤[17]．

研究分別抽取了1～6個潛在類別模型，表示將學(xué)生分為1～6類，6種模型的擬合參數(shù)具體見表2．從表3中可以看到，從上到下依次減少，在3類時(shí)最小，逐漸減少．由于模型的選擇沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，最終選擇主要依賴于數(shù)據(jù)的可解釋度．根據(jù)表3中的擬合參數(shù)可以看出，研究的樣本可以在分3類、4類和5類中進(jìn)行選擇．通過對學(xué)生分成3至5類后的表現(xiàn)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)分成4類后學(xué)生答題特點(diǎn)較為清晰，>0.7表明準(zhǔn)確性超過80%，和均顯著表明分為4類是明顯優(yōu)于分為3類的模型．根據(jù)學(xué)生的答題表現(xiàn)，依次命名為：算術(shù)思維、具體的代數(shù)思維、一般化代數(shù)思維、符號代數(shù)思維．

表3 小學(xué)生早期代數(shù)思維潛在類別分析模型比較

注：為自由估計(jì)的參數(shù)數(shù)目，*<0.05，**<0.01．

4.3 不同類別學(xué)生早期代數(shù)思維表現(xiàn)

4.3.1 不同類別學(xué)生整體答題表現(xiàn)分析

通過潛在類別分析，這里將學(xué)生分為了4類，通過對4類學(xué)生的答題表現(xiàn)進(jìn)行分析，研究將學(xué)生的類別分為：算術(shù)思維、具體的代數(shù)思維、一般化代數(shù)思維、符號代數(shù)思維．人數(shù)分別是105人、136人、114人和37人．圖5是4個類別的學(xué)生在抽象算術(shù)（generalized arithmetic，GA）、函數(shù)思維（functional thinking，F(xiàn)T）和數(shù)量關(guān)系（quantitative reasoning，QR）3個方面的答題平均分．從“算術(shù)思維”到“符號代數(shù)思維”，學(xué)生在3個方面的平均分依次增高．同時(shí)，學(xué)生抽象算術(shù)的發(fā)展一般好于函數(shù)思維和數(shù)量關(guān)系．

4.3.2 算術(shù)思維學(xué)生特征

算術(shù)思維學(xué)生只能夠?qū)唧w的數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，無法對未知量進(jìn)行運(yùn)算，同時(shí)也無法理解字母表示數(shù)，更加無法理解字母表示變量．以第1題為例，他們只能通過計(jì)算等式兩邊的和來驗(yàn)證等式成立，盡管題目中要求“不計(jì)算”．圖6是對C2-26號學(xué)生的答題情況，研究者對她進(jìn)行了進(jìn)一步訪談，F(xiàn)表示訪談?wù)撸琒表示學(xué)生．

圖5 不同類別學(xué)生在各個方面的答題平均分

圖6 C2-26算術(shù)思維答題情況

F：這個第一題你是怎么想的？你覺得有等號的式子一定是相等的嗎？

S：（思考了一會）也不一定，像我們平時(shí)做一些判斷題，也可以是錯誤的．

F：那你這里寫的是什么意思？而且你勾選了“錯誤”．

S：我當(dāng)時(shí)不會判斷，因?yàn)樗}目說“不計(jì)算”．

F：那你知道這個式子是什么意思嗎？如果讓你計(jì)算，你會判斷嗎？

S：我會的，那很簡單，我口算就可以了．

F：那你試試看？

S：67加86是153，右邊是68加85是153，所以是相等的．那我寫錯了……

處在算術(shù)思維的學(xué)生基本無法完成第8～10題（如圖4），因?yàn)樗麄儾恢李}目里的字母表示什么含義．同樣，對于函數(shù)思維的題目也基本無法完成，或者只能找到“后面比前面一個多3”的遞歸規(guī)律，但無法求出“較遠(yuǎn)項(xiàng)”，比如第20個圖形有幾個小方塊．

4.3.3 具體的代數(shù)思維學(xué)生特征

與“算術(shù)思維”的學(xué)生相比，“具體的代數(shù)思維”學(xué)生具有以下3個特點(diǎn)：第一，他們可以通過“關(guān)系性思維”來判斷等式成立；第二，能夠通過“試誤法”來求解出等式中的未知量；第三，能夠在函數(shù)思維的題目中發(fā)現(xiàn)“增加1張桌子，就增加3個人”的共變規(guī)律，但是只能對具體的項(xiàng)計(jì)算，無法概括到一般化．圖7是D4-20的一位“具體的代數(shù)思維”學(xué)生第1題和第3題的解答過程：該學(xué)生只能通過嘗試不同值（“試誤法”）來找到☆的值，還無法運(yùn)用“逆運(yùn)算”或者“兩邊各去掉一顆星”來求得“五角星”的值．但是她的第一題并沒有具體計(jì)算等式兩邊的和，而是通過“關(guān)系性思維”判斷等式相等，這說明她已經(jīng)具有了初步的代數(shù)思維．

圖7 D4-20“具體的代數(shù)思維”第1題和第3題答題情況

這類學(xué)生能夠?qū)τ邢薜睦舆M(jìn)行推理，但是無法概括到一般化，也無法用字母來表征概括出的規(guī)律．例如，圖8是D3-6學(xué)生在第5題和第6題的答題情況．第5題中可以正確完成前兩題，但是當(dāng)出現(xiàn)時(shí)無法進(jìn)行解答．同樣，第6題中可以找出具有相同規(guī)律的特例，但是無法用語言或者字母符號表征出一般化的規(guī)律．總結(jié)來說，這類學(xué)生已經(jīng)具有了初步的代數(shù)思維，但是僅能夠?qū)唧w的例子進(jìn)行推理，無法概括到一般化，因此稱作“具體的代數(shù)思維”．

4.3.4 一般化代數(shù)思維學(xué)生特征

與“具體的代數(shù)思維”學(xué)生相比，“一般化代數(shù)思維學(xué)生”表現(xiàn)在：（1）能夠運(yùn)用逆運(yùn)算或等式的基本性質(zhì)求解未知數(shù)（如圖9）；（2）能夠?qū)λ闶浇Y(jié)構(gòu)等概括到一般化，但不能用字母符號準(zhǔn)確表達(dá)；（3）能夠用具體的數(shù)值代替題目中抽象的符號進(jìn)行推理．

處在這個思維的學(xué)生雖然可以找到規(guī)律，但是由于還沒辦法運(yùn)用字母符號進(jìn)行概括表征，只能通過畫圖或者表格的方式來呈現(xiàn)規(guī)律．如圖10是C2-4“一般化代數(shù)思維”學(xué)生第12題的答題情況，以下是對他的訪談．

F：你這個第20個是怎么想到的？

S：我發(fā)現(xiàn)人數(shù)每次增加3，然后就依次加3，就得到了62．

F：那如果是第張桌子，你知道是什么意思嗎？

S：表示無數(shù)張嗎？

F：就是告訴你任意一個桌子數(shù)，你能知道小朋友的人數(shù)嗎？

S：如果是太多的話，一直加3，我就不知道該是多少人數(shù)了，個人？

F：為什么是個人？

S：因?yàn)閺堊雷诱f明很多人，無窮多的桌子就是無窮多人．

F：那你覺得和“-1”，誰大？

S：一個數(shù)無窮大之后就沒有辦法比較了．

圖8 D3-6“具體的代數(shù)思維”第5題和第6題答題情況

圖9 D4-36“一般化代數(shù)思維”第3題答題情況

圖10 C2-4“一般化代數(shù)思維”第12題答題情況

4.3.5 符號代數(shù)思維學(xué)生特征

雖然廣義的符號包含文字、圖表等形式，但這里的符號主要指學(xué)生已經(jīng)會用“字母”這種最為簡潔的形式化符號進(jìn)行推理．符號代數(shù)思維學(xué)生已經(jīng)可以熟練地運(yùn)用字母符號進(jìn)行抽象地推理和概括規(guī)律，并且可以理解字母表示變量．圖11是D2-19號“符號代數(shù)思維”在數(shù)量關(guān)系和函數(shù)思維題目上的答題．

圖11 D2-19“符號代數(shù)思維”第10題和第11題答題情況

符號代數(shù)思維就已經(jīng)屬于較高水平的代數(shù)思維，學(xué)生能夠?qū)ψ帜高M(jìn)行運(yùn)算，并且用字母進(jìn)行數(shù)量與函數(shù)關(guān)系的推理．處在這個思維水平的在抽象算術(shù)的問題中可以靈活運(yùn)用“關(guān)系性思維”，利用等式的基本性質(zhì)解決未知數(shù)，以及用字母來概括算式結(jié)構(gòu)和規(guī)律．對于函數(shù)思維的題目也可以找到“遠(yuǎn)項(xiàng)”的求解（如圖12）．

圖12 “符號代數(shù)思維”第12題答題情況

5 討論與結(jié)論

研究主要是為了了解小學(xué)生早期代數(shù)思維的不同發(fā)展水平，并且分析不同發(fā)展水平的學(xué)生具有怎樣的外在表現(xiàn)特征．針對研究問題，研究利用了潛在類別分析的方法對三～五年級的小學(xué)生早期代數(shù)思維進(jìn)行劃分，根據(jù)學(xué)生的答題表現(xiàn)將其分為算術(shù)思維、具體的代數(shù)思維、一般化的代數(shù)思維和符號代數(shù)思維4種類型的學(xué)生，研究得到以下發(fā)現(xiàn)．

第一，隨著學(xué)生早期代數(shù)思維發(fā)展，概括化和符號化程度逐漸提高，且概括能力的發(fā)展先于符號意識．代數(shù)思維發(fā)展較好的學(xué)生也擁有更高的概括能力，這表現(xiàn)在他們能夠發(fā)現(xiàn)和歸納出算式結(jié)構(gòu)和圖形規(guī)律等，但是，學(xué)生在概括時(shí)所用的符號方式并不嚴(yán)謹(jǐn)，例如，用表格或自然語言等非正式符號來表征所發(fā)現(xiàn)的結(jié)構(gòu)和規(guī)律．代數(shù)思維的特點(diǎn)之一是“能夠運(yùn)用越來越正式和傳統(tǒng)的符號系統(tǒng)進(jìn)行概括和表達(dá)一般化的結(jié)論”[7]．通過學(xué)生的答題表現(xiàn)發(fā)現(xiàn)，越是代數(shù)思維發(fā)展好的學(xué)生越能夠選擇正式的字母符號進(jìn)行表征．雖然許多早期代數(shù)研究者也并不強(qiáng)調(diào)學(xué)生要用正式的代數(shù)符號來進(jìn)行推理論證[18]，但代數(shù)思維的發(fā)展與符號意識息息相關(guān)，早期代數(shù)思維的培養(yǎng)應(yīng)該注重發(fā)展學(xué)生的表征能力，鼓勵學(xué)生用自己的方式來表征，例如，讓學(xué)生用表格、線段圖、畫圖等方式來表征規(guī)律和關(guān)系．

第二，函數(shù)思維發(fā)展晚于數(shù)量關(guān)系和抽象算術(shù)，并且學(xué)生在抽象算術(shù)方面發(fā)展突出．隨著代數(shù)思維的不斷提升，學(xué)生能夠通過關(guān)系性思維、逆運(yùn)算、等式的基本性質(zhì)等方法求解等式中的未知量．在目前的小學(xué)數(shù)學(xué)課程里，五年級才開始學(xué)習(xí)方程和等式的基本性質(zhì)．實(shí)際上，小學(xué)生從一年級學(xué)習(xí)計(jì)算時(shí)就已經(jīng)開始發(fā)展對于“等式”的理解．因此，小學(xué)低年級的算術(shù)教學(xué)不應(yīng)僅僅圍繞對具體的數(shù)字進(jìn)行操作性的計(jì)算，而是要加深學(xué)生對于“相等”的理解．“等號”不僅僅是表示計(jì)算結(jié)果的輸出，而是表示兩邊相等．學(xué)生理解“相等”應(yīng)該是從學(xué)習(xí)算術(shù)之初就開始，貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程．與抽象算術(shù)相比，學(xué)生函數(shù)思維的發(fā)展較為落后，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，與求解等式中的未知數(shù)、對數(shù)量關(guān)系進(jìn)行推理相比，理解變量是更為困難的．這與許多之前字母表示數(shù)的研究相符[19]．這對字母表示數(shù)的學(xué)習(xí)提供了認(rèn)知基礎(chǔ)，教師可以按照“字母表示未知數(shù)”“字母表示一類數(shù)”“字母表示數(shù)量關(guān)系”和“字母表示通項(xiàng)”的順序進(jìn)行教學(xué)安排．這樣的設(shè)計(jì)會更加符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，更有利于學(xué)生接受字母表示數(shù)這種抽象的數(shù)學(xué)語言．

通過與國外學(xué)生早期代數(shù)思維發(fā)展研究相比[20]，中國學(xué)生在“抽象算術(shù)”和“數(shù)量關(guān)系”兩個方面表現(xiàn)突出，尤其體現(xiàn)在對于等號的理解、對于數(shù)量關(guān)系的概括兩個方面．但是，這并不意味著中國的學(xué)生在“理解相等”或“數(shù)量關(guān)系”方面不存在困難，由于研究選擇的調(diào)查樣本為三～五年級的學(xué)生，而學(xué)生對于“等號”的理解等內(nèi)容在中國一年級的課程中便有涉及，因此今后的研究可以進(jìn)一步關(guān)注低年級兒童的早期代數(shù)思維發(fā)展．其次，研究對早期代數(shù)思維的關(guān)注有助于豐富小學(xué)算術(shù)課程的內(nèi)涵，從“一般化”和“符號化”的視角理解算術(shù)課程可以改善教師在算術(shù)教學(xué)中“重技能而輕算理”的現(xiàn)象，將算術(shù)學(xué)習(xí)與“符號意識”與“模型思想”的發(fā)展聯(lián)系起來，促進(jìn)學(xué)生抽象與概括能力發(fā)展．最后，研究將心理學(xué)中的方法運(yùn)用到學(xué)生數(shù)學(xué)思維的分析當(dāng)中，豐富了對于兒童數(shù)學(xué)思維的研究，幫助教師更好地理解學(xué)生代數(shù)思維的發(fā)展路徑，從而設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的課堂教學(xué)．

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Research on the Early Algebraic Thinking Level of Elementary School Students Based on Latent Class Analysis

SUN Si-yu, XU Tian-shu, KONG Qi-ping

(The College of Teacher Education, East China Normal University, Shanghai 200062, China)

In recent years, how to cultivate the algebraic thinking of elementary school students through arithmetic learning has attracted the attention of mathematics education researchers. This study adopts the algebraic thinking theoretical framework of James J Kaput, and investigates the generalized arithmetic, functional thinking and quantitative reasoning of 392 elementary school students in grades 3 to 5. The students’ responses were classified by latent class analysis (LCA). The results show that students’ early algebraic thinking can be categorized into “arithmetic thinking, concrete algebraic thinking, generalized algebraic thinking and symbolic algebraic thinking” from low to high. With the development of early algebraic thinking, students’ generalization ability and symbolization level improve gradually. Teachers should cultivate students’ understanding of “equivalence” in the process of arithmetic teaching, allow students to experience the process from special to general, and encourage multiple representations and other activities.

early algebra; algebraic thinking; symbol awareness; elementary school students; latent class analysis

G623.5

A

1004–9894（2022）01–0052–07

孫思雨，許添舒，孔企平．基于潛在類別分析的小學(xué)生早期代數(shù)思維水平研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022，31（1）：52-58．

2021–10–05

上海高?！傲⒌聵淙恕比宋纳鐣茖W(xué)重點(diǎn)基地“上?；A(chǔ)教育教材建設(shè)”項(xiàng)目——數(shù)學(xué)新編教材與核心素養(yǎng)的一致性研究（14800-412224- 20A07/005）

孫思雨（1992—），女，河南安陽人，博士生，主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究．

[責(zé)任編校：張楠、陳漢君]