具有飽和發(fā)生率和恢復率的HIV模型穩(wěn)定性分析*

張馨予，王麗媛

(蘭州交通大學 數(shù)理學院，甘肅 蘭州 730070)

0 引言

艾滋病病毒即HIV病毒主要破壞人體免疫系統(tǒng)，其主要攻擊T淋巴細胞，并大量損傷T淋巴細胞，導致病毒入侵，使人體免疫功能遭到破壞。自文獻[1]中首次引入HIV的CTL免疫反應模型，HIV模型就引起了眾多研究者的關注與討論，并建立了很多CTL免疫模型進行研究[2-10]。發(fā)生率和恢復率均是傳染病動力學中不可或缺的重要因素。研究發(fā)現(xiàn)，飽和發(fā)生率比線性發(fā)生率更能反應出T淋巴細胞被感染后的變化趨勢。2015年，文獻[11]提出了帶有飽和發(fā)生率的CTL免疫反應模型，即模型(1)：

(1)

(2)

1 解的非負性和有界性

引理在初始條件T(0)>0,I(0)≥0,V(0)≥0,C(0)>0的情形下，模型(2)的解(T(t),I(t),V(t),C(t))是非負的，且始終有界。

假設存在最小的時間t2>0使得V(t2)=0，代入模型(2)的第三個方程得到

通過求解方程可以得到

故模型(2)的解是非負的。因此，當T(0)>0,I(0)>0,V(0)>0,C(0)>0時，解是非負的。

下面證明解的有界性。令

對L(t)求導，得

故模型(2)的解始終有界。

由模型(2)的前兩個方程得

λ1-d1T(t)-d2I(t)-qI(t)C(t)=

λ1-d1T(t)-I(t)[d2-qC(t)]≤

λ1-n(T(t)+I(t)),n=min{d1,d2}。

于是得

由模型(2)的第四個方程得

由引理可得模型(2)的正向不變集為

(3)

下面就在Ω里研究模型(2)的動力學性態(tài)。

2 基本再生數(shù)和平衡點

基本再生數(shù)是HIV模型中，為了刻畫在發(fā)病初期疾病傳染時的一個重要閾值，它表明了在一個全部都是未感染的T細胞中混入一個已感染T細胞，在其平均感染周期內(nèi)所能傳染的T細胞數(shù)量。

根據(jù)下一代矩陣的方法[14]，得到

即有

因此，下一代矩陣為

FV-1=

將無病平衡點代入，并得到基本再生數(shù)

證明令

通過求解方程得到

其中V*為下面方程的正解：

d3N2β(kλ1b-d4λ1-d4c)-(d1α+β)·

(qbλ2d3N2+d2d3d4N2b-cd3d4N2)]V*+

N2[qd1d3λ2b+d4(d1d2d3b-Nbβλ1-d1d3c)]=0。

由此可以得到V*的一元三次方程A1V*3+A2V*2+A3V*+A4=0，通過根與系數(shù)關系有

d3N2β(kλ1b-d4λ1-d4c)-(d1α+β)(qbλ2d3N2+

d2d3d4N2b-cd3d4N2)]<0，

A4=

N2[qd1d3λ2b+d4(d1d2d3b-Nbβλ1-d1d3c)]>0

。

由解的非負性可知，在域Ω中模型(2)有一個正平衡點E*。

3 穩(wěn)定性分析

3.1 無病平衡點穩(wěn)定性分析

定理21)若R0<1，則無病平衡點E0是局部漸近穩(wěn)定的；

2)若R0>1，則無病平衡點E0是不穩(wěn)定的。

它的特征多項式為

(ω+d1)(ω+d4)·

即得

得到特征值

ω1=-d1,ω2=-d4。

由根與系數(shù)關系可得

根據(jù)Hurwitz判據(jù)可以得出，當R0<1時，所有的特征值都有負實部，當R0>1時，特征值存在一個正值。因此，結(jié)論得證。

證明設(T(t),I(t),V(t),C(t))為模型(2)滿足初始條件(3)的任一正解。為方便計算，構(gòu)造出正定的Lyapunov函數(shù)，

沿軌線求導得

代入λ1=d1T0,λ2=d4C0得

所以在D0中最大的不變集為

3.2 正平衡點穩(wěn)定性分析

定理4若R0>1，正平衡點E*=(T*,I*,V*,C*)是全局漸近穩(wěn)定的。

證明設(T(t),I(t),V(t),C(t))為模型(2)滿足初始條件(3)的任一正解。為方便計算，構(gòu)造正定的Lyapunov函數(shù)，

沿軌線求導得

代入

得

{(T,I,V,C)|T=T*,I=I*,V=V*,C=C*}。

基于LaSalle不變集原理，當R0>1時，正平衡點E*=(T*,I*,V*,C*)是全局漸近穩(wěn)定的。

4 數(shù)值模擬

本節(jié)通過數(shù)值模擬來驗證所得結(jié)果的有效性。

例1在模型(2)中取參數(shù)：λ1=40,d1=0.1,β=0.02,α=0.1,b=0.4,c=0.3,d2=2,q=0.5,N=15,d3=1,λ2=90,k=0.3,d4=0.3。經(jīng)計算可得，基本再生數(shù)R0<1，所取參數(shù)滿足定理3的條件，因此無病平衡點E0(400,0,0,300)為全局漸近穩(wěn)定的(如圖1所示)。

圖1 無病平衡點E0穩(wěn)定性的數(shù)值模擬

例2在模型(2)中取參數(shù)：λ1=200,d1=0.1,β=0.02,α=0.1,b=0.4,c=0.3,d2=2,q=0.5,N=15,d3=1,λ2=90,k=0.3,d4=0.3。經(jīng)計算可得，基本再生數(shù)R0>1，所取參數(shù)滿足定理4的條件，因此正平衡點E*(1 185.1,0.35,5.25,461.4)為全局漸近穩(wěn)定的(如圖2所示)。

圖2 正平衡點E*穩(wěn)定性的數(shù)值模擬

5 結(jié)語

本文提出了具有飽和發(fā)生率和飽和恢復率的HIV模型。利用Hurwitz判據(jù)和LaSalle不變集原理證得,當R0<1時,無病平衡點是局部漸近穩(wěn)定的和全局漸近穩(wěn)定的。通過構(gòu)造正定的Lyapunov函數(shù)得,當R0>1時,正平衡點是全局漸近穩(wěn)定的。討論結(jié)果表明,雖然飽和恢復率不影響系統(tǒng)的動力學特性,但飽和恢復率影響基本再生數(shù),從而影響到平衡點的全局穩(wěn)定性,即加入飽和恢復率后使模型(2)的基本再生數(shù)減小,降低了T細胞被感染的風險,延緩了感染HIV的進程,并對延長患者生命和減少感染起到了積極作用。