最概然分布的少粒子修正是必要的嗎？

侯吉旋

(東南大學(xué) 物理學(xué)院，江蘇 南京 211189)

對于處于平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，微觀狀態(tài)最多的分布稱為最概然分布.由于最概然分布所包含的微觀狀態(tài)數(shù)遠(yuǎn)多于其他分布所包含的微觀狀態(tài)數(shù)，于是可以通過計算最概然分布來求得系統(tǒng)的平衡態(tài)性質(zhì)，這種方法稱為最概然近似.一般統(tǒng)計物理教材在推導(dǎo)平衡態(tài)分布(包括玻耳茲曼分布、玻色分布和費米分布)的時候都要用到斯特令近似[1,2]：

lnn!≈nlnn-n

(1)

盡管利用最概然近似求平衡態(tài)分布的推導(dǎo)過程較簡單，但存在極大的缺陷.因為系統(tǒng)中能級l上的粒子數(shù)al很可能不滿足斯特令近似的要求，粒子數(shù)al甚至可能遠(yuǎn)小于1，強(qiáng)行使用斯特令近似在數(shù)學(xué)上無法自圓其說.例如若要經(jīng)典玻耳茲曼統(tǒng)計適用于稀薄氣體，必須保證稀薄性假設(shè)(al<<ωl)[2]，其中ωl為能級l的簡并度.文獻(xiàn)[2]做了估計，氦氣在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下al/ωl≈4×10-6, 這已遠(yuǎn)超出式(1)適用范圍.

有不少學(xué)者嘗試使用精度更高的斯特令公式

(2)

來重新推導(dǎo)平衡態(tài)分布，以期得到在少粒子條件下更貼近實驗測量的結(jié)果[3,4].文獻(xiàn)[3]指出，若系統(tǒng)的粒子數(shù)少于100，少粒子修正將使得系統(tǒng)的熱容量發(fā)生十分顯著的變化.盡管利用斯特令近似式(1)的推導(dǎo)存在缺陷，但也有學(xué)者認(rèn)為教材中原本得到的平衡態(tài)分布就是精確的，用精度更高的的斯特令公式(2)去推導(dǎo)是不必要而且錯誤的[5].

隨著納米技術(shù)的發(fā)展，少粒子系統(tǒng)越來越得到科學(xué)界與工業(yè)界的重視.統(tǒng)計物理中的平衡態(tài)分布是否需要進(jìn)行少粒子修正將是人們不得不面對的問題.為了回答這個問題，本文將利用一個統(tǒng)計物理中嚴(yán)格可解的系統(tǒng)——一維諧振子勢阱中的理想玻色氣體，在無近似的情況下計算其基態(tài)布居數(shù).再使用2種最概然近似(無修正與少粒子修正)計算其基態(tài)布居數(shù)，對比各種方法得到的結(jié)果即可做出基本的判斷.

1 平衡分布及其少粒子修正

考慮一個包含N個非定域粒子的總能量為E的孤立系統(tǒng)，以εl(l=0,1,2,…)表示粒子的能級，ωl表示能級εl的簡并度，al為能級εl上的布居數(shù).那么對于經(jīng)典粒子構(gòu)成的系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)，其微觀狀態(tài)數(shù)分別為

(3)

(4)

(5)

為簡單起見，下文省略微觀狀態(tài)數(shù)的下腳標(biāo).

下面列出求解最概然分布的要點，詳細(xì)推導(dǎo)見文獻(xiàn)[1-4].要得到最概然分布，可求lnΩ的極大值，即在粒子布居數(shù)al有虛變動δal時δlnΩ=0.注意到對于孤立系統(tǒng)δal不是完全獨立的，必須滿足條件：

N-∑lal=0

(6)

E-∑lεlal=0

(7)

于是最概然分布滿足條件極值：

δ[lnΩ+α(N-∑lal)+β(E-∑lεlal)]=0

(8)

其中α和β為2個拉格朗日乘子.

本文考慮少粒子修正，即依然假設(shè)ωl>>1, 但是al不滿足遠(yuǎn)大于1的要求.由于Ω中含有al的階乘，需要對

(9)

進(jìn)行化簡.式(9)中μ=0或1.μ=0表示未考慮少粒子修正，而μ=1表示進(jìn)行了少粒子修正.將式(3)—式(5)式代入式(8)求解，可得到最概然近似下各種平衡態(tài)分布：

(10)

其中θ=0對應(yīng)于經(jīng)典粒子構(gòu)成的系統(tǒng)，即玻耳茲曼分布；θ=-1對應(yīng)于玻色系統(tǒng)，即玻色分布；θ=+1對應(yīng)于費米系統(tǒng)，即費米分布.玻耳茲曼分布呈現(xiàn)e指數(shù)分布是使用了斯特令近似的結(jié)果[2].μ=0時式(10)退回到常見的最概然分布公式.而μ=1時式(10)對于al而言僅為形式解，使用時需要數(shù)值求解超越方程才能得到al的數(shù)值.而拉格朗日乘子α和β則由條件式(6)和(7)來確定.

2 一維諧振子勢阱中的理想玻色氣體

為了檢驗少粒子修正的必要性，本文將利用一個在微正則系綜中可以嚴(yán)格求解的系統(tǒng)，即一維諧振子勢阱中的理想玻色系統(tǒng)[6-8].設(shè)諧振子勢阱的能級間距為ε, 并取基態(tài)能級為能量零點.由于一維諧振子系統(tǒng)無簡并，設(shè)有nl個玻色子占據(jù)第l個能級，那么該系統(tǒng)中各能級上粒子數(shù)滿足

(11)

其中m≡E/ε為元激發(fā)的個數(shù).滿足式(11)的一組非負(fù)整數(shù)解{n0,n1,…,nl,…}就對應(yīng)于系統(tǒng)的一個微觀狀態(tài).因此滿足式(11)的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)，就是該系統(tǒng)的總的微觀狀態(tài)數(shù).

若系統(tǒng)的能量較低，滿足m≤N時，求解該系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)等價于正整數(shù)拆分問題.用p(m)表示整數(shù)m的無限制正整數(shù)拆分方式的種數(shù).例如m=3≤N, 對m有3種拆分方式，即p(3)=3, 分別為m=3,m=2+1以及m=1+1+1.這3種拆分方式對應(yīng)于系統(tǒng)的3種微觀狀態(tài)，分別為{N-1,0,0,1,0,…}, {N-2,1,1,0,0,…}和{N-3,3,0,0,0,…}.

若系統(tǒng)的能量較高m>N, 受到粒子數(shù)目的限制，此時的拆分方式個數(shù)pN(m)顯然要小于p(m).以m=3而N=2為例，對m的拆分就只有m=3和m=2+1兩種, 即p2(3)=2.對應(yīng)于系統(tǒng)的2種微觀狀態(tài)，分別為{1,0,0,1,0,…}和{0,1,1,0,0,…}.圖1中畫出了p(m)與p10(m)的前100個值，可見當(dāng)m較小時pN(m)≈p(m).

圖1 N=10拆分?jǐn)?shù)p(m)與pN(m)

由于已經(jīng)得到了系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)Ω(m,N)=pN(m), 便可以求得系統(tǒng)的熵：

S=kBln[Ω(m,N)]=kBln[pN(m)]

(12)

其中kB為玻耳茲曼常量.

3 諧振子勢阱中玻色氣體的基態(tài)布居數(shù)

一維諧振子勢阱中理想玻色氣體的平均基態(tài)布居數(shù)a0=〈n0〉,首先是由Grossmann等人[6]于1996年求得的，其中〈…〉表示系綜平均.而后本文作者采用了另一種更加簡單的方法得到了一致的結(jié)果[7].為了敘述方便，本文采用后一種方法.

假設(shè)已知系統(tǒng)的基態(tài)上有n0個玻色子，需要求得在這種條件下的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù).以N=6,m=6并且固定基態(tài)上有且僅有3個玻色子(n0=3)為例.如圖2(a)所示，系統(tǒng)只有3種可能的微觀狀態(tài).在圖2(a)中，若隱去基態(tài)，同時將第一激發(fā)態(tài)重新標(biāo)定為新的基態(tài)，將得到圖2(b)所示的情況，剛好等價于N=3且m=3時的狀況.

圖2 玻色微觀狀態(tài)示意圖

從數(shù)學(xué)上看，式(11)可以變形為

(13)

式(11)和式(13)在數(shù)學(xué)上是等價的，但是在給定n0后，式(13)的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)變?yōu)閜N-n0(m-N+n0).也就是說，在給定基態(tài)上有n0個玻色子的條件下，系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為Ω(m,N|n0)=pN-n0(m-N+n0), 這可以從圖2給的例子中看出.很顯然，將基態(tài)取各種n0值時的微觀狀態(tài)數(shù)Ω(m,N|n0)相加就等于不指定基態(tài)占有數(shù)時候的總的微觀狀態(tài)數(shù)Ω(m,N), 即

Ω(m,N)=∑n0Ω(m,N|n0)

(14)

根據(jù)以上討論可知，基態(tài)上有n0個玻色子的統(tǒng)計權(quán)重w0(n0)為

(15)

在圖3中，以N=10為例，給出了系統(tǒng)取不同m值時的基態(tài)粒子數(shù)的統(tǒng)計權(quán)重.得到n0的統(tǒng)計權(quán)重后，可進(jìn)一步求得平均基態(tài)布居數(shù)：

a0=〈n0〉=∑n′0n′0·w0(n′0)

(16)

圖3 給定m后基態(tài)上有n0個玻色子的統(tǒng)計權(quán)重w0

4 基態(tài)布居數(shù)的對比

在上一節(jié)中，給出了計算一維諧振子勢阱中的理想玻色系統(tǒng)的基態(tài)布居數(shù)的方法.該方法未使用最概然近似，因此是嚴(yán)格的結(jié)果.

另一方面，要使用最概然近似，則需要聯(lián)立式(6)、式(7)和式(10)進(jìn)行數(shù)值求解，在粒子數(shù)N很大的時候極為消耗計算機(jī)的算力.但是好在少粒子修正只在N較小時才顯得重要，于是本文僅數(shù)值求解了N=10和20兩種情況，其結(jié)果顯示在圖4中.注意，由于處理的是玻色系統(tǒng)，式(10)中的θ應(yīng)取-1.

圖4 基態(tài)布居數(shù)a0隨系統(tǒng)能量m的變化

圖4對比了用不同方法求得的基態(tài)布居數(shù)a0隨系統(tǒng)的能量m的變化曲線.圖中點為上一節(jié)中介紹的用數(shù)論給出的嚴(yán)格解，而虛線給出的是用最概然近似求出的結(jié)果.長虛線表示的是沒有少粒子修正的結(jié)果(μ=0)，而短虛線表示的是采用少粒子修正之后的結(jié)果(μ=1).文獻(xiàn)[6]指出，一維諧振子勢阱中的理想玻色系統(tǒng)有一個特征能量，m*～(N/lnN)2.系統(tǒng)能量低于m*時，基態(tài)上的粒子數(shù)將與總粒子數(shù)是同一個數(shù)量級，即a0=O(N).為了讓不同粒子數(shù)的系統(tǒng)具有可比性，在作圖4時，重新標(biāo)度了坐標(biāo)，橫坐標(biāo)取m/m*, 縱坐標(biāo)取a0/N.

從圖4中可以看到，未修正的最概然近似結(jié)果與嚴(yán)格解是比較接近的，但是經(jīng)過少粒子修正的最概然近似結(jié)果卻與嚴(yán)格解偏差較大，這與人們初始的預(yù)期是相背離的.因為進(jìn)行少粒子修正的目的就是讓計算結(jié)果與嚴(yán)格解更加貼合.由此同意文獻(xiàn)[5]的判斷，在計算最概然分布時使用少粒子修正是不必要的.

5 結(jié)論

一般教材中推導(dǎo)最概然分布時采取的數(shù)學(xué)處理存在數(shù)學(xué)上的漏洞，在粒子數(shù)較少時是無法自圓其說的.于是很多研究人員嘗試使用精度更高的斯特令公式重新推導(dǎo)，給出少粒子修正以彌補(bǔ)這一漏洞.本文計算了一維諧振子勢阱中的理想玻色氣體，發(fā)現(xiàn)不使用少粒子修正的最概然分布計算得到的基態(tài)布居數(shù)與嚴(yán)格解偏差較小，而使用少粒子數(shù)修正后的最概然近似計算得到的結(jié)果與嚴(yán)格解偏差甚大.于是我們認(rèn)為，推導(dǎo)最概然分布時使用少粒子修正是不必要的.