Kagome平面無窮網格上的等效電阻計算

石璐潔，尹鳒凱，魯 雯，李 丹，李喜彬

(內蒙古師范大學 物理與電子信息學院，內蒙古 呼和浩特 010022)

具有周期結構的無窮大電阻網絡曾是世界性難題，Krizysztof Giaro創(chuàng)造性地利用二維傅里葉(Fourier)變換法成功地給出了正方形網格上任意兩節(jié)點之間的等效電阻[1,2]. 這種方法目前已經被推廣到矩形網絡[3]、三角網絡[4]、六邊形網絡[5]等. 文獻[6,7]分別研究了m×n 階電阻網絡的等效電阻，文獻[8]研究了多邊形電阻網絡的等效電阻. 電阻網絡等效電阻的研究已經取得很大進展.

Kagome結構是由三角形和正六邊形規(guī)則的重復排列構成. 由于其特殊的拓撲性質，一直被凝聚態(tài)尤其是拓撲材料等領域所關注[9]. Kagome網絡同樣具有周期性結構，對于此種網絡等效電阻的計算有助于更好地理解它的拓撲性質. 本文利用二維傅里葉變換法計算了Kagome網絡結構上任意兩點間的等效電阻，并利用Mathematica軟件給出了數值結果.

1 無窮格點上等效電阻的計算

為了方便描述此種網格結構，在Kagome平面建立如圖1所示的ξη坐標系. 根據 Kagome平面臨近格點的排布方式，我們將格點分類，再討論不同的類型格點之間的等效電阻. 首先定義所有偶數構成的集合E(even)以及奇數構成的集合O(odd). 那么Kagome晶格上的格點可分為A、B、C三類：

(1)

根據這種分類方式，可以得到如下代數關系.

圖1 Kagome晶格及其坐標(O1、O2為2個對稱軸，r鄰近格點之間電阻)

定理1：如果(i,j)∈A,，則(i+1,j)∈B, (i,j+1) ∈C；如果(i,j)∈B，則(i+1,j)∈A， (i+1,j+1) ∈C；如果(i,j)∈C，則(i,j+1) ∈A，(i+1,j+1) ∈B.

為了求得坐標為(a,b),(m,n)的兩個節(jié)點之間的有效電阻，假設大小為I的電流從(a,b)點流入并從(m,n)點流出，那么電流可以表示為

(2)

其中δij表示克羅內克符號.

1.1 RAA類型等效電阻的計算

對于此種類型的等效電阻的計算，首先令電流從(0,0)點流入并從(m,n)∈A點流出，則電流可以表示為I(i,j)=Iδi0δj0-Iδimδjn. 由基爾霍夫電流公式[10]，分別考慮通過3類格點的電流，設(i,j)∈A,(k,l)∈B,(p,q)∈C，于是得到以下方程組：

(3)

整理得到

4V(i,j)=rIi,j+V(i-1,j)+V(i+1,j)+

V(i,j-1)+V(i,j+1),

4V(k,l)=V(k-1,l)+V(k+1,l)+

V(k-1,l+1)+V(k+1,l-1),

4V(p,q)=V(p,q-1)+V(p,q+1)+

V(p+1,q-1)+V(p-1,q+1)

(4)

設無窮遠處的節(jié)點電勢為零，定義電勢的傅里葉變換為

(5)

則電流的傅里葉變換為

(6)

對A類格點(i,j)∈A進行傅里葉變換:

(7)

即

4F1(x,y)=Ir(1-ei(mx+ny))+2F2(x,y)cosx+

2F3(x,y)cosy

(8)

對于B類格點(k,l)∈B的傅里葉變換為

2F1(x,y)cosx+2F3(x,y)cos(x-y)

(9)

同理，對C類格點(p,q)∈C的傅里葉變換為

4F3(x,y)=2F1(x,y)cosy+

2F2(x,y)cos(x-y)

(10)

聯(lián)立式(8)—式(10)，解得

(11)

可以通過對F1(x,y)在第一布里淵區(qū)上的積分得到(i,j)點的電勢 (設無窮遠處的節(jié)點電勢為零):

(12)

于是(0,0)以及(m,n)兩點的電勢分別為：

(13)

(14)

那么，最終得到相對坐標為(m,n)的2個A類格點之間的等效電阻為

(15)

現(xiàn)在來看2個B類格點之間的電阻. 假設電流從(1,0)點流入并從(m,n)點流出，重復以上的計算過程，得到等效電阻的表達式為

(16)

事實上兩個B類格點之間的電阻與2個A類格點之間的電阻彼此等價，這是因為如果(m,n)∈B，則有(m-1,n)∈A. 同理，2個C類格點之間的電阻同樣與2個A類格點之間的電阻彼此等價. 因此對于2個相同類型格點之間的等效電阻，只需用式(15)計算即可，不需要再分開討論.

1.2 RAB類型等效電阻的計算

對于此種情況，假設電流從(0,0)點流入并從(m,n)∈B點流出，則電流的表達式為Ii,j=Iδi0δj0-Iδimδjn. 此時格點電流的傅里葉變換可以表示成

(17)

重復上一節(jié)的計算過程，得到關于傅里葉變換后的變量的方程組為

4F1(x,y)=Ir+2F2(x,y)cosx+2F3(x,y)cosy,

4F2(x,y)=-Irei(mx+ny)+2F1(x,y)cosx+

2F3(x,y)cos(x-y),

4F3(x,y)=2F2(x,y)cosy+2F2(x,y)cos(x-y)

(18)

解得

(19)

(20)

利用傅里葉逆變換可以得到兩點之間的等效電阻為

(21)

2 數值結果

根據前文的分析，我們是通過X與X′的類型來求得的等效電阻，即如果X=X′則利用式(15)，如果X≠X′則利用式(21). 此為一種角度，另外一種角度則是通過m+n的奇偶性來進行分類：如果m+n=偶數則利用式(15)，如果m+n=奇數則利用式(21). 需要補充的是，對于m+n=奇數的情況，如果n為奇數，需要對m和n交換次序再利用式(21)才能求得正確的等效電阻.

對于式(15)與式(21)這2個二重積分，由于形式較為復雜，無法繼續(xù)解析求解. 而利用Mathematica編寫程序來計算上述積分，就可以得到2種類型下無窮Kagome格點上等效電阻的結果.表1展示了部分計算結果.

表1 Kagome網格的等效電阻(r=1)

3 總結

本文探討了Kagome平面無窮等值電阻網格任意兩節(jié)點間的等效電阻問題. 針對這種特殊無窮電阻網格的特點，本文選取了恰當的坐標系，利用二維傅里葉變換，成功導出了相應的解析式，為第一布里淵區(qū)上的二重積分，并利用Mathematica軟件給出了數值結果. 數值計算結果與理論數值相符，驗證了本文分析的合理性. 本文所探討內容具有一定的創(chuàng)新意義，對電路的教學同樣具有一定的參考價值.