有限元仿真教學(xué)與學(xué)生科學(xué)探索能力的培養(yǎng)

梁育林

（廣西醫(yī)科大學(xué)附屬腫瘤醫(yī)院 廣西 南寧 530021）

2015年，中國(guó)成功發(fā)射了第一顆暗物質(zhì)粒子探測(cè)衛(wèi)星 “悟空” 號(hào)。2016年，在貴州建成的500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡（FAST）是目前世界上最大的射電望遠(yuǎn)鏡。2017年，中國(guó)科學(xué)家成功構(gòu)建光量子計(jì)算機(jī)，標(biāo)志著我國(guó)在基于光子的量子計(jì)算機(jī)研究方面取得突破性進(jìn)展。2019年，中國(guó) “嫦娥四號(hào)” 月球探測(cè)器實(shí)現(xiàn)了人類首次月球背面軟著陸和巡視勘察，成為當(dāng)年中國(guó)十大科技新聞之一。2020年，中國(guó)科學(xué)家率先公布了致病的新型冠狀病毒的基因序列，并分享給全世界，贏得廣泛贊譽(yù)。2022年，中國(guó)空間站將全面建設(shè)完成。黨的十八大以來，以習(xí)近平同志為核心的黨中央著眼全局、面向未來，作出 “堅(jiān)持把創(chuàng)新作為引領(lǐng)發(fā)展的第一動(dòng)力” 的重大戰(zhàn)略抉擇，實(shí)施創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)發(fā)展戰(zhàn)略，加快建設(shè)創(chuàng)新型國(guó)家，吹響建設(shè)世界科技強(qiáng)國(guó)的號(hào)角。事實(shí)表明，理論基礎(chǔ)與實(shí)踐相結(jié)合，科學(xué)研究與工程應(yīng)用相結(jié)合，才能結(jié)出累累碩果。

目前我國(guó)積極建設(shè)創(chuàng)新型國(guó)家和科技強(qiáng)國(guó)，廣大科技工作者是科技強(qiáng)國(guó)主力軍，研究生是科研的生力軍，而本科生是重要的科研后備力量。在當(dāng)前本科生教育中存在科學(xué)探索能力培養(yǎng)不足，理論、仿真與實(shí)際應(yīng)用脫節(jié)等諸多問題。作為高等學(xué)校的教育工作者，培養(yǎng)本科生的科學(xué)探索能力，創(chuàng)新協(xié)作精神，為服務(wù)國(guó)家發(fā)展戰(zhàn)略需求培養(yǎng)創(chuàng)新型復(fù)合人才任重道遠(yuǎn)。

應(yīng)將大學(xué)物理、計(jì)算物理、等離子體、電磁學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、傳熱學(xué)、電化學(xué)等本科生課程建設(shè)與多物理場(chǎng)前沿仿真研究結(jié)合起來，針對(duì)生物醫(yī)學(xué)工程、醫(yī)學(xué)物理、臨床醫(yī)學(xué)等學(xué)科教學(xué)需求，開展理論基礎(chǔ)、仿真實(shí)踐和科教融合的創(chuàng)新實(shí)踐教學(xué)改革。

1 有限元方法介紹

有限元方法（Finite element method，F(xiàn)EM）主要用于工程和數(shù)學(xué)建模中產(chǎn)生的數(shù)值求解微分方程，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展已經(jīng)成為一種現(xiàn)代計(jì)算方法。有限元方法在工程上得到了廣泛的應(yīng)用，經(jīng)過了幾十年的發(fā)展，相關(guān)理論和算法日趨完善，并且在工程設(shè)計(jì)和分析中得到了越來越多的重視，已經(jīng)成為解決復(fù)雜工程分析問題的一種有效手段。目前該方法典型的應(yīng)用領(lǐng)域包結(jié)構(gòu)分析、機(jī)械制造、傳熱、流體流動(dòng)、質(zhì)量傳輸、電磁、航空航天、船舶、電子電氣、國(guó)防軍工等。

FEM是用于在兩個(gè)或三個(gè)空間變量中求解部分微分方程的一般數(shù)值方法（即一些邊界值問題）。為了解決問題，F(xiàn)EM將大型系統(tǒng)分為較小，更簡(jiǎn)單的部分，稱為有限元。這是通過空間尺寸中的特定空間離散化來實(shí)現(xiàn)，該空間尺寸由對(duì)象的網(wǎng)格構(gòu)造來實(shí)現(xiàn)：解決方案的數(shù)值域，其具有有限數(shù)點(diǎn)。邊值問題的有限元方法制訂最終得到一個(gè)代數(shù)方程組。該方法近似于域上的未知函數(shù)。然后將模擬這些有限元的簡(jiǎn)單方程組合成一個(gè)更大的方程組，對(duì)整個(gè)問題進(jìn)行建模。然后，F(xiàn)EM通過變分法最小化相關(guān)誤差函數(shù)來近似解決方案。

FEM將整個(gè)領(lǐng)域細(xì)分為更簡(jiǎn)單的部分有幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)：①?gòu)?fù)雜幾何的精確表示；②不同材料特性的包含；③總解的簡(jiǎn)單表示法；④捕捉局部效應(yīng)。

該方法的典型工作包括：①將問題域劃分為子域集合，每個(gè)子域由一組原始問題的單元方程表示。②系統(tǒng)地將所有單元方程組重新組合為一個(gè)全局方程組，從而進(jìn)行最終計(jì)算。

在實(shí)際應(yīng)用中采用有限元方法的分析手段就稱為有限元分析（Finite element analysis，F(xiàn)EA），其已經(jīng)擴(kuò)展到幾乎所有的科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，成為一種豐富多彩、應(yīng)用廣泛并且高效適用的數(shù)值分析方法。目前常用的FAE軟件有ANSYS、COMSOL Multiphysics、SolidWorks、Abaqus等。

2 建設(shè)內(nèi)容和特色

結(jié)合國(guó)內(nèi)外先進(jìn)教材及最新文獻(xiàn)，將前沿研究領(lǐng)域納入課程學(xué)習(xí)中，開設(shè)前沿講座、文獻(xiàn)調(diào)研、小班討論課，豐富和完善課程，充實(shí)課程體系，融入科教融合的理念，為學(xué)校生物醫(yī)學(xué)工程、臨床醫(yī)學(xué)等專業(yè)本科生的科學(xué)探索能力和科技論文撰寫能力培養(yǎng)提供軟硬件環(huán)境。在課程仿真中采用COMSOL Multiphysics多物理場(chǎng)仿真軟件模擬真實(shí)場(chǎng)景下的物理現(xiàn)象設(shè)計(jì)和優(yōu)化實(shí)際工程問題。

3 仿真實(shí)踐與挑戰(zhàn)性案例解析

3.1 低溫等離子體案例解析

題目：隨著脈沖功率技術(shù)的不斷進(jìn)步與發(fā)展，納秒脈沖放電等離子體研究已經(jīng)得到較好的發(fā)展，并且在理論及實(shí)驗(yàn)方面也取得重大突破。為了研究納秒脈沖針―板放電過程電子布等微觀過程，建立了二維對(duì)稱結(jié)構(gòu)計(jì)算模型，開展數(shù)值模擬研究（圖1）。

圖1 高斯脈沖下電壓電流特性曲線

教師具體指導(dǎo)過程如下：使用COMSOL Multiphysics軟件具有的等離子體模塊中的DC放電物理場(chǎng)接口，求解一對(duì)描述電子密度和電子能密度的漂移-擴(kuò)散方程。

方程中的源項(xiàng)由等離子體化學(xué)反應(yīng)速率決定。

模型采用二維軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)，如圖2所示。定義電極材料為銅，其中針位于板電極的正上方，電極頭部曲率半徑1mm，兩電極間距10mm，板電極寬10mm，電極間區(qū)域采用空氣進(jìn)行填充，并設(shè)定計(jì)算邊界。計(jì)算時(shí)將高壓端連接針電極，將板電極接地。高壓端輸出波形為高斯脈沖分布函數(shù)，峰值為6kV。

圖2 等離子體放電模型及求解網(wǎng)格

電場(chǎng)強(qiáng)度和電子溫度先在針電極處達(dá)到一個(gè)極大值，其后隨著時(shí)間的推移逐漸減小，最大值始終位于軸線處，發(fā)展到達(dá)陰極時(shí)，陰極表面電場(chǎng)強(qiáng)度達(dá)到最大值（圖3）。該案例將大氣壓放電理論與數(shù)值仿真結(jié)合，研究大氣壓下等離子體的放電特性，能夠加強(qiáng)仿真建模綜合能力的訓(xùn)練。

圖3 電場(chǎng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化示意圖

3.2 高強(qiáng)度超聲聚焦技術(shù)案例解析

題目：高強(qiáng)度超聲聚焦（High-intensity focused ultrasound，HIFU）是一種非侵入性治療技術(shù)，其使用非電離超聲波加熱或燒蝕組織。HIFU可用于增加血液或淋巴流，或破壞通過熱和機(jī)械機(jī)制的組織，例如腫瘤。HIFU的前提是它是一種無侵入性的低成本治療。當(dāng)施加高強(qiáng)度聚焦超聲時(shí)，超聲波在焦點(diǎn)上耗散實(shí)現(xiàn)組織凝結(jié)和消融。我們可以通過仿真進(jìn)一步分析該技術(shù)的聲學(xué)特性和非線性性質(zhì)。

教師具體指導(dǎo)過程如下：模型中使用的換能器外殼和鏡頭被假定為剛性的。半徑為r和孔徑為a的球面透鏡發(fā)出一個(gè)五個(gè)周期聲波脈沖，聚焦在位于組織中的焦點(diǎn)F。信號(hào)的振幅為0.1MPa，中心頻率為1MHz，在傳播過程中只會(huì)涉及有限的部分域。當(dāng)信號(hào)傳播時(shí)，振幅足以產(chǎn)生高階諧波，但不足以形成激波，這意味著不需要能夠捕獲激波的功能（圖4）。

圖4 二維軸對(duì)稱幾何模型示意圖

可以使用以下公式計(jì)算從信號(hào)到焦點(diǎn)的傳播時(shí)間：

其中c為聲速，d是相應(yīng)材料中的傳播距離。

從下面的結(jié)果中，我們可以看到聲波信號(hào)開始于t=10 s，并在水和組織域之間傳播。我們還可以看到部分信號(hào)在t=20 s時(shí)反射回源。此外，信號(hào)的聚焦在t=30 s時(shí)可見，在t=40 s時(shí)達(dá)到最大值。這些結(jié)果表明，越接近焦點(diǎn)區(qū)，信號(hào)強(qiáng)度越大（圖5）。

圖5 t=10、20、30和40 s時(shí)，超聲信號(hào)的傳播

HIFU傳統(tǒng)上和其他成像技術(shù)相結(jié)合，如醫(yī)學(xué)超聲或MRI，以實(shí)現(xiàn)對(duì)治療和監(jiān)測(cè)的指導(dǎo)。該案例將前沿科研理論與仿真結(jié)合，極大增強(qiáng)本科生創(chuàng)新實(shí)踐與科學(xué)探索能力。

3.3 肝臟腫瘤消融技術(shù)案例解析

題目：肝臟惡性腫瘤也就是人們常說肝癌已經(jīng)成為危害人民群眾身體健康的一種重大疾病。目前對(duì)于肝癌的治療手段主要是手術(shù)、化療和放射治療。但是這些方法都有其局限性，通常肝癌患者檢查出患病時(shí)已經(jīng)發(fā)展到中晚期失去手術(shù)治療的機(jī)會(huì)。而化療會(huì)造成全身?yè)p傷，并且容易產(chǎn)生耐藥性。放射治療過程中也會(huì)對(duì)腫瘤周圍正常器官和組織造成一定的放射性損傷，同時(shí)也有腫瘤耐輻射的問題。肝臟腫瘤消融術(shù)是一種新型的腫瘤治療技術(shù)，其原理是通過對(duì)惡性組織加熱，達(dá)到臨界溫度后殺死癌細(xì)胞。在治療過程中一般把腫瘤組織加熱到45℃到50℃以上從而達(dá)到消融目的。通過仿真能夠直觀地看到惡性腫瘤內(nèi)部溫度分布情況及相關(guān)物理參數(shù)對(duì)溫度的影響。

教師具體指導(dǎo)過程如下：采用圓柱體模擬身體組織，具體如圖6（p73）所示。并且假設(shè)在整個(gè)過程中，模型的邊界溫度保持在37℃。腫瘤靠近圓柱體的中心，其熱屬性與周圍組織相同。此模型中，探針沿圓柱體中心線放置，因此，電極涵蓋了腫瘤所在的區(qū)域。模型中還包含一根大血管。

圖6 模型結(jié)構(gòu)示意圖

組織中的傳熱使用生物熱方程計(jì)算，具體表達(dá)如下：

其中，是時(shí)間縮放系數(shù)；是組織密度；是組織的比熱；k是熱導(dǎo)率。在等式右側(cè)，為血液密度；是血液的比熱；是其灌注速率；是動(dòng)脈血溫度； 和 分別是新陳代謝和空間加熱產(chǎn)生的熱源。

圖7 顯示的是電極臂前端的溫度隨時(shí)間的變化曲線，從圖中能夠看出前2min其溫度迅速上升，并在4min后溫度趨于緩慢增加直至達(dá)到大約97℃這一穩(wěn)定值。

圖7 電極臂尖端處溫度隨時(shí)間的變化

圖8 顯示的壞死組織占比的可視化。從圖中能夠明顯看出腫瘤組織被有效殺傷，達(dá)到了消融的目標(biāo)。通過對(duì)物理參數(shù)的調(diào)節(jié)能夠找到對(duì)特定腫瘤治療的最優(yōu)化條件。

圖8 壞死組織占比

肝臟腫瘤消融技術(shù)也能與超聲技術(shù)相結(jié)合起到在治療過程中進(jìn)行檢測(cè)的目的。該案例的仿真能夠讓學(xué)生直觀地了解前沿臨床技術(shù)的應(yīng)用及原理，為后續(xù)的科學(xué)研究提供思路和數(shù)據(jù)支持。

4 結(jié)語

本有限元實(shí)踐課將有限元理論與低溫等離子體、高強(qiáng)度超聲聚焦、肝臟腫瘤消融等醫(yī)學(xué)物理技術(shù)的研究熱點(diǎn)及前沿相結(jié)合，采取了理論基礎(chǔ)學(xué)習(xí)、工程實(shí)際問題建模和訓(xùn)練、突出教學(xué)與科研融合的教學(xué)改革，倡導(dǎo)自主學(xué)習(xí)、研究探索、學(xué)以致用的理念，激發(fā)學(xué)生的探索求知欲和創(chuàng)新活力，培養(yǎng)本科生的科研探索能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目蒲兴仞B(yǎng)，為醫(yī)學(xué)院校生物醫(yī)學(xué)工程、醫(yī)學(xué)物理和臨床醫(yī)學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域的人才培養(yǎng)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。