小議中美高等數(shù)學(xué)教材的差異

應(yīng)志領(lǐng)

（南京郵電大學(xué)理學(xué)院，江蘇南京 210023）

高等數(shù)學(xué)有著豐富的內(nèi)容和深刻的思想，在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用，所以是理工科院校各專業(yè)的必修課，也是學(xué)習(xí)后續(xù)課程的內(nèi)容和科技知識(shí)的基礎(chǔ)。國(guó)內(nèi)關(guān)于高等數(shù)學(xué)的教材數(shù)不勝數(shù)，其中影響最廣、使用最多的是同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編的《高等數(shù)學(xué)》[1]，目前已是第七版，也是考研的主要參考書。由于歷史原因，國(guó)內(nèi)教材受原蘇聯(lián)教材影響較大，其特點(diǎn)是邏輯性強(qiáng)，推理嚴(yán)密。近些年，來(lái)自歐美教材的影印版和中譯本也多了起來(lái)，其中J.Stewart[2]、D.Varberg等[3]和G.Thomas[4]編寫的微積分教材被很多高校選為雙語(yǔ)班或留學(xué)生授課的教材。經(jīng)比較，D.Varberg等編寫的教材更強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，所以我校選它作為留學(xué)生高等數(shù)學(xué)課程的教材。本文將以同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編的《高等數(shù)學(xué)》（下文簡(jiǎn)稱為同濟(jì)版）和D.Varberg等編寫的《Calculus》（下文簡(jiǎn)稱為Varberg版）為例，詳細(xì)比較中美微積分教材中一元函數(shù)微積分的區(qū)別，以期取長(zhǎng)補(bǔ)短，融合中美教材的長(zhǎng)處，優(yōu)化高等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容。

一、極限和連續(xù)

Varberg版先不講數(shù)列的極限，從函數(shù)的圖形直接給出自變量趨向于某一點(diǎn)的極限概念，第二節(jié)再給出ε-δ定義。Varberg版在引入函數(shù)的定義時(shí)給出了許多生動(dòng)有趣的例子，但不介紹函數(shù)極限的性質(zhì)、單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則、無(wú)窮小比較和間斷點(diǎn)的分類，花很少的篇幅介紹了兩邊夾準(zhǔn)則和閉區(qū)間上有界函數(shù)的性質(zhì)。相比較而言，Varberg版在這一部分不像同濟(jì)版那么難以接受和理解。反之，國(guó)內(nèi)很多大一學(xué)生在學(xué)習(xí)第一章時(shí)就深受打擊，落下了高等數(shù)學(xué)不好學(xué)的陰影。但Varberg版舍棄內(nèi)容較多，比如不強(qiáng)調(diào)初等函數(shù)的概念，使得學(xué)生對(duì)常見的一些函數(shù)沒(méi)有整體印象，后續(xù)學(xué)習(xí)常見函數(shù)的連續(xù)，可導(dǎo)和可積時(shí)，沒(méi)能有一個(gè)言簡(jiǎn)意賅的總結(jié)。另外，由于不講無(wú)窮小比較，在求極限時(shí)不能用等價(jià)無(wú)窮小的替代原理，導(dǎo)致求極限時(shí)很不方便，間接影響了一些初等函數(shù)求導(dǎo)公式的推導(dǎo)，造成一些麻煩。

二、一元函數(shù)微分學(xué)

Varberg版的微積分專門用了一節(jié)引入導(dǎo)數(shù)的定義，求導(dǎo)題目的難度不是很大。很大一部分原因是對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)在第六章才引入，所以可求導(dǎo)的函數(shù)類型偏少。此外，Varberg版只花很少篇幅講隱函數(shù)的求導(dǎo)，也沒(méi)有及時(shí)講解參數(shù)方程求導(dǎo)。而同濟(jì)版一開始就推理五類基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式，然后重點(diǎn)講解復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程的求導(dǎo)方法，這樣就把常見函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題都講完了，后面可以隨意應(yīng)用。因?yàn)闆](méi)有引入無(wú)窮小的記號(hào)，所以Varberg版的微分定義和國(guó)內(nèi)教材也不一樣，從圖形和數(shù)值上突出“局部線性逼近”這種思想方法，這更容易讓學(xué)生了解可微的本質(zhì)。Varberg版相對(duì)變化率有單獨(dú)的一節(jié)，練習(xí)題也較多，對(duì)于函數(shù)圖形的描繪，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的方法，突出軟件的使用，實(shí)用性更強(qiáng)。

關(guān)于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用這一章的內(nèi)容編排順序和同濟(jì)版很不一樣，Varberg版先不講中值定理，而是先學(xué)習(xí)如何求最大值、單調(diào)性和凹凸性等，最后再補(bǔ)上拉格朗日中值定理及證明，不講費(fèi)馬引理和羅爾定理，柯西中值定理等到第八章學(xué)習(xí)洛必塔法則時(shí)才介紹。因?yàn)閂arberg版把指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)放到第六章才開始引入，所以沒(méi)能適時(shí)介紹洛必塔法則，導(dǎo)致很多類型的極限無(wú)法求解，而等學(xué)完洛必塔法則后，它在后面章節(jié)中的應(yīng)用已不多。泰勒定理放到級(jí)數(shù)那一章才開始學(xué)習(xí)，大大降低了這一章的學(xué)習(xí)難度。

三、一元函數(shù)積分學(xué)

Varberg版在一元函數(shù)微分學(xué)的最后就提出了原函數(shù)的概念，及時(shí)引入不定積分并介紹了一些基本初等函數(shù)的不定積分及其相關(guān)運(yùn)算。這樣，一元函數(shù)積分學(xué)的版塊就從引入定積分的背景和概念開始，快速進(jìn)入定積分的學(xué)習(xí)。詳細(xì)介紹了按定義求定積分的方法，甚至不惜篇幅在第4.6節(jié)介紹了用各種逼近的方法求定積分的近似值。第5章介紹了定積分在幾何和物理的應(yīng)用，還包括在概率論中的應(yīng)用。隨后在第6章用積分上限函數(shù)引出對(duì)數(shù)函數(shù)，再用反函數(shù)求導(dǎo)的方法引出ex并研究它們的性質(zhì)，在這一章中介紹了一階線性微分方程的求法。分部積分法、換元積分法等一些求積分的方法在第七章才介紹，并且把不定積分和定積分的內(nèi)容混在一起。相比較而言，同濟(jì)版條理更清楚，把不定積分、定積分和定積分的應(yīng)用分塊講解。Varberg版更突出了定積分的概念以及數(shù)值計(jì)算，這是值得借鑒的地方，但不定積分和定積分的內(nèi)容前后交錯(cuò)，有不少重復(fù)的地方。甚至把洛必塔法則和廣義積分放在同一個(gè)章節(jié)中，脈絡(luò)不清。因此，同濟(jì)版的內(nèi)容編排更有利于教學(xué)，但Varberg版對(duì)于定積分的計(jì)算和應(yīng)用敘述得更詳細(xì)和通俗易懂，有助于學(xué)生理解并掌握相關(guān)知識(shí)。

通過(guò)Varberg版和同濟(jì)版中一元函數(shù)微積分這部分的比較，我們就能看出中美教材的一些差異。美國(guó)微積分教材的例子和習(xí)題計(jì)算量一般不大，不太注重計(jì)算的技巧，甚至很多計(jì)算題可以直接套用公式就可得出。比如像鏈?zhǔn)椒▌t就講得很簡(jiǎn)單，隱函數(shù)求導(dǎo)只是作為鏈?zhǔn)椒▌t的應(yīng)用一帶而過(guò)。但結(jié)合實(shí)際的例子較多，有關(guān)于物理、經(jīng)濟(jì)管理，甚至生物醫(yī)學(xué)等方面的應(yīng)用。比如有賽車最佳外形設(shè)計(jì)、血管分叉結(jié)構(gòu)對(duì)血流量的影響、核廢料安全處理等。這些問(wèn)題可以提高學(xué)生興趣，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力，貫穿教材始終，還提倡用專業(yè)的計(jì)算器或數(shù)學(xué)軟件來(lái)畫圖。相對(duì)來(lái)說(shuō)，沒(méi)有那么多抽象的理論知識(shí)，大多能直觀得出結(jié)論，但系統(tǒng)性和嚴(yán)謹(jǐn)性要差一些。而同濟(jì)版在講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用時(shí)會(huì)先給出費(fèi)馬引理，然后用它證明羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，再用它們來(lái)證明洛必塔法則和泰勒公式，給出函數(shù)單調(diào)性，凹凸性的充分條件。這樣一環(huán)扣一環(huán)，完整性和邏輯性強(qiáng)。另外，美國(guó)微積分教材更符合人們的認(rèn)識(shí)規(guī)律，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題提出怎樣求最值、極大值和極小值等，再通過(guò)圖形給出函數(shù)單調(diào)性和凹凸性的充分條件，最后根據(jù)推導(dǎo)出的拉格朗日中值定理給出上述結(jié)論的嚴(yán)格證明。這也是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的思路，有助于培養(yǎng)學(xué)生的科研能力。

關(guān)于中美微積分教材的差異，這方面的研究工作也有很多[5-10]。根據(jù)自己在使用教材時(shí)的體會(huì)，再提一些看法：

1.美國(guó)微積分教材更注重?cái)?shù)值計(jì)算，先具體后抽象。比如Varberg版第4.6節(jié)不厭其煩地用“分割，代替，求和”這種方法來(lái)求一些定積分的計(jì)算，通過(guò)具體分割的例子來(lái)熟悉并掌握。學(xué)習(xí)二重積分的計(jì)算時(shí)，Varberg版先講長(zhǎng)方形區(qū)域，后講一般區(qū)域，中間還專門用一節(jié)講了累次積分的計(jì)算。另外，美國(guó)微積分教材并不僅僅著眼于求某個(gè)問(wèn)題的精確解，像Varberg版第6.7節(jié)用歐拉方程求微分方程的近似解，因?yàn)榇蠖鄶?shù)實(shí)際問(wèn)題只能求出近似解。

2.Varberg版在第六章用積分定義的方式引入對(duì)數(shù)函數(shù)，然后講反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再引入指數(shù)函數(shù)。這樣等到第六章才引入指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，而之前學(xué)習(xí)一元微積分的時(shí)候處理對(duì)象只有多項(xiàng)式函數(shù)和三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)和求積練習(xí)得不夠。

3.美國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)不講數(shù)列，也不學(xué)習(xí)曲線方程，所以在學(xué)習(xí)極限時(shí)不像同濟(jì)版先從數(shù)列的極限引入，需要花大篇幅講關(guān)于拋物線、雙曲線和橢圓等方面的內(nèi)容。Varberg版不僅對(duì)平面解析幾何有詳細(xì)的介紹，對(duì)極坐標(biāo)系也介紹得很詳細(xì)，包括極坐標(biāo)曲線的畫圖以及求它的斜率，長(zhǎng)度和所圍面積等。因?yàn)閲?guó)內(nèi)學(xué)生在中學(xué)就已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面解析幾何，所以國(guó)內(nèi)高數(shù)教材會(huì)略去平面解析幾何。但由于高中數(shù)學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接有點(diǎn)問(wèn)題，比如對(duì)極坐標(biāo)的介紹不夠，導(dǎo)致國(guó)內(nèi)學(xué)生學(xué)習(xí)上存在一些困難。美國(guó)微積分教材更重視向量微積分（vector calculus）的教學(xué)，介紹向量函數(shù)的微商、空間曲線的弧長(zhǎng)及曲率公式都作為向量微積分的應(yīng)用來(lái)闡述。鑒于向量微積分的重要性，國(guó)內(nèi)高數(shù)教材在這方面得要有所加強(qiáng)。

4.Varberg版教材中的微分方程版塊被拆放到了不同的章節(jié)，不重視可降階方程和變量代換法求解，但講解了用歐拉折線法求解微分方程數(shù)值解的方法，更突出數(shù)學(xué)建模和方程的物理意義，實(shí)際應(yīng)用例子多而且很生動(dòng)。同濟(jì)版微分方程放在一章集中處理，重視術(shù)語(yǔ)、方程解的結(jié)構(gòu)和解法，但不突出應(yīng)用。

5.美國(guó)微積分重視數(shù)學(xué)軟件和計(jì)算器的應(yīng)用，比如Varberg版第413頁(yè)介紹了計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)，第12.1節(jié)介紹了用數(shù)學(xué)軟件畫圖，這在國(guó)內(nèi)高數(shù)教材是少見的。

6.美國(guó)微積分重視梯度的應(yīng)用，求曲面的切平面方程用到了梯度概念，拉格朗日乘數(shù)法也是用梯度來(lái)引入，而同濟(jì)版是用隱函數(shù)存在定理來(lái)證明拉格朗日乘數(shù)法。

7.Varberg版把泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)放在同一節(jié)，避免同濟(jì)版在學(xué)習(xí)泰勒級(jí)數(shù)時(shí)還要花大量時(shí)間去復(fù)習(xí)泰勒公式。而Varberg版不講授傅里葉級(jí)數(shù)，這對(duì)通信專業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)課程會(huì)造成一些困擾。但Varberg版在講無(wú)窮級(jí)數(shù)時(shí)更突出介紹積分審斂法、數(shù)值計(jì)算和余項(xiàng)估計(jì)。

8.Varberg版教材在講極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算時(shí)，不僅講r形區(qū)域，還講θ形區(qū)域。學(xué)習(xí)三重積分計(jì)算時(shí)不講“切片法”或“先重后單法”，但詳細(xì)介紹了一般換元法，這對(duì)理解柱面坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算公式有幫助。

9.同濟(jì)版在講述曲線和曲面積分的時(shí)候明確區(qū)分第一類和第二類積分，而Varberg版把第二類積分都?xì)w結(jié)到第一類積分的形式加以定義；同濟(jì)版在第二類的曲線和曲面積分中，更突出數(shù)量函數(shù)的表示形式，而Varberg版強(qiáng)調(diào)第二類曲線和曲面積分的向量形式，突出場(chǎng)論的意義。所以相比較而言國(guó)內(nèi)高數(shù)教材中的曲線和曲面積分更容易學(xué)習(xí)，更容易計(jì)算第二類曲線積分和曲面積分；美國(guó)微積分教材立意更高，把格林公式、高斯公式和斯托克斯公式與梯度、散度和旋度等場(chǎng)論中的重要概念結(jié)合等更緊密，更強(qiáng)調(diào)物理意義，但不容易教與學(xué)。

10.中美教材中有一些記號(hào)和定義方式的不同，這點(diǎn)也要引起注意。如Varberg版中在求極限的時(shí)候∞僅表示正無(wú)窮大，極坐標(biāo)中允許r＜0等。同濟(jì)版的方向?qū)?shù)其實(shí)是單側(cè)極限，但Varberg版的方向?qū)?shù)是雙側(cè)極限。

中美微積分教材的差異還有很多，總的來(lái)說(shuō)，各有優(yōu)點(diǎn)和不足的地方。相比較而言，國(guó)內(nèi)高數(shù)教材大多追求理論上的完美與嚴(yán)謹(jǐn)，學(xué)生受此影響，理論水平可能更高，但解決實(shí)際問(wèn)題能力會(huì)有所欠缺。比如有些學(xué)生可能可以把極限定義背得很熟，但并沒(méi)有真正理解含義，一旦用到具體的場(chǎng)合，做一些稍難的極限題目或者證明極限不存在時(shí)就沒(méi)有了思路。其次，國(guó)內(nèi)教材編排緊湊，條理清楚，內(nèi)容很少重復(fù)，更好教學(xué)。美國(guó)微積分教材中的例子生動(dòng)有趣，文筆輕松，與數(shù)學(xué)建模聯(lián)系更緊密，更多運(yùn)用軟件和多媒體工具；注重發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題這個(gè)過(guò)程，這種訓(xùn)練能讓學(xué)生更有信心克服實(shí)際研究中的困難，更好地適應(yīng)工作的需要。作為大學(xué)數(shù)學(xué)的老師，我們應(yīng)該注意到這些區(qū)別，取長(zhǎng)補(bǔ)短，完善我們的教學(xué)工作。