一類熱彈性板的空間衰減估計(jì)*

石金誠

（廣州華商學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，廣州 511300）

引 言

1856年，Saint Venant 提出了一個(gè)著名的數(shù)學(xué)和力學(xué)上的具有廣泛應(yīng)用的原理，稱之為Saint-Venant 原則.隨后應(yīng)用數(shù)學(xué)與力學(xué)領(lǐng)域中掀起了對該原則的廣泛研究.早期對Saint-Venant 原則的研究主要集中在橢圓型方程的初邊值問題上.Boley[1]將Saint-Venant 原則的研究推廣到拋物方程上來，這些研究的目的是為了得到方程或者方程組的解類似于橢圓方程的Saint-Venant 原則(見文獻(xiàn)[2]).Knowles[3]在研究平面彈性靜力學(xué)中的Saint-Venant 原則時(shí)，建立了雙調(diào)和方程解的空間指數(shù)衰減估計(jì).后來,Payne 和Schaefer[4]得到了雙調(diào)和方程在三個(gè)不同區(qū)域的Phragmén-Lindel?f 二擇一結(jié)果.文獻(xiàn)[5-7]利用各種方法研究了雙調(diào)和方程的空間性態(tài).對于與時(shí)間相關(guān)的雙調(diào)和方程解的性態(tài)研究可見Liu 和Lin[8]的研究，他們采用二階微分不等式的方法得到與時(shí)間相關(guān)的Stokes 方程的Phragmén-Lindel?f 二擇一結(jié)果.上述文獻(xiàn)所考慮的方程均是單個(gè)方程，由于雙調(diào)和方程研究的難度較大，導(dǎo)致研究雙調(diào)和方程組的文獻(xiàn)較少.

近年來，國內(nèi)也有一些學(xué)者開始進(jìn)行解的空間衰減估計(jì)或Phragmén-Lindel?f 二擇一的研究，文獻(xiàn)[9-15]得到一些拋物方程解的空間性質(zhì).本文嘗試研究雙曲拋物耦合方程組的空間衰減估計(jì).由于方程組中兩個(gè)方程的性態(tài)不同，從而加大了構(gòu)造能量表達(dá)式的難度.本文安排如下：首先，在第1 節(jié)提出我們所要研究的問題；然后，在第2 節(jié)中推導(dǎo)出解的能量表達(dá)式；接著在第3 節(jié)中利用微分不等式技術(shù)得到了解的空間衰減估計(jì)；最后，給出一些具體應(yīng)用，得到了一些解的點(diǎn)點(diǎn)衰減估計(jì)的結(jié)果.由于方程組是雙曲拋物耦合系統(tǒng)，如何構(gòu)造合適的能量表達(dá)式是本文的最大創(chuàng)新，如何控制能量表達(dá)式是本文最大的難點(diǎn).本文中采取以下符號約定，用逗號表示求偏導(dǎo)，用,i表示對xi求 偏導(dǎo)(i=1,2)，如:v,i表示?v/?xi，重復(fù)的希臘字母α,β表示1 至2 求和，如：

1 準(zhǔn)備知識

我們在如下無界區(qū)域 Ω0內(nèi)考慮：

其中h是一給定的大于零的常數(shù).同時(shí)引入下面的記號：

文獻(xiàn)[16]中研究了著名的α-β模型，通過Fourier 變換的方法，得到了一些解的時(shí)間性態(tài)結(jié)果.本文中繼續(xù)討論此類問題，研究其解的空間性質(zhì).我們所考慮的是σ=2，α=1/2時(shí)的方程組（見文獻(xiàn)[16]中式（6.2））：

其中u表示板的垂直擾度，v表示溫度差，Δ表示Laplace 算子，Δ2表示雙調(diào)和算子.上述模型可以用來描述由彈性膜和彈性板構(gòu)成的演化過程.方程(3)和(4)滿足如下初邊值條件：

gi(x2,t),i=1,2,3是給定的函數(shù)并滿足如下的相容性條件：

此外，解在無窮遠(yuǎn)處添加如下限制條件：

本文中，我們嘗試得到雙調(diào)和方程組 (3)、(4)的解在條件(5)～(7)下的空間衰減估計(jì).

2 能量表達(dá)式 φ(z,t)

為了得到本文的主要結(jié)果，首先需要推導(dǎo)出能量表達(dá)式.

在式(3)兩邊同時(shí)乘以exp(?ωη)(ξ?z)u,η并積分，可得

定義函數(shù)φ1(z,t)如下：

聯(lián)合式(8)和(9)，可得

在式(4)兩邊同時(shí)乘以exp(?ωη)(ξ?z)v并積分，可得

定義函數(shù)φ2(z,t)如下：

聯(lián)合式(11)和(12)，可得

定義一個(gè)新的能量函數(shù)：

聯(lián)合式(9)、(12)和(14)，可得

聯(lián)合式(10)、(13)和(14)，可得

接下來我們需要根據(jù)φ(z,t)的性質(zhì)推出所需的結(jié)果.

3 空間衰減估計(jì)

這一節(jié)我們將得到如下的空間衰減估計(jì).

定理1假設(shè)(v,θ)為初邊值問題(3)～(6)的經(jīng)典解，則對于能量表達(dá)式E(z,t)與φ(z,t)有如下估計(jì)：

其中E(z,t)是大于零的函數(shù)，k6是大于零的常數(shù).

證明式(15)兩邊同時(shí)對z求偏導(dǎo)，可得

運(yùn)用Schwarz 不等式，可知

將式(19)代入式(18)，可得

由式(18)，可得

類似于式(20)，同樣可得

下面我們將給出式(16)的估計(jì)，運(yùn)用Schwarz 不等式，可知

其中k1=max{2/(ω?1),2}，ω是大于1的任意常數(shù).

式(16)剩余的項(xiàng)可如下估計(jì)：

聯(lián)合式(16)、(23)和(24)，可得

令k3=k1/k2，k4=1/k2，則式(25)可變形為

不等式(26)可寫為

由式(27)，可得

對式(28)兩邊同時(shí)從z到 ∞上積分，可得

求解式(29)，可得

其中φ (0,t)可以通過初始數(shù)據(jù)來控制，本文省略其估計(jì)過程.

類似于式(20)的推導(dǎo)過程，由式(15)可得

聯(lián)合式(30)和(31)，可得

式(32)即是我們所需證明的空間衰減估計(jì)結(jié)果.

4 應(yīng) 用

在定理1的基礎(chǔ)上，可得到一些點(diǎn)點(diǎn)衰減估計(jì)的結(jié)果.下面的這些結(jié)果是雙調(diào)和方程所特有的.

引理1在定理1的基礎(chǔ)上，有如下的不等式成立：

證明聯(lián)合式(31)和(17)，并運(yùn)用兩次L’Hospital 準(zhǔn)則即可得到式(33).

引理2[3]若u(x2)∈c2[0,h]，u(0)=u(h)=u,2(0)=u,2(h)，則

定理2在定理1 式(17)指數(shù)衰減的基礎(chǔ)上，對于u有如下點(diǎn)點(diǎn)衰減估計(jì)：

證明顯然有

對式(38)，由Schwarz 不等式，可得

聯(lián)合式(34)、(35)和(39)，可得

聯(lián)合式(33)和(40)，可得

同樣易得

對式(42)，由Schwarz 不等式，可得

聯(lián)合式(34)和(43)，可得

聯(lián)合式(33)和(44)，可得

式(41)和(45)即是我們所需證明的結(jié)果.

5 結(jié) 論

本文考慮了定義在二維半無限帶形區(qū)域上熱傳導(dǎo)方程組解的空間衰減估計(jì)，得到了解的能量函數(shù)隨著距離趨于無限遠(yuǎn)端呈指數(shù)衰減.采用文中的方法同樣可以得到其他熱傳導(dǎo)方程組解的空間衰減估計(jì)，同時(shí)這類研究還可以向三維空間上的非線性方程組展開，據(jù)筆者所知，目前這類文獻(xiàn)還較少，三維空間上的非線性方程組解的空間漸進(jìn)性態(tài)是我們接下來考慮的一個(gè)方向.

致謝本文作者衷心感謝廣州華商學(xué)院校內(nèi)導(dǎo)師制項(xiàng)目(2020HSDS16)對本文的資助.