解析幾何中易錯問題的成因及教學(xué)啟示

福建省德化第一中學(xué)(362500) 鄭進品 吳志鵬

在圓錐曲線的學(xué)習(xí)中,由于在學(xué)習(xí)過程中對概念理解不足、似是而非,導(dǎo)致對問題的考慮不全面,或是受到思維定式的影響而出現(xiàn)解題偏差等,下面對圓錐曲線這個章節(jié)中常見易錯問題進行歸類剖析.

1 范圍考慮不周產(chǎn)生的解題誤差

例1已知ΔABC的頂點B(0,0),C(5,0),AB邊上的中線長|CD|=3,則頂點A的軌跡方程為____.

錯解(x-10)2+y2=36.

錯因忽略A,B,C是三角形的三個頂點而未對方程的變量范圍加以限制.

例2已知圓M: (x+1)2+y2=1,圓N:(x-1)2+y2=9,動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,設(shè)圓心P的軌跡為曲線C,求C的方程.

錯解=1.

錯因忽略動圓P的圓心在(-2,0)時,此時動圓為一個點而不是圓這種特殊情況.

正解由已知得圓M的圓心為M(-1,0),半徑r1=1;圓N的圓心為N(1,0),半徑r2=3.設(shè)圓P的圓心為P(x,y),半徑為R,因為圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4＞|MN|=2,由橢圓的定義可知,曲線C是以M,N為左、右焦點,長半軸長為2,短半軸長為的橢圓(左頂點除外),∴C的方程為=1(2).

例3在ΔABC中,A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a,c,b依次構(gòu)成等差數(shù)列,且a ＞c ＞b,|AB|=2,求頂點C的軌跡方程.

錯解=1.

錯因忽略三角形邊a ＞b,點C必須在圓錐曲線位于y軸的左側(cè).

正解如上圖,以直線AB為x軸,線段AB的中點為原點建立直角坐標(biāo)系.∵a,c,b依次構(gòu)成等差數(shù)列,∴2c=a+b(到兩定點的距離之和等于定長——橢圓),即|CA|+|CB|=2|AB|=4＞|AB|=2,又|CB| ＞|CA|,∴C的軌跡為橢圓在y軸的左半部分.在此橢圓中,a′=2,c′=1,b′=故C的軌跡方程為=1(x ＜02).

教學(xué)啟示對于尋求動點的軌跡方程問題,要注意動點運動過程中是否具有完備性,即動點是否運動到某些位置而不能滿足題意,教學(xué)時可以結(jié)合輔助工具對動點的軌跡進行演示,不斷地提醒學(xué)生求解此類問題時要注意方程中變量的取值范圍,從而提升學(xué)生學(xué)習(xí)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

2 未能正確作圖產(chǎn)生的解題誤差

例4設(shè)F1,F2是橢圓C:=1 的兩個焦點,點M在C上,若ΔMF1F2是直角三角形,則這樣的直角三角形有幾個?

錯解這樣的直角三角形共有8 個.

錯因?qū)τ谶@樣的一個問題,很多學(xué)生會通過作圖很容易就可以找到以F1,F2為直角頂點的四個直角三角形,再加上以M為直角頂點三角形也有四個,則這樣的直角三角形共有8 個.

正解以C上的點M為直角頂點的三角形是不存在的,因為當(dāng)點M對F1,F2的張角最大時,點M恰好位于橢圓的上、下頂點,通過計算點M關(guān)于F1,F2的張角∠F1MF2小于90°,因此在橢圓上并不存在以M為直角頂點的直角三角形,所以滿足題意的直角三角形只有4 個.

教學(xué)啟示解決幾何問題時利用數(shù)形結(jié)合進行解題具有很強的直觀性,能夠很好地啟迪思路,因此圖形的準(zhǔn)確性會對解題產(chǎn)生重要的影響,如本題很多學(xué)生由于作圖隨意、思維定式,而誤認為以M為直角頂點的三角形也是存在的,所以我們在利用數(shù)形結(jié)合進行解題時一定要將圖形畫準(zhǔn)確了,還要利用所學(xué)知識加以判斷、甄別,以避免產(chǎn)生不必要的錯誤.

3 遺漏特殊圖形產(chǎn)生的解題失誤

例5已知過點(0,3)的直線與雙曲線-y2=1 有唯一公共點,則這樣的直線有( )

A.1 條 B.2 條 C.3 條 D.4 條

錯解由題意知,所求直線的斜率必存在,設(shè)直線的方程為y=kx+3,聯(lián)立直線和雙曲線方程,消去y整理得(1-2k2)x2-12kx-20=0.因為直線與雙曲線有唯一公共點,所以有Δ=(-12k)2-4(1-2k2)(-20)=-16k2+80=0,解得k=,所以所求直線共有2 條,故選B.

錯因忽略了直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線也只有一個交點這種特殊情況,此情形也就是將含參直線方程代入雙曲線方程所得方程二次項系數(shù)為0 的情況.

例6過點(0,1)且與拋物線y2=2px(p ＞0)只有一個公共點的直線有( )條

A.0 B.1 C.2 D.3

錯解C.

錯因忽略了過拋物線外點(0,1)且與拋物線對稱軸平行的直線與拋物線只有一個公共點.

正解由于點(0,1)在拋物線y2=2px(p ＞0)外,過點可作拋物線的兩條切線,而且過(0,1)與對稱軸(x軸)平行的直線與拋物線也只有一個公共點,所以所求直線共有3 條,故選D.

教學(xué)啟示研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,特別是只有一個交點的問題時,特別要注意一些特殊情況,避免由于疏忽而產(chǎn)生遺漏,教學(xué)時可以先對一些特殊的情況進行說明再對一般情形進行解釋,“先入為主”強化學(xué)生思維.

4 定義理解不清產(chǎn)生的解題失誤

例7如圖,已知F1,F2是雙曲線=1 的左、右焦點,若雙曲線上一點P到它的一個焦點的距離等于16,求點P到另一個焦點的距離.

錯解10.

錯因忽略了雙曲線圖形是有兩支的,曲線上的動點到兩個定點的距離之差的絕對值是一個常數(shù),學(xué)習(xí)定義時對定義中為什么距離之差要添加絕對值理解不足而導(dǎo)致遺漏.

正解由題意知,a=3,b=4,c=5,設(shè)點P到另一個焦點的距離為m,則由雙曲線定義可知,|m-16|=2a=6,解得m=10 或m=22,即點P到另一個焦點的距離為10或22.

教學(xué)啟示圓錐曲線的定義是圓錐曲線這個章節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)的核心,教學(xué)時要讓學(xué)生充分理解定義,要注意定義中文字語言與符號語言的表述,理解定義時要全面,不能“囫圇吞棗”而要“咬文嚼字”.

5 運算路徑選擇不當(dāng)產(chǎn)生的計算困難

例8已知直線y=kx+2 與橢圓=1 總有公共點,求實數(shù)m的取值范圍.

錯因部分學(xué)生存在思維定式,認為可利用代數(shù)法解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題,通過聯(lián)立直線方程與橢圓方程,消去一個變量,根據(jù)Δ ≥0 求解結(jié)論,利用這種方法求解增加了計算的難度,造成求解困難或結(jié)論錯誤.

教學(xué)啟示對于直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題,常見的方法是聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程,把直線方程代入圓錐曲線方程進而獲得關(guān)于x或y的一元二次方程,再利用根與系數(shù)的關(guān)系進行解題,其運算量一般都比較大,所以我們在選擇解題方法有可能應(yīng)盡量避開,如直線與圓的位置關(guān)系我們可盡量選擇幾何法進行求解,教學(xué)時我們可以進行一題多解,比對各種不同的解法讓學(xué)生對解題的運算路徑進行選擇,培養(yǎng)學(xué)生的運算素養(yǎng).

6 解題方法不完整產(chǎn)生的解題錯誤

例9已知雙曲線x2-=1,過點M(1,1)能否作一條直線l,使l與雙曲線交于A,B兩點,且點M是弦AB的中點?

錯解存在這樣的一條直線2x-y-1=0 使得點M是弦AB的中點.

錯因忽略了過點M(1,1)的直線是否能與雙曲線相交而導(dǎo)致錯誤.

教學(xué)啟示利用點差法解決有關(guān)中點弦問題時的前提條件是直線必須能夠與圓錐曲線相交,而不是假設(shè)存在即可,所以在求完直線方程時還需進行檢驗,這樣才能最終得到結(jié)論,所以我們在教學(xué)時對于每一種數(shù)學(xué)方法的講解都應(yīng)注意方法的適用范圍,是否具有完整性,切記不要“張冠李戴”.

結(jié)語以上我們分析了解析幾何中一些常見的錯誤成因及其對教學(xué)的一些啟示,讓我們在教學(xué)中能夠較好地規(guī)避失誤,從而起到了預(yù)防錯誤、提高解題正確率的功效,因此剖析錯誤的歸因是很有必要.