分塊迭代導(dǎo)向最小方差算法及其在線譜目標(biāo)檢測(cè)中的應(yīng)用

郭浩泉， 朱代柱,2

(1.上海船舶電子設(shè)備研究所， 上海 201108； 2.水聲對(duì)抗技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 上海 201108)

高方位分辨力的波束形成在目標(biāo)檢測(cè)、參數(shù)估計(jì)與識(shí)別中具有重要的意義，在多目標(biāo)和強(qiáng)弱目標(biāo)同時(shí)存在的情況下，有效抑制多目標(biāo)相干干擾是后續(xù)信號(hào)處理的基礎(chǔ)。導(dǎo)向最小方差(steered minimum variance, STMV)波束形成算法以其高方位分辨力、無旁瓣以及良好穩(wěn)健性等優(yōu)越性能而受到廣泛關(guān)注，其中最主要的運(yùn)算量取決于協(xié)方差矩陣的求逆過程，對(duì)陣元數(shù)為M的基陣進(jìn)行經(jīng)典STMV分析，每個(gè)導(dǎo)向方位的每個(gè)頻率點(diǎn)都需要進(jìn)行O(M3)次乘法運(yùn)算[1-2]，這對(duì)大規(guī)模基陣的寬帶信號(hào)處理是難以承受的，必須尋求更低復(fù)雜度的簡(jiǎn)化算法。

為了降低STMV算法中矩陣求逆過程的復(fù)雜度，許多學(xué)者做了大量研究，基本可以歸納為降維處理、遞歸迭代、矩陣分解和矩陣分塊4大類方向：1)在降維處理方面，文獻(xiàn)[3-7]主要利用盲分離的自適應(yīng)波束形成、對(duì)導(dǎo)向矢量進(jìn)行處理以降低干擾的自適應(yīng)波束形成、結(jié)合穩(wěn)健Capon波束形成器和Krylov子空間、基于陣形在線估計(jì)聚焦和Krylov子空間等降維技術(shù)。2)在遞歸迭代方面，文獻(xiàn)[8-9]主要利用基于統(tǒng)計(jì)優(yōu)化準(zhǔn)則的迭代MVDR算法、基于矩陣求逆引理的遞歸MVDR算法進(jìn)行迭代運(yùn)算減少計(jì)算量，文獻(xiàn)[10]提出了基于一階遞歸濾波器和矩陣求逆引理的迭代STMV算法，將計(jì)算量降低至經(jīng)典STMV算法的2/M。3)在矩陣分解方面，文獻(xiàn)[11] 主要利用基于QR分解的自適應(yīng)波束形成算法將求解權(quán)向量的問題轉(zhuǎn)化為求解三角線性方程的問題，避免了自相關(guān)矩陣的估計(jì)和求逆運(yùn)算；文獻(xiàn)[12-14]提出了子陣STMV波束形成算法，大幅度降低了運(yùn)算量。4)在矩陣分塊方面，文獻(xiàn)[15-17]主要利用協(xié)方差矩陣為正定Hermite陣的對(duì)稱性并結(jié)合Strassen矩陣求逆的高效性降低協(xié)方差矩陣求逆的復(fù)雜度。

這些研究將全陣平均分為多個(gè)子陣的矩陣分解方法計(jì)算量最小，但由于削弱了子陣之間的信號(hào)相關(guān)性，在本質(zhì)上是一種近似算法，所以與全陣STMV算法相比性能略有損失；并且，如何分配子陣數(shù)目和子陣陣元數(shù)成為一個(gè)繞不開的問題，缺乏尋求最優(yōu)解的理論依據(jù)。其他降維處理、遞歸迭代和矩陣分塊研究方面，計(jì)算量最小的是文獻(xiàn)[10]在保持STMV性能的同時(shí)將計(jì)算量降低至經(jīng)典STMV算法的2/M。

本文針對(duì)經(jīng)典STMV的大運(yùn)算量問題，提出了一種低復(fù)雜度的BISTMV算法，通過對(duì)矩陣求逆公式的層層分解與分塊迭代，可以大幅度降低協(xié)方差矩陣求逆的復(fù)雜度，更加有利于工程應(yīng)用。

1 導(dǎo)向最小方差波束形成

1.1 STMV的基本原理

基于導(dǎo)向協(xié)方差矩陣的導(dǎo)向最小方差波束形成算法的基本原理是通過波束旋轉(zhuǎn)，使指定方向的響應(yīng)為1，而陣列輸出功率最小。

假設(shè)各陣元時(shí)域輸出為x(t)=[x1(t)…xM(t)]T，相應(yīng)的頻域輸出為X(fk)，各陣元的權(quán)向量為W=[w1w2…wM]T，則導(dǎo)向矩陣為：

(1)

式中：M為陣元數(shù)；θ為方位角；d為陣元間距；c為聲速。

陣列的輸出為：

(2)

式中：h為頻率點(diǎn)上限；l為頻率點(diǎn)下限。

陣列輸出的平均功率為：

P(θ)=E[y(t,θ)y(t,θ)H]

(3)

STMV波束形成器的最佳權(quán)向量w是使指定方向的響應(yīng)為1，而陣列輸出功率最小，故：

(4)

1.2 迭代STMV算法原理

STMV波束形成時(shí)，對(duì)N次快拍的頻域輸出Xn(fk)進(jìn)行求和，得到平均頻域輸出為：

(5)

則導(dǎo)向協(xié)方差矩陣Rstmv(θ)可表示為：

(6)

(7)

(8)

式中：α為一階遞歸濾波器的系數(shù)；β=1-α。

由矩陣求逆引理：

(9)

(10)

(11)

1.3 分塊迭代STMV算法原理

1.3.1 分塊矩陣求逆算法

關(guān)于2階分塊矩陣的求逆公式，文獻(xiàn)[18]已詳細(xì)闡述。

(12)

(13)

把式(13)命名為“組合求逆公式”。

證明考慮到：

則

(14)

式中E-1可由式(12)求得。

(15)

1.3.2 算法原理

假設(shè)U被等分成K段，記為Ui，i=1,2，…,K，每段的長(zhǎng)度為k=M/K。則導(dǎo)向協(xié)方差矩陣Rstmv(θ)被等分成K×K塊，每塊矩陣的階數(shù)為k?？紤]到Rstmv(θ)為埃爾米特矩陣，則式(7)可表示為：

(16)

(17)

2) 構(gòu)造矩陣

(18)

(19)

3) 應(yīng)用分塊矩陣求逆公式遞推求解E-1；

2 計(jì)算量分析

2.1 經(jīng)典STMV算法計(jì)算量

假設(shè)陣元數(shù)為M，信號(hào)帶寬為B，利用N次快拍的頻域輸出估計(jì)互譜密度矩陣，注意到乘法運(yùn)算的計(jì)算時(shí)間為加法運(yùn)算的數(shù)十倍(約40倍)，因此本文僅考慮乘法運(yùn)算的計(jì)算量。其計(jì)算量主要集中在2部分：

1)估計(jì)互譜密度矩陣時(shí)，需在每個(gè)頻點(diǎn)處需進(jìn)行NM2次乘法運(yùn)算，總共需進(jìn)行NM2B次乘法運(yùn)算；

2) 估計(jì)空間譜估計(jì)時(shí)，需在每個(gè)波束進(jìn)行如下計(jì)算：

①估計(jì)導(dǎo)向協(xié)方差矩陣，在每個(gè)頻點(diǎn)處需進(jìn)行2M2次乘法運(yùn)算，總共需進(jìn)行2M2B次乘法運(yùn)算；

②對(duì)導(dǎo)向協(xié)方差矩陣求逆需進(jìn)行M3次乘法運(yùn)算，然后利用式(4)進(jìn)行空間譜估計(jì)，需進(jìn)行M2+M次乘法運(yùn)算。

綜上所述，假設(shè)對(duì)L個(gè)波束進(jìn)行空間譜估計(jì)，所需的計(jì)算量為：

NM2B+[M3(2B+1)+M2+M]L

(20)

2.2 迭代STMV算法計(jì)算量

假設(shè)m階矩陣求逆的計(jì)算量為C(m)，則根據(jù)式(12)、(14)、(15)，2×2、3×3、4×4分塊矩陣求逆的計(jì)算量依次為：

x2=2C(m)+4m3

(21)

x3=x2+C(m)+11m3

(22)

x4=x3+C(m)+21m3

(23)

綜上所述，考慮n×n分塊矩陣求逆的計(jì)算量的通項(xiàng)公式。n×n分塊矩陣求逆的計(jì)算量為：

(24)

結(jié)合式(21)～(23)，可得通項(xiàng)公式為：

3(n-1))m3

(25)

假設(shè)陣元數(shù)為M，信號(hào)帶寬為B。其計(jì)算量主要集中在2部分：

綜上所述，假設(shè)對(duì)L個(gè)波束進(jìn)行空間譜估計(jì)，所需的計(jì)算量為：

[M2(4B+1)+M(B+1)]L

(26)

2.3 分塊迭代STMV算法計(jì)算量

假設(shè)陣元數(shù)為M，信號(hào)帶寬為B，U被等分成K段，記為Ui，i=1,2，…,K。每段的長(zhǎng)度為k=M/K。其計(jì)算量主要集中在5部分：

4) 利用分塊矩陣求逆公式求解E-1，需進(jìn)行(K-1)C(k)+((K-2)3+4(K-2)2+3(K-2))k3/2次乘法運(yùn)算；

綜上所述，假設(shè)對(duì)L個(gè)波束進(jìn)行空間譜估計(jì)，所需的計(jì)算量為：

(M2B+(3k2+k)B+(K(K+1)/2-1)k2B+

(K-1)C(k))L+((K-2)3+4(K-2)2+

3(K-2))k3L/2+((K-1)2k3+(K-1)k3+

M2+M)L

(27)

式中：C(k)為k階矩陣求逆的計(jì)算量，取C(k)=k3。同時(shí)考慮到k=M/K，式(27)可化簡(jiǎn)為：

(28)

(29)

假設(shè)信號(hào)帶寬B=5 kHz，在0°～180°方位內(nèi)每隔2°形成一個(gè)預(yù)成波束，即對(duì)L=91個(gè)波束進(jìn)行空間譜估計(jì)，快拍數(shù)N=4，K=16，STMV算法與分塊迭代STMV算法計(jì)算量的比值隨陣元數(shù)M的變化如圖 1 所示。

圖1 2種算法計(jì)算量比值

文獻(xiàn)[10]提出的迭代算法的計(jì)算量大致是STMV算法計(jì)算量的2/M。為便于分析，同時(shí)考慮到L?N、B?M，式(20)和式(29)分別可近似化簡(jiǎn)為：

(30)

當(dāng)K足夠大時(shí)，本文提出算法的計(jì)算量大致是原STMV算法計(jì)算量的1/4M，約為文獻(xiàn)[10]迭代STMV算法計(jì)算量(2/M)的1/8。當(dāng)M?5時(shí)，計(jì)算量顯著降低。

3 仿真分析

仿真條件如下：設(shè)48元均勻線陣接收，陣元間距d為信號(hào)上限頻率對(duì)應(yīng)的半波長(zhǎng)，每快拍處理時(shí)間為3 s，采樣頻率為fs，處理帶寬為0.05～0.25fs，聲速為1 500 m/s。兩目標(biāo)輻射噪聲信號(hào)及背景噪聲均為相互獨(dú)立的高斯白噪聲，目標(biāo)1的方位為30°保持不變，陣元輸入端信噪比為6 dB；目標(biāo)2的初始方位為50°，陣元輸入端信噪比為0 dB，在0.1fs處疊加一根線譜，該線譜相對(duì)于周圍連續(xù)譜的信噪比為15 dB，對(duì)總能量的貢獻(xiàn)可忽略不計(jì)，目標(biāo)2每快拍的目標(biāo)方位增加0.4°。取α=0.5，由STMV算法和分塊迭代BISTMV算法(K=6)估計(jì)的130 s空間譜歷程圖看不出明顯差異，截取不同時(shí)刻的空間譜如圖2所示，圖3為圖2(b)的局部放大圖。

圖2 不同時(shí)刻2種算法的空間譜

圖3 線譜目標(biāo)局部放大圖

4 海試數(shù)據(jù)分析

為驗(yàn)證算法的穩(wěn)健性，對(duì)海上試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，試驗(yàn)態(tài)勢(shì)如圖4所示。以拖船的航向?yàn)?°且直線航行，其后拖著一條均勻線列陣。目標(biāo)1距離拖船較近，其輻射噪聲較強(qiáng)，目標(biāo)4的初始方位為75°且朝著拖船方向航行。試驗(yàn)時(shí)，航運(yùn)繁忙且目標(biāo)3、4相對(duì)于目標(biāo)1、2距離拖船較遠(yuǎn)，其輻射噪聲較弱。

圖4 試驗(yàn)態(tài)勢(shì)

對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行預(yù)成波束形成，處理帶寬為0.025～0.1fs，由STMV算法和BISTMV算法(K=6)估計(jì)的空間譜歷程圖也看不出明顯差異，截取第88 s和141 s時(shí)刻的空間譜，如圖5所示，當(dāng)存在強(qiáng)目標(biāo)時(shí)(目標(biāo)1、3)，仍可實(shí)現(xiàn)對(duì)弱目標(biāo)(目標(biāo)2、4)的有效檢測(cè)。

圖5 88 s和141 s 2種算法的空間譜

由圖5(a)和5(b)可以看出，BISTMV算法在同時(shí)存在多個(gè)強(qiáng)弱目標(biāo)的情況下，對(duì)每個(gè)強(qiáng)弱目標(biāo)的檢測(cè)效果都與STMV算法比較貼合，對(duì)其中的線譜目標(biāo)還有1～4 dB(平均2.2 dB)的檢測(cè)增益,如圖6(a)和6(b)所示。究其原因，是由于BISTMV算法在式(8)對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行求逆的過程中引入了一階遞歸濾波器。一階遞歸濾波器將前后快拍之間的信息進(jìn)行了關(guān)聯(lián)，由于目標(biāo)輻射噪聲信號(hào)是平穩(wěn)相關(guān)的，而背景噪聲是弱相關(guān)的，因此，這種關(guān)聯(lián)在大多數(shù)情況下對(duì)目標(biāo)檢測(cè)是有利的：當(dāng)處理寬帶信號(hào)時(shí)幾乎沒有差異，但當(dāng)處理窄帶信號(hào)時(shí)效果會(huì)有改善，尤其是當(dāng)目標(biāo)輻射噪聲信號(hào)中包含有窄帶線譜信息時(shí)(如圖5(a)和5(b)中75°左右的目標(biāo)4)；只有當(dāng)目標(biāo)方位快速變化時(shí)，這種關(guān)聯(lián)才會(huì)略微展寬該目標(biāo)所在波束的寬度(如圖5(a)中127°左右的目標(biāo)1)，造成輕微負(fù)面影響。但總體而言，BISTMV算法在繼承STMV算法的優(yōu)良特性的同時(shí)大幅減小了計(jì)算量，對(duì)窄帶線譜信息豐富的目標(biāo)檢測(cè)還可以獲得一定程度的增益提升。

圖6 線譜目標(biāo)局部放大圖

5 結(jié)論

1)本文提出了基于一階遞歸濾波器、矩陣求逆引理和矩陣分塊求逆的BISTMV算法，進(jìn)行了計(jì)算量分析，大致是經(jīng)典STMV算法計(jì)算量的1/4M，是迭代STMV算法計(jì)算量的1/8，顯著減小了計(jì)算量，提高了其工程可實(shí)現(xiàn)性。

2)仿真和海試數(shù)據(jù)處理結(jié)果表明，該算法保持了STMV算法高方位分辨力和對(duì)微弱目標(biāo)檢測(cè)的優(yōu)勢(shì)。

3)該算法對(duì)窄帶線譜信息豐富的目標(biāo)檢測(cè)可以獲得平均2 dB左右的增益提升，對(duì)工程應(yīng)用，特別是線譜目標(biāo)的檢測(cè)具有重要的意義。