摸球試驗“72變”

曹丹

教材是中考試題編者的重要參考內(nèi)容，很多試題都來源于教材。下面我們來看一個例子，識別中考題中此類題的種種“馬甲”。

原題 （蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級下冊第138頁練習2）一只不透明的袋子中裝有2個紅球和1個白球，這些球除顏色外都相同。

（1）將球攪勻，從中任意摸出1個球，記下顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出1個球，求兩次都摸到紅球的概率;

（2）將球攪勻，從中任意摸出2個球，求摸到2個紅球的概率。

【分析】這是一個典型的摸球試驗。第（1）問是放回試驗;第（2）問摸2個球，相當于第一次摸出的球不放回，第二次再從余下的球中任意摸出1個球，是不放回試驗。

解：把2個紅球編號為紅球1、紅球2。

（1）用表格列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：

由表格可知，共有9種可能出現(xiàn)的結(jié)果，并且它們都是等可能的。“兩次都摸到紅球”記為事件A，它的發(fā)生有4種可能，所以事件A發(fā)生的概率P（A）=[49]，即兩次摸到紅球的概率是[49]。

（2）用表格列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：

由表格可知，共有6種可能出現(xiàn)的結(jié)果，并且它們都是等可能的。“摸到2個紅球”記為事件B，它的發(fā)生有2種可能，所以事件B發(fā)生的概率P（A）=[13]，即摸到2個紅球的概率是[13]。

一變：人選車廂

例1 （2021·浙江杭州）某軌道列車共有3節(jié)車廂，設(shè)乘客從任意一節(jié)車廂上車的機會均等，某天甲、乙兩位乘客同時乘同一列軌道列車，則甲和乙從同一節(jié)車廂上車的概率是（ ）。

A.[15] B.[14] C.[13]? ? D.[12]

【解析】把3節(jié)車廂分別記為A、B、C，用表格列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：

由表格可知，共有9種等可能的結(jié)果，甲和乙從同一節(jié)車廂上車的結(jié)果有3種，

∴P（甲和乙從同一節(jié)車廂上車）=[13]。故選C。

【點評】本題求解的是甲和乙從同一節(jié)車廂上車的概率，其實是由摸球試驗變身而來。3節(jié)車廂即是白球、紅球、藍球，甲、乙兩位乘客從任意一節(jié)車廂上車互不影響，即摸兩次小球，并且是放回試驗，那么此題就轉(zhuǎn)化為從白、紅、藍三個球中任意摸出一個球放回搖勻再摸出一個球，求兩次摸出的小球顏色相同的概率。這樣，我們透過“人選車廂”的馬甲看清“摸球試驗”的本質(zhì)，問題解決起來就容易多了。

二變：找過期牛奶

例2 （2021·山東臨沂）現(xiàn)有4盒同一品牌的牛奶，其中2盒已過期，隨機抽取2盒，至少有一盒過期的概率是（ ）。

A.[12] B.[23] C.[34]? ? D.[56]

【解析】把兩盒不過期的牛奶記為A1、A2，兩盒過期牛奶記為B1、B2，用表格列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：

由表格可知，共有12種等可能的結(jié)果，至少有一盒過期的結(jié)果有10種，

∴P（至少有一盒過期）=[56]。故選D。

【點評】透過現(xiàn)象看本質(zhì)，這依然是“摸球試驗”的化身。2盒不過期的牛奶即2個白球，2盒過期牛奶即2個紅球，4個除顏色外完全相同的球裝在一個不透明的袋子中，隨機抽取2盒即隨機從中摸出2個球，這顯然是原題第（2）問的類型，即不放回試驗，那么此題就轉(zhuǎn)化為從袋子中摸出2個球，求至少有1個球是紅球的概率。這樣一來，“摸球試驗”輕松應(yīng)對。

三變：鑰匙配對

例3 （2021·湖北荊州）有兩把不同的鎖和四把鑰匙，其中兩把鑰匙分別能打開這兩把鎖，另外兩把鑰匙不能打開這兩把鎖。隨機取出一把鑰匙開任意一把鎖，一次打開鎖的概率是 。

【分析】把兩把不同的鎖記為A、B，四把鑰匙記為a、b、c、d，假設(shè)a能打開A，b能打開B，用表格列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：

由表格可知，共有8種等可能的結(jié)果，一次打開鎖的結(jié)果有2種，

∴P（一次打開鎖）=[14]。

【點評】這個“馬甲”有點硬，但再硬的“馬甲”還是能夠扒開的。這道題依然有“摸球試驗”的影子，不同的是這里的“摸球試驗”需要兩個袋子。兩把不同的鎖即1個白球、1個紅球，這2個球裝入一個不透明的袋子;四把鎖即白、紅、黃、藍各1個球，這4個球裝入另一個不透明的袋子，這些球除顏色外都相同。隨機取出一把鑰匙開任意一把鎖即從這2個袋子中分別取出1個球，這種“摸球試驗”還是摸兩次，不過是從兩個袋子各摸一次，那么就轉(zhuǎn)化為從2個袋中分別取出1個球，求2個球顏色相同的概率。這樣思考，簡單明了。

這里雖然只舉出了三種變化方式，但是實際上摸球試驗通過“72變”甚至“108變”還是可以變出許許多多的樣子。希望同學(xué)們可以看透本質(zhì)，回歸“摸球試驗”模型，提高解決問題的能力。

（作者單位：江蘇省南京市六合區(qū)橫梁初級中學(xué)）