“問題引領(lǐng)”下的一類圓錐曲線定點(diǎn)問題的探究

?廣東省廣州市從化區(qū)第四中學(xué) 黃 強(qiáng)

數(shù)學(xué)探究是圍繞某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問題，開展探究活動(dòng)，突出通過問題引領(lǐng)，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.筆者嘗試以兩條主線來組織一次課堂探究活動(dòng).第一條線是從一個(gè)問題抽象到一般問題；第二條線是基于學(xué)科知識(shí)發(fā)展邏輯.設(shè)計(jì)如下.

首先，教材中有很多結(jié)構(gòu)相似的習(xí)題，因此先選擇一個(gè)具體問題作為探究起點(diǎn)，確定探究方向.如，2003年人教版選修2-1復(fù)習(xí)參考題B組第3題和習(xí)題2.4的A組第6題，對(duì)比兩題，B組第3題的點(diǎn)D容易使學(xué)生聯(lián)想到定點(diǎn)問題，所以把B組第3題作為探究起點(diǎn)，把定點(diǎn)問題作為探究方向.

其次，平面解析幾何知識(shí)的發(fā)展邏輯在于它的整體性，這有助于培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用類比思維、數(shù)形結(jié)合思想解決問題，同時(shí)也有助于學(xué)生從整體上把握局部知識(shí).

最后，由于是探究一些未知的知識(shí)，筆者與學(xué)生共同使用《幾何畫板》和Maple2019，特別是用Maple-2019解決一些復(fù)雜的推導(dǎo)過程時(shí)，學(xué)生對(duì)此表現(xiàn)出極大興趣，這出乎筆者意料.下面筆者以“問題-證明-性質(zhì)”形式呈現(xiàn)活動(dòng)過程.

1 課本習(xí)題

圖1

原題(2003人教版選修2-1復(fù)習(xí)參考題B組第3題)如圖1，已知直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,1)，求p的值.

2 拋物線定點(diǎn)問題的探究

問題1D是定點(diǎn)嗎？(答案顯然是否定的.)

問題2已知直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，OA⊥OB，且直線OA,OB存在，直線AB是否恒過定點(diǎn)？

由此得到以下性質(zhì)：

性質(zhì)1已知直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，OA⊥OB，則直線AB恒過定點(diǎn)(2p,0).

問題3原題中拋物線上的定點(diǎn)為原點(diǎn)，比較特殊，如果一般化會(huì)怎樣？(因此有如下問題.)

問題4已知直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，P為拋物線上一定點(diǎn)，PA⊥PB，直線AB是否恒過定點(diǎn)？

解析：設(shè)點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,y0).因?yàn)镻A⊥PB，所以

(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=0.

當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線AB也恒過該定點(diǎn)C，過程略.

因而得到以下結(jié)論：

性質(zhì)2已知直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，P(x0,y0)為拋物線上一定點(diǎn)，PA⊥PB，則直線AB恒過定點(diǎn)C(2p+x0,-y0).

容易證明性質(zhì)2的逆命題成立，因此有以下性質(zhì)：

性質(zhì)3已知直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，P(x0,y0)為拋物線上一定點(diǎn)，C(2p+x0,-y0)，若過點(diǎn)C的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則PA⊥PB.

以性質(zhì)3為依據(jù)，非常容易判斷課本習(xí)題2.4A組第6題，原題如下:

已知直線y=x-2與拋物線y2=2x交于A，B兩點(diǎn),求證：OA⊥OB.

證明：因?yàn)橹本€y=x-2過點(diǎn)(2,0)，由性質(zhì)3可得OA⊥OB.

利用《幾何畫板》進(jìn)行探究，通過移動(dòng)點(diǎn)A，發(fā)現(xiàn)線段PA，PB的中點(diǎn)軌跡呈現(xiàn)一定的規(guī)律.因此提出以下問題：

問題5已知直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，P(x0,y0)為拋物線上一定點(diǎn)，C(2p+x0,-y0)，若過點(diǎn)C的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則線段PA中點(diǎn)的軌跡是什么？

因此，得到下面的結(jié)論：

利用《幾何畫板》繼續(xù)探究，方法同上，提出以下問題：

問題6已知直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，P(x0,y0)為拋物線上一定點(diǎn)，PA⊥PB，PD⊥AB交AB于點(diǎn)D，求點(diǎn)D的軌跡方程.

因此得到下面的結(jié)論：

問題1至問題6，其過程是對(duì)特殊點(diǎn)O的一般化，從而把具體問題抽象為一般問題，體現(xiàn)了對(duì)問題本質(zhì)的探究.另外，也可以將習(xí)題2.4A組第6題中的直線一般化，又可以生成一個(gè)對(duì)斜率的探究活動(dòng).我們知道，高中圓錐曲線主要包含橢圓、雙曲線和拋物線三部分.從學(xué)生學(xué)習(xí)的視角看，三種曲線的方程形式、性質(zhì)和圖形各不相同，學(xué)生容易認(rèn)為三部分是獨(dú)立的.下面從數(shù)學(xué)思想的角度，把三部分的有機(jī)聯(lián)系呈現(xiàn)給學(xué)生，予他們以“整體”觀感.

3 活用性質(zhì)解決高考真題

(2021年全國甲卷第20題)拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，直線l:x=1交C于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ，已知點(diǎn)M(2，0)，且⊙M與l相切.(1)求C，⊙M的方程；(2)略.

下面運(yùn)用性質(zhì)1求第(1)問中拋物線C的方程.

4 結(jié)語

在新課程教學(xué)理念背景下，如何促使學(xué)生真正參與到“發(fā)現(xiàn)”數(shù)學(xué)知識(shí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題中，改變學(xué)生只會(huì)被動(dòng)接受現(xiàn)成結(jié)論的習(xí)慣，從而真正學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，這是一個(gè)重要的問題.通過這次課堂探究活動(dòng)，筆者感到，課堂教學(xué)做好“三足”是有益的.首先是教學(xué)要立足學(xué)科思想的引領(lǐng)， 立好這個(gè)“足”，提升課堂教學(xué)立意；其次是教學(xué)要立足教材中的資源，善用、活用教材中的例題、習(xí)題等，既可以避免效率低下的“刷題”“題?！保挚梢哉嬲龅郊ぐl(fā)學(xué)生思維；最后是立足改變教學(xué)方式，以數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的方式去學(xué)習(xí)，改變學(xué)生只會(huì)接受現(xiàn)成結(jié)論的現(xiàn)狀，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).