向量方法在立體幾何問(wèn)題中的常見(jiàn)應(yīng)用

?陜西省鎮(zhèn)巴中學(xué) 馬應(yīng)雄

1 證明直線與平面平行

圖1

圖2

又因?yàn)锳M?平面BDF，所以AM∥平面BDF.

2 證明直線與平面垂直

運(yùn)用向量方法證明直線與平面垂直的大致過(guò)程為：①建立合理的空間直角坐標(biāo)系；②證明所證直線的方向向量與平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量垂直；③證明線面垂直.如下面例2的解題思路與步驟所示.而常見(jiàn)的用直線的方向向量與平面的法向量共線的思路證明線面垂直，常常會(huì)因?yàn)榉ㄏ蛄康倪\(yùn)算求解變得復(fù)雜，與應(yīng)用向量方法的最初目的背道而馳.

圖3

例2如圖3，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2,H，F(xiàn)分別是線段AB，PD的中點(diǎn).

證明：PD⊥平面AHF.

圖4

所以PD⊥AF，PD⊥AH.

又因?yàn)锳F∩AH=A,所以PD⊥平面AHF.

3 求解空間角

圖5

例3如圖5,在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1,∠ABC=90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BB1的中點(diǎn)，求直線EF和BC1所成角的大小.

圖6

解析：建立如圖6所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz，設(shè)AB=BC=AA1=2.

確定點(diǎn)A，B，C，A1，B1，C1的坐標(biāo)，可得

向量方法在立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用十分廣泛，能使線面平行證明問(wèn)題、線面垂直證明問(wèn)題以及空間角度求解問(wèn)題的解答更加高效準(zhǔn)確.向量方法的解題思路大致分為三步：首先根據(jù)已知的條件建立合適的空間直角坐標(biāo)系，其次把空間關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)量關(guān)系，最后運(yùn)算求出.增強(qiáng)對(duì)向量方法的理解和合理運(yùn)用，可以使許多立體幾何問(wèn)題順利解決.