多解思維，多層拓展，多向歸納
——以2021年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第15題為例

?山東省淄博第七中學(xué) 孫麗云

函數(shù)的最值問(wèn)題，一直是高考中比較常見(jiàn)的一類題型，背景新穎，創(chuàng)新多變．此類問(wèn)題可以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，也可融入解答題中，形式多樣．既可以基本初等函數(shù)的組合形式來(lái)設(shè)置，也可與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯與融合來(lái)設(shè)置，變化多端．具體破解時(shí)，思維多樣，方法多變，可以很好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力等，充分體現(xiàn)高考的選拔性與區(qū)分度．

1 真題呈現(xiàn)

高考真題(2021年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第15題)函數(shù)f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值為_(kāi)_____．

2 真題剖析

該題題目簡(jiǎn)潔明了，條件簡(jiǎn)單易懂，以一個(gè)“一次函數(shù)的絕對(duì)值”與一個(gè)“對(duì)數(shù)函數(shù)”的差式來(lái)建立相應(yīng)的函數(shù)，進(jìn)而確定該函數(shù)的最小值．以簡(jiǎn)單條件進(jìn)行復(fù)合與提升．

破解本題的思維各異，方法多樣，可以通過(guò)去絕對(duì)值符號(hào)進(jìn)行分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來(lái)確定相應(yīng)的最小值；也可以借助函數(shù)圖象，通過(guò)數(shù)形結(jié)合并利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義加以求解；還可以借助“對(duì)數(shù)不等式”的重要結(jié)論合理放縮，巧妙轉(zhuǎn)化，利用不等式的性質(zhì)加以處理等．

3 真題破解

方法1：分類討論法.

解析：函數(shù)f(x)=|2x-1|-2lnx的定義域?yàn)?0，+∞).

所以當(dāng)x=1時(shí)，f(x)取得極小值為f(1)=2×1-1-2ln 1=1.

而2ln 2=ln 4>ln e=1，所以函數(shù)f(x)在x=1時(shí)取得最小值，且最小值為1.

故填答案：1．

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)函數(shù)的解析式確定函數(shù)的定義域，結(jié)合絕對(duì)值定義對(duì)自變量x進(jìn)行分段處理，進(jìn)而分類討論.一方面直接利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)確定極值，另一方面通過(guò)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來(lái)確定相應(yīng)的極值，最后再確定函數(shù)的最小值．分類討論法綜合了函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等．

方法2：導(dǎo)數(shù)的幾何意義法.

解析：令f(x)=0，可得|2x-1|=2lnx.

圖1

在同一平面直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)g(x)=|2x-1|，h(x)=2lnx的圖象，如圖1所示.

所以當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f(x)=|2x-1|-2lnx取得最小值f(1)=|2×1-1|-2ln 1=1.

所以函數(shù)f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值為1.

故填答案：1．

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化，將題目條件中的函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本初等函數(shù)，通過(guò)作出對(duì)應(yīng)函數(shù)的草圖，數(shù)形結(jié)合確定函數(shù)取得最小值時(shí)的情形，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，進(jìn)而求解對(duì)應(yīng)的最小值．利用數(shù)形結(jié)合法，在考試中只能作出簡(jiǎn)單的草圖，加以直觀想象，巧妙應(yīng)用．

方法3：重要結(jié)論法.

解析：根據(jù)“對(duì)數(shù)不等式”的重要結(jié)論“l(fā)nx≤x-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立”，可知

f(x)=|2x-1|-2lnx≥|2x-1|-2(x-1)≥(2x-1)-2(x-1)=1.

當(dāng)且僅當(dāng)x=1且2x-1≥0，即x=1時(shí)等號(hào)成立.

所以函數(shù)f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值為1.

故填答案：1．

點(diǎn)評(píng)：“對(duì)數(shù)不等式”的重要結(jié)論作為一個(gè)基本結(jié)論，在一些小題(選擇題或填空題)中可以直接應(yīng)用，利用其來(lái)合理放縮，化歸轉(zhuǎn)化，巧妙應(yīng)用，是破解一些相關(guān)不等式問(wèn)題比較常用的手段．“對(duì)數(shù)不等式”這一重要結(jié)論，作為課外知識(shí)的提升與拓展，有必要對(duì)其加以理解與掌握．

4 變式拓展

通過(guò)適當(dāng)改變條件，以不同的形式來(lái)巧妙設(shè)置問(wèn)題，得到以下對(duì)應(yīng)的變式問(wèn)題．

變式1函數(shù)f(x)=x2-2lnx的最小值為_(kāi)_____．

解析：函數(shù)f(x)=x2-2lnx的定義域?yàn)?0，+∞).

當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x=1時(shí)，f(x)取得最小值，且最小值為f(1)=12-2ln 1=1.故填答案：1．

變式2已知函數(shù)f(x)=ax2-x+lnx，當(dāng)x≥1時(shí)，試求函數(shù)g(x)=|f(x)-2lnx|的最小值．

解析：g(x)=|f(x)-2lnx|=|ax2-x-lnx|.

可設(shè)函數(shù)h(x)=ax2-x-lnx，x≥1.

綜上可得，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)g(x)的最小值為1-a；當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)g(x)的最小值為a-1；當(dāng)0

5 解后反思

破解函數(shù)的最值問(wèn)題常見(jiàn)的思維方法主要有以下幾種：

(1)導(dǎo)數(shù)方法領(lǐng)銜

通過(guò)對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的確定，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)取值情況確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)的極值，從而確定函數(shù)的最值問(wèn)題．直接通過(guò)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，可以解決一些熟悉或不熟悉的函數(shù)問(wèn)題，合理求導(dǎo)，以代數(shù)運(yùn)算代替邏輯推理，通過(guò)運(yùn)算來(lái)分析與判斷．

(2)數(shù)形結(jié)合判斷

通過(guò)作出相應(yīng)函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)來(lái)分析與處理．利用數(shù)形結(jié)合判斷函數(shù)的最值問(wèn)題時(shí)，必須是一些常見(jiàn)的基本初等函數(shù)，或一些熟悉的特殊函數(shù)，或把不熟悉的函數(shù)合理分解并轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)后再數(shù)形結(jié)合．對(duì)于復(fù)合類或不熟悉的函數(shù)類型，無(wú)法借助圖象來(lái)數(shù)形結(jié)合處理．

(3)不等式性質(zhì)放縮

在具體解決一些特殊函數(shù)的最值問(wèn)題時(shí)，有時(shí)根據(jù)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系式的特征，借助基本不等式或柯西不等式、不等式性質(zhì)以及特殊的不等式，如上面提到的“對(duì)數(shù)不等式”的重要結(jié)論等，也可以很好地處理函數(shù)的最值問(wèn)題.

函數(shù)最值問(wèn)題的求解，借助合理的代數(shù)運(yùn)算與變形，結(jié)合通分、因式分解、配湊、平方、配方、構(gòu)造等運(yùn)算手段加以輔助處理，或?qū)?shù)方法領(lǐng)銜，或數(shù)形結(jié)合判斷，或不等式性質(zhì)放縮等，全面促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與掌握，有效提高數(shù)學(xué)能力，提升數(shù)學(xué)品質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．