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    2022年高考數(shù)學(xué)全國乙卷導(dǎo)數(shù)壓軸題解析

    2022-02-15 02:22:49中央民族大學(xué)附屬中學(xué)呼和浩特分校李雪峰
    中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年23期
    關(guān)鍵詞:零點(diǎn)題意圖象

    ?中央民族大學(xué)附屬中學(xué)呼和浩特分校 李雪峰

    1 試題呈現(xiàn)

    (2022年高考數(shù)學(xué)全國乙卷第21題)已知函數(shù)f(x)=ln (1+x)+axe-x.

    (1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;

    (2)若f(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+∞)各恰有一個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

    2 試題解析

    本題的第(1)問不多贅述,下面給出第(2)問的幾種不同的思考角度和解題方法.

    2.1 思路一及解法

    2.1.1 解題思路一的形成

    因?yàn)轭}中所給條件是函數(shù)零點(diǎn)問題,所以我們先觀察函數(shù)值的正負(fù)情況以及何時(shí)為零.

    當(dāng)a≥0時(shí),若x>0,則f(x)=ln (1+x)+axe-x>0恒成立,與題意不符.因此,下面只討論a<0時(shí)的情形.

    通過觀察易知f(0)=0,當(dāng)x→-1時(shí),f(x)→-∞;當(dāng)x→+∞時(shí),f(x)→+∞.要使f(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+∞)各恰有一個(gè)零點(diǎn),則可以猜測(cè)f(x)的圖象大致如圖1所示.

    圖1

    由圖1可知,f′(0)=a+1<0顯然為其必要條件,即a<-1.下面需要說明:①當(dāng)a≥-1時(shí),不符合題意;② 當(dāng)a<-1時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性,再根據(jù)零點(diǎn)存在定理說明在區(qū)間 (-1,0)和(0,+∞) 上各恰有一個(gè)零點(diǎn).

    思路一的思維導(dǎo)圖如圖2所示.

    圖2

    2.1.2 具體解法

    設(shè)g(x)=ex+a(1-x2).

    當(dāng)-1≤a<0時(shí),在區(qū)間(0,+∞)上,有

    g(x)=ex+a(1-x2)=(ex+a)-ax2>0.

    所以,在區(qū)間(0,+∞)上,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,則f(x)>f(0)=0,這與題意不符.

    當(dāng)a<-1時(shí),g′(x)=ex-2ax,因?yàn)間″(x)=ex-2a>0,所以g′(x)在區(qū)間(-1,+∞)上單調(diào)遞增.

    又因?yàn)間′(-1)=e-1+2a<0,g′(0)=1>0,所以存在唯一x0∈(-1,0),使g′(x0)=0.

    因此,當(dāng)x∈(-1,x0)時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

    (為直觀起見,下面分別畫出函數(shù)g′(x),g(x),f(x)的大致圖象,如圖3~5所示.)

    圖3

    圖4

    圖5

    當(dāng)x∈(-1,x1)時(shí),g(x)>0,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí),g(x)<0,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(x2,+∞)時(shí),g(x)>0,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.同時(shí)可知f(x1)>f(0)=0,f(x2)

    (至此,利用隱零點(diǎn)求出了函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.下面利用放縮法進(jìn)行區(qū)間卡根,根據(jù)零點(diǎn)存在定理說明在區(qū)間 (-1,0)和(0,+∞) 上各恰有一個(gè)零點(diǎn).)

    當(dāng)-1-e(證明略),所以

    f(x)=ln (1+x)+axe-x

    由ln (x+1)-ea<0,得x

    所以,當(dāng)a<-1時(shí),函數(shù)f(x)區(qū)間 (-1,0)和(0,+∞) 上各恰有一個(gè)零點(diǎn).

    綜上所述,a的取值范圍是(-∞,-1).

    解法2:當(dāng)a≥0時(shí),在區(qū)間(0,+∞)上,f(x)=ln (1+x)+axe-x>0,與題意不符.下面只討論a<0時(shí)的情形.

    (為直觀起見,給出g(x)的圖象,如圖6所示.)

    圖6

    (為直觀起見,給出g(x),f(x)的圖象,如圖7.)

    下面找點(diǎn)說明f(x) 在區(qū)間 (-1,0),(0,+∞) 上有零點(diǎn).

    由ln (1+x)-ae=0,解得x=eea-1.所以可得

    f(eae-1)

    所以f(x) 在區(qū)間 (-1,0),(0,+∞) 上各恰有一個(gè)零點(diǎn).

    綜上所述,a的取值范圍是(-∞,-1).

    點(diǎn)評(píng):解法1和解法2的基本思路一樣,都是按照一定的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論,然后借助隱零點(diǎn)將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)單調(diào)區(qū)間,最后在每個(gè)單調(diào)區(qū)間上卡根,根據(jù)零點(diǎn)存在定理說明函數(shù)零點(diǎn)的情況.

    解法2在求導(dǎo)后將導(dǎo)函數(shù)等價(jià)變形,使再求導(dǎo)后只需解一個(gè)不含參的二次不等式,簡(jiǎn)化了運(yùn)算.

    解題一般是按照由易到難的順序進(jìn)行思考,即先觀察、猜想,再分析、思辨,最后論證、求解.題目越復(fù)雜越要注意細(xì)節(jié),細(xì)節(jié)往往是打通解題思路的關(guān)鍵.

    2.2 思路二及解法

    2.2.1 解題思路二的形成

    函數(shù)零點(diǎn)的問題往往可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問題,因此該題可以考慮參變分離,將函數(shù)零點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為直線與另一個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問題,同時(shí)還可以避免參數(shù)討論帶來的麻煩.

    思路二的思維導(dǎo)圖,如圖8所示.

    圖8

    2.2.2 具體解法

    解法3:因?yàn)閒(0)=0,所以f(x)=0等價(jià)于

    令g(x)=(x2-1)ln (1+x)+x,則

    g′(x)=x[1+2ln (1+x)].

    (注意到g(0)=0,所以先討論g(x)在x>0時(shí)的正負(fù)情況.)

    當(dāng)x>0時(shí),g′(x)>0,則g(x)單調(diào)遞增,g(x)>g(0)=0,從而當(dāng)x>0時(shí),F(xiàn)′(x)>0,F(xiàn)(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增.

    由導(dǎo)數(shù)定義,得

    =1.

    (為直觀起見,下面給出F(x)的圖象.)

    圖9

    如圖9所示,要使直線y=a與F(x)圖象在y軸右側(cè)恰有一個(gè)交點(diǎn),則必然有-a>1,即a<-1.

    (為直觀起見,給出g(x),F(xiàn)(x)的圖象,如圖10.)

    綜上所述,當(dāng)a<-1時(shí),f(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+∞)各恰有一個(gè)零點(diǎn).

    點(diǎn)評(píng):解法3的好處在于對(duì)F(x)求導(dǎo)后避免了參數(shù)的討論;難點(diǎn)在于當(dāng)x趨于0時(shí)F(x)的極限值不易求出,雖然可用洛必達(dá)法則,但是超出了高中所學(xué).該解法繞開了洛必達(dá)法則,利用導(dǎo)數(shù)的定義求出F(x)在x=0處的極限,比較巧妙,不易想到.

    3 試題鏈接

    下面給出兩道高考真題,供讀者練習(xí).

    試題1(2017年全國Ⅰ卷理科)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

    (1)討論f(x)的單調(diào)性;

    (2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

    試題2(2018年全國Ⅱ卷理科)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.

    (1)若a=1,證明:當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥1;

    (2)若f(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn),求a.

    4 總結(jié)

    函數(shù)零點(diǎn)問題是高考的常考內(nèi)容,數(shù)形并用、合理分類是解題的關(guān)鍵.區(qū)間探點(diǎn)是一個(gè)難點(diǎn),常??梢杂梅趴s法解決.上述方法都是解決此類問題的典型方法,由于方法3中的極限值不易求出,考試中絕大多數(shù)考生選擇了方法1和方法2.

    該題對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力要求較高,解題時(shí)要求學(xué)生注意細(xì)節(jié)、大膽猜想、合理分類、準(zhǔn)確計(jì)算,這樣才能將問題順利解決.

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