一類Hilfer分?jǐn)?shù)階Riemann-Stieltjes積分邊值問(wèn)題解的存在性

蔣方園,徐家發(fā),柏仕坤

重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,重慶,401331

文本運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)方法研究如下高階Hilfer分?jǐn)?shù)階Riemann-Stieltjes積分邊值問(wèn)題解的存在性：

(1)

眾所周知，分?jǐn)?shù)階微分方程因其在人口動(dòng)力學(xué)、記憶材料熱傳導(dǎo)、滲流等許多重要應(yīng)用領(lǐng)域的應(yīng)用而受到廣泛關(guān)注，例如文獻(xiàn)[1]中提到了一種各向同性、齊次、有耗介質(zhì)中,平面電磁波傳導(dǎo)模型，其一維方程為

近年來(lái)，Hilfer給出了一種廣義的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，稱之為Hilfer分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，其可包括傳統(tǒng)的Riemann-Liouville型和Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，對(duì)于該類分?jǐn)?shù)階模型的研究亦開展起來(lái)了，參見文獻(xiàn)[5-13]及其所附參考文獻(xiàn)。我們注意到在已有文獻(xiàn)中很難發(fā)現(xiàn)所研究的Hilfer型分?jǐn)?shù)階微分方程模型能被準(zhǔn)確地表達(dá)成Hammerstein型積分方程，這會(huì)給研究該類方程帶來(lái)一定的困難(因被轉(zhuǎn)換的積分方程形式過(guò)于復(fù)雜)。文本就是克服這一困難，運(yùn)用Green函數(shù)和不動(dòng)點(diǎn)的方法研究問(wèn)題(1)解的存在性和唯一性，并給出唯一解的迭代格式。最后，提供兩個(gè)例子支撐我們的結(jié)論。

1 預(yù)備知識(shí)

首先給出本文所需要的有關(guān)Hilfer分?jǐn)?shù)階的定義和基本結(jié)論，詳細(xì)內(nèi)容可參見文獻(xiàn)[2-17]。

定義1函數(shù)g:+→的α(>0)階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)積分定義為：

定義2函數(shù)g:+→的α(>0)階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)定義為：

定義3令α∈(n-1,n),β∈[0,1],n∈+,則函數(shù)g(∈L1[0,1])的Hilfer分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為：

注意到上式亦可以表達(dá)為：

θ=α+nβ-αβ

由上述定義我們可得如下的性質(zhì)：

性質(zhì)2若n-1<α

文本的思路是將問(wèn)題(1)轉(zhuǎn)換成等價(jià)的積分方程，為此需要計(jì)算問(wèn)題(1)對(duì)應(yīng)的Green函數(shù)。考慮如下的輔助問(wèn)題：

引理3若(H0)成立。令h∈C[0,1],則邊值問(wèn)題

(2)

的解可表達(dá)為：

(3)

其中

(4)

(5)

證明：根據(jù)引理2可得

其中，ci∈,i=1,2,…,n。

由條件u(0)=u′(0)=…u(n-2)(0)=0知:

c2=…=cn=0

從而

(6)

借助(H0)可解得：

證畢。

引理5函數(shù)G有以下的性質(zhì)：

i)G(t,s)∈C([0,1]×[0,1],+)；

該結(jié)論是引理4的直接結(jié)果，故略去其證明。

2 主要結(jié)論

(7)

其中，G見引理3。若令f是[0,1]×上的連續(xù)函數(shù)，則加上G的連續(xù)性我們可知算子A是一全連續(xù)算子，并且若存在u*∈E{0}使得Au*=u*，則u*是算子A的非平凡不動(dòng)點(diǎn)，即是問(wèn)題(1)的非平凡解。

在以下的結(jié)論中，假定f(t,0)≠0,t∈[0,1],即0不是A的不動(dòng)點(diǎn)，后面討論中不再贅述。

定理6若(H0)和以下條件成立：

H1)f∈C([0,1]×+,+),

H2)f關(guān)于第二個(gè)變量u是增函數(shù)，即若u1≤u2,則f(t,u1)≤f(t,u2),?t∈[0,1]

≤tθ-1φ(s),t,s∈[0,1]

(8)

根據(jù)(H3)可得存在ε1∈(0,Λ1),c1>0使得

f(t,u(t))≤(Λ1-ε1)u(t)+c1,u≥0,t∈[0,1]

(9)

令u0(t)=Mtθ-1,t∈[0,1]，則Au0≤u0.定義序列

un+1=Aun,n=0,1,2,…

(10)

下證該序列為遞減序列。

事實(shí)上，u1=Au0≤u0,從而根據(jù)(H2)可得：

假設(shè)uk≤uk-1,k=1,2,…,則由(H2)知：

Au*=u*

前述已指出0不是A的不動(dòng)點(diǎn)，從而u*是A的正不動(dòng)點(diǎn)，即是問(wèn)題(1)的正解。證畢。

以下將問(wèn)題(1)稍作變形，即研究如下問(wèn)題：

其中φ：[0,1]→，φ∈L1[0,1],且φ在[0,1]的任何子區(qū)間上不恒為0。

定理7若(H0)和以下條件成立：

(H4)f∈C([0,1]×,)；

(H5)存在σ∈[0,1]，使得?t∈[0,1],u,v∈,有|f(t,u)-f(t,v)|≤σκ-1|u-v|, 其中κ見引理5。

則問(wèn)題(11)存在唯一的非平凡解u*,并且對(duì)任意的u0∈E,u0≠0。迭代序列un=Tun-1(n=1,2…)收斂到u*，其中

證明：對(duì)任意的u0∈E,u0≠0，令un=Tun-1(n=1,2…)根據(jù)算子T的全連續(xù)性，該序列屬于E.從而對(duì)任意的正整數(shù)n,根據(jù)引理11，有

|un+1(t)-un(t)|=|(Tun)(t)-(Tun-1)(t)|

-f(τ,un-2(τ))|dτds

≤…

-f(s,u0(s))|dsdt

從而可得:

×|u1(t)-u0(t)|dt

(12)

再由(12)式可得：

|un+1(t)-un(t)|≤σnΓ(α+2)β0從而對(duì)任意的正整數(shù)m,n,可得：

|um+n(t)-un(t)|=|um+n(t)-um+n-1(t)

+um+n-1(t)-um+n-2(t)+…+un+1(t)-un(t)|

≤|um+n(t)-um+n-1(t)|+|um+n-1(t)

-um+n-2(t)|+…+|un+1(t)-un(t)|

≤β0Γ(α+2)(σm+n-1+σm+n-2+…+σn)

在等式兩邊同時(shí)取極限可得u*=Tu*，即u*是算子T的非平凡不動(dòng)點(diǎn)，即問(wèn)題(11)存在一個(gè)非平凡解。

下證該解是唯一的。若存在v*使得Tv*=v*,u*≠v*,則對(duì)任意的正整數(shù)n,有Tnu*=Tn-1(Tu*)=Tn-1u*=···=u*,Tnv*=v*。

進(jìn)一步可得:

|u*(t)-v*(t)|=|(Tnu*)(t)-(Tnv*)(t)|

=|T(Tn-1u*)(t)-T(Tn-1v*)(t)|

-f(s,(Tn-1v*)(s))|ds

-(Tn-1v*)(s)|ds

-(Tn-1v*)(t)|dt

-T(Tn-2v*)(t)|dt

-f(s,Tn-2v*)(s)|dsdt

-(Tn-2v*)(s)|ds

-(Tn-2v*)(t)|dt

≤…

-(Tv*)(t)|dt

-f(s,v*(s)|dsdt

此即表明

(13)

注1：文獻(xiàn)[14]中作者運(yùn)用單調(diào)迭代方法研究了如下Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階積分邊值問(wèn)題正解的存在唯一性：

其中α∈(2,3]，滿足如下的單調(diào)有界條件：

存在χ>0使得f(t,x)≤f(t,y)≤Θχ,?0≤x≤y≤χ,t∈[0,1],其中Θ是一正常數(shù)。

顯然文本的(H3)包含這一條件，我們僅要求非線性項(xiàng)關(guān)于未知函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處次線性增長(zhǎng)即可，而不需要單調(diào)有界這樣更強(qiáng)的條件。

注2：運(yùn)用u0-正算子的方法研究了如下Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階邊值問(wèn)題非平凡解的存在唯一性[15]：

(15)

其中p∈(2,3],f滿足如下的Lipschitz條件：

存在σ∈(0,1)使得|f(t,u)-f(t,v)|≤σλ1|u-v|,?t∈[0,1],u,v∈,其中λ1是式(15)對(duì)應(yīng)的線性問(wèn)題的第一特征值。

雖然定理13的條件和結(jié)論與文獻(xiàn)[15]類似，然而我們僅用到完備空間中的Cauchy列收斂這一基本原理，并且不需要用更復(fù)雜的理論去計(jì)算線性問(wèn)題對(duì)應(yīng)的特征值(實(shí)際上算不出來(lái)具體值)。這對(duì)于初學(xué)者更易學(xué)易懂。

3 例 子

例1令f(t,u)=Λ2u?+ρ(t),u∈+,t∈[0,1]，其中ρ是[0,1]上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)且在[0,1]上不恒等于0,Λ2∈(0,Λ1),?∈(0,1]。則該函數(shù)關(guān)于u單增，且

對(duì)t∈[0,1]一致成立。定理12的條件均滿足。

例2令f(t,u)=σΛ3u+ψ(t),其中ψ是[0,1]上的連續(xù)函數(shù)且在[0,1]上不恒等于0,Λ3∈(0,κ-1]。則|f(t,u)-f(t,v)|≤σΛ3|u-v|≤σκ-1|u-v|,?t∈[0,1],u,v∈。

從而定理7的條件均滿足。