一類耦合交錯的Hadamard型分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)邊值問題

張海燕，姚慧子

宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽宿州,234000

由于分?jǐn)?shù)階微分方程具有整數(shù)階微分方程所不具備的應(yīng)用前景，其理論和應(yīng)用研究受到科研工作者們的廣泛關(guān)注，如Kilbas等[1]對分?jǐn)?shù)階微積分理論基礎(chǔ)進(jìn)行了系統(tǒng)總結(jié)，陳文等[2]介紹了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)擴(kuò)散方程模型的理論基礎(chǔ)、物理機(jī)理、數(shù)值算法，闡述了分?jǐn)?shù)階微分模型在地下含水層溶質(zhì)遷移過程模擬、水工建筑物混凝土氯離子侵蝕，非飽和土壤水分運移過程分析與其他領(lǐng)域的應(yīng)用，薛定宇[3]系統(tǒng)地介紹了分?jǐn)?shù)階微積分學(xué)與分?jǐn)?shù)階控制領(lǐng)域的理論知識與數(shù)值計算方法,Ahmad等[4]對一類特殊的Hadamard型方程的微分包含問題進(jìn)行了深入研究，獲得了一系列新成果。

近年來，分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性是數(shù)學(xué)研究者重點關(guān)注的問題，這方面有許多優(yōu)秀成果[5-8]。特別地，在文獻(xiàn)[9]中，Ahmad等討論了具有邊值條件的非線性交錯的單變量Hadamard型微分方程：

(1)

通過利用Dhage不動點定理獲得了方程(1)解的存在性結(jié)果。另一方面，分?jǐn)?shù)階微分方程的多變量耦合系統(tǒng)也具有重要的研究意義[10-13]，因為這類系統(tǒng)出現(xiàn)在許多交叉學(xué)科領(lǐng)域的應(yīng)用中，如同步現(xiàn)象、非局部的熱彈性學(xué)和生物工程等。

受上述文獻(xiàn)啟發(fā)，文本通過構(gòu)建新的乘積范數(shù)空間，定義新的上模范數(shù)，在適當(dāng)?shù)姆蔷€性條件下，研究一類耦合交錯的Hadamard型分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)邊值問題：

(2)

其中Dα1,Dα2是Hadamard型α1和α2階的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，fi∈C([1,e]×R×R,R{0}),gi∈C([1,e]×R×R,R)。當(dāng)系統(tǒng)(2)退化為單個變量情形，則涵蓋了文獻(xiàn)[9]所討論的交錯Hadamard型微分方程；當(dāng)fi退化為常數(shù)時，系統(tǒng)(2)為一般的耦合Hadamard型微分系統(tǒng)。因此，本系統(tǒng)推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10-13]討論的問題。

1 預(yù)備知識

定義實值函數(shù)f:[1,e]→R的函數(shù)空間X=C([1,e],R)。顯然，空間X=C([1,e],R)是范數(shù)‖x‖=sup{|x(t)|:t∈[0,1]}下的Banach空間，也是乘積定義(x,y)(t)=x(t)·y(t)下的一個Banach代數(shù)。乘積空間=X×X在范數(shù)‖(x,y)‖=‖x‖+‖y‖下也是一個Banach空間，即范數(shù)線性空間(，‖(·,·)‖)是一個Banach空間，同時在乘積定義((x,y)·(u,v))(t)=(x,y)(t)·(u,v)(t)=(x(t)u(t),y(t)v(t))，t∈[1,e],下也是一個Banach代數(shù)。

定義2函數(shù)g:(0,+∞)→R的α>0階Hadamard型分?jǐn)?shù)階積分定義為

定義3[14]若X是Banach空間，稱算子Τ：X→X是利普希茨的，如果存在一個常數(shù)LT>0使得 ‖Τ(x)-Τ(y)‖≤LT‖x-y‖,?x,y∈X。

引理1[15](Dhage)設(shè)S是一個非空有界的Banach代數(shù)凸閉集,若算子Α：X→X和算子Β：S→X滿足下列條件：

(C1)Α是利普希茨的，存在利普希茨常數(shù)LΑ;

(C2)Β是全連續(xù)的；

(C3)x=ΑxΒy??y∈S?x∈S;

(C4)LAMB<1,其中MB=‖B(S)‖=sup{‖Bx‖:x∈S};

則算子方程x=ΑxΒx在S中至少有一個解。

2 解的存在性

為獲得系統(tǒng)(2)解的存在性結(jié)果，先給出下面引理。

引理2[4]令φ1，φ2∈C([1,e]×R×R，R)，則邊值問題

解的積分形式可表示為：

對于系統(tǒng)(2),列出下面假設(shè)條件。

(H2)存在非負(fù)常數(shù)Mgi>0使得對任意t∈[1,e],x,y∈R,有|gi(t,x,y)|≤Mgi,i=1,2。

(H3)非負(fù)常數(shù)Lfi和Mgi，i=1,2，滿足

定理1如果條件(H1)-(H3)滿足，則耦合交錯的Hadamard型分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)(2)在[1,e]×[1,e]中至少存在一個解。

證應(yīng)用引理1，由(2),我們?nèi)?/p>

(3)

(4)

S={(x,y)∈:‖(x,y)‖≤ρ}

(5)

則S是中非空Banach代數(shù)有界凸閉球。定義算子Α=(Α1,Α2):→和Β=(Β1,Β2):S→如下：

(6)

(7)

于是，微分系統(tǒng)(3)(4)和(6)(7)可以寫成：

A(x,y)(t)B(x,y)(t)=(x,y)(t),t∈[1,e]

則有

(8)

下面分三步證明算子Α和Β滿足引理1的所有條件。

第二步，證明算子Β=(Β1,Β2)是從S到的一個即緊又連續(xù)的算子。

首先考慮算子Β的連續(xù)性，取(xn,yn),(x,y)∈S，且(xn,yn)→(x,y)，則由勒貝格收斂定理可知：

=Β1(x,y)(t),t∈[1,e]

同理可知：

因此，算子Β(xn,yn)=(Β1(xn,yn),Β2(xn,yn))在[1,e]上收斂于Β(x,y)，即算子Β是連續(xù)的。

接著，令(x,y)∈S，結(jié)合條件(H2)可知：

最后證明Β(x,y)是上的等度連續(xù)函數(shù)。令?τ1,τ2∈[1,e],τ1<τ2，則

|Βi(x,y)(τ1)-Βi(x,y)(τ2)|≤

顯然，當(dāng)τ1→τ2時，對任意的(x,y)∈,|Βi(x,y)(τ1)-Βi(x,y)(τ2)|→0，即Βi(S)等度連續(xù)的。因此，Β(S)是等度連續(xù)的。

綜上所述，Β(S)?是連續(xù)且緊的，由Azela-Ascoli定理知，算子Β在S中是全連續(xù)的。故引理1的條件(C2)滿足。

(9)

同理由(8)式第二個等式可知：

(10)

由(9)和(10)可知：

因為‖(x,y)‖=‖x‖+‖y‖，故對?y∈S?x∈S。因此引理1的條件(C3)滿足。

第四步,證明LAMB<1。由(H2)知

綜上所述，算子Α和Β滿足引理1的所有條件，因此由引理1可知耦合交錯的Hadamard型分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)(2)至少有一個解。

例1 考慮下列耦合交錯Hadamard型分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng):

故由定理1可知耦合交錯的Hadamard分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)(2)至少有一解。