平平常常才是真
——從實(shí)踐的層面談“量感”的培養(yǎng)

丁 艷

(合肥市南門小學(xué) 安徽合肥 230001)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》將以前的核心概念改為核心素養(yǎng)，并首次提出量感，并將量感列為11個(gè)核心素養(yǎng)之一。新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，量感主要是指對事物的可測量屬性及大小關(guān)系的直觀感知，知道度量的意義，能夠理解統(tǒng)一度量單位的必要性；會針對真實(shí)情境選擇合適的度量單位進(jìn)行度量，會在同一度量方法下進(jìn)行不同單位的換算；初步感知度量工具和方法引起的誤差，能合理得到或估計(jì)度量的結(jié)果。建立量感有助于養(yǎng)成用定量的方法認(rèn)識和解決問題的習(xí)慣，是形成抽象能力和應(yīng)用意識的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。不難看出，良好的量感既是學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該養(yǎng)成的一種學(xué)科素養(yǎng)，同時(shí)對學(xué)生理性精神和應(yīng)用意識的培養(yǎng)也非常重要。

量感對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性如同語感、樂感之于語言學(xué)習(xí)、音樂學(xué)習(xí)一樣。量感的培養(yǎng)，首先應(yīng)該理解和度量單位的意義，其次應(yīng)該把握度量和度量單位的概念與邏輯關(guān)系。而度量單位又是度量的核心，應(yīng)當(dāng)通過實(shí)踐活動，結(jié)合實(shí)際例子體會度量單位的大小，同時(shí)也要通過實(shí)物感知度量單位的大小，強(qiáng)化學(xué)生對度量單位的感知。還應(yīng)關(guān)注不同維度度量單位之間的聯(lián)系，掌握一些基本測量方法和公式，在具體問題中進(jìn)行恰當(dāng)?shù)墓罍y。在多年的教學(xué)實(shí)踐中，筆者深切地體會到，量感的培養(yǎng)，勿用高深玄奧之道，平平常常才是真，具體說來，就是讓學(xué)生從實(shí)物表象中感覺，從生活經(jīng)驗(yàn)中感受，從換算方法中感知。

一、量感的培養(yǎng)始于計(jì)量單位的有效教學(xué)，在操作感覺中烙下清晰印象

首先，要讓學(xué)生在豐富有效的操作體驗(yàn)中積累表象。思維是從指尖開始的。無論是長度單位、時(shí)間單位、角的單位，還是面積單位、質(zhì)量單位、體(容)積單位，教學(xué)初始都需要設(shè)置大量體驗(yàn)類的操作活動，使學(xué)生從中充分感知這些計(jì)量單位究竟是什么，究竟表示多少?；顒拥念愋陀泻芏啵韵铝信e常見的幾種。

(一)摸一摸，比一比

認(rèn)識長度單位時(shí)，先讓學(xué)生動手摸一摸尺子上1厘米 、1米、1分米、1毫米的長度并記住，再讓學(xué)生用兩根手指比畫1厘米、1分米、1毫米大約有多長，張開兩臂比畫1米大約有多長，這個(gè)過程中讓1厘米、1米、1分米、1毫米長度單位清晰地映入學(xué)生的腦海中。

(二)稱一稱，掂一掂

認(rèn)識質(zhì)量單位時(shí)，通過掂一掂，稱一稱這樣的活動讓質(zhì)量概念及質(zhì)量單位走進(jìn)孩子的內(nèi)心。認(rèn)識千克時(shí)，可以設(shè)計(jì)以下活動：稱出1千克的大米，裝在袋子里，用手拎一拎；估量幾本數(shù)學(xué)書的重量，再稱一稱，用手掂一掂；稱一稱自己的書包多重。認(rèn)識克時(shí)，可以設(shè)計(jì)以下活動：用小型電子秤稱不同面值的硬幣，看看大約各重多少克，再分別掂一掂。小組合作，稱出10克黃豆，再數(shù)數(shù)有多少粒；稱一稱數(shù)學(xué)書大約有多少克，再稱一稱文具盒大約有多少克，分別用手掂一掂。在反反復(fù)復(fù)地稱和掂的過程中，學(xué)生深深地記住了掂1千克物體和1克物體分別是什么樣的感受，知道1克的物體大概是多少、1千克的物體大約是多少。

(三)切一切，做一做，想一想

在認(rèn)識體積單位時(shí)，為了幫助學(xué)生建立1立方厘米的概念，筆者設(shè)計(jì)了“切一切”的活動，讓學(xué)生從橡皮泥塊中切出一個(gè)棱長是1厘米的正方體，把這個(gè)小正方體握在手心，感受1立方厘米空間的大小。在認(rèn)識1立方分米時(shí)，出示棱長是1分米的正方體讓學(xué)生觀察，隨后用手勢比畫1立方分米的大小。認(rèn)識1立方米時(shí)，用3根1米長的木條做成一個(gè)互相成直角的架子，放在墻角，讓學(xué)生感受1立方米空間的大小。豐富有效的操作讓體積和體積單位在學(xué)生心中生根發(fā)芽。

量與計(jì)量單位的認(rèn)知操作活動還有許多，例如認(rèn)識角的度量單位時(shí)邊比畫邊描述兩邊岔開一點(diǎn)的這個(gè)小角就是1度角，通過數(shù)數(shù)1分鐘能寫多少個(gè)字或1分鐘能拍多少下球來體會1分鐘有多久，等等。這些活動中積累的大量的體會、感受和表象就是量和計(jì)量單位在學(xué)生腦中留下的最初模樣，清晰鮮活。

其次，要讓學(xué)生在回顧反思中辨明各計(jì)量單位的意義，在“以身體之”的基礎(chǔ)上著力于“用心驗(yàn)之”。例如，長度、面積、體積單位之間相互關(guān)聯(lián)又有本質(zhì)區(qū)別，當(dāng)學(xué)生積累了足夠的體驗(yàn)和表象時(shí)，要及時(shí)向?qū)W生拋出問題[長度、面積、體(容)積單位是什么]，引導(dǎo)學(xué)生深入思考追尋本質(zhì)，進(jìn)而領(lǐng)悟：長度單位是各種尺寸的線段，1米線段的長度和國際米原器同樣長，其余各長度單位都是根據(jù)倍數(shù)關(guān)系衍推出來的；面積單位是各種規(guī)定邊長的正方形，邊長取各對應(yīng)單位長度；體(容)積單位是各種規(guī)定棱長的正方體，棱長取對應(yīng)單位長度。同理，角的單位是圓周角經(jīng)360次等分后得到的每一份角。學(xué)生進(jìn)而明白了用線段量線段，用角量角，用面量面，用體量體，用質(zhì)量量質(zhì)量的道理。計(jì)量單位都是同類量中約定定義的標(biāo)量，任何其他同類量都可與對應(yīng)的計(jì)量單位比較，然后得到一個(gè)比來表示自身的多少。

二、量感的培養(yǎng)基于生活經(jīng)驗(yàn)的對應(yīng)積累，在實(shí)際感受中打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)

生活是最好的教材，也是最好的老師。當(dāng)學(xué)生初步建立起計(jì)量單位概念時(shí)，還要為他們找各種各樣生活中存在的對應(yīng)非標(biāo)準(zhǔn)參照物。這些非標(biāo)準(zhǔn)參照物是學(xué)生熟悉的、易比較的，同樣也是各種規(guī)格的。

(一)非標(biāo)準(zhǔn)參照物應(yīng)是學(xué)生熟悉的

只有熟悉，才易于比較。認(rèn)識長度單位時(shí)，可以讓學(xué)生記住教室門的高度大約2米，黑板的長度大約4米，學(xué)生的一拃長大約14厘米，課桌高度大約7分米，這樣學(xué)生可以輕松通過想象將估量物體與之比較，合理地估量出物體的長度或選擇合適的計(jì)量單位來表示物體的長度。認(rèn)識面積單位時(shí)，可以讓學(xué)生記住數(shù)學(xué)書的封面大約是450平方厘米，課桌面約46平方分米，當(dāng)選擇計(jì)量單位或估量面積的大小時(shí)，學(xué)生可以先與近在眼前的書本封面和桌面進(jìn)行比較，然后再確定。認(rèn)識容量單位時(shí)，可以讓學(xué)生記住一瓶礦泉水550毫升，一大壺菜籽油4升，有了這些知識儲備學(xué)生便能估量出一瓶醬油大約400毫升，一鍋水大約5升，一個(gè)有氧金魚缸大約裝水80升。

(二)非標(biāo)準(zhǔn)參照物要具備兩種規(guī)格

其分別是近計(jì)量單位非標(biāo)準(zhǔn)參照物和階梯性非標(biāo)準(zhǔn)參照物。首先我們要為不同的計(jì)量單位找到對應(yīng)的非標(biāo)準(zhǔn)參照物。例如面積單位非標(biāo)準(zhǔn)參照物如下：1平方厘米→約拇指指甲蓋大小，1平方分米→約一個(gè)半86型開關(guān)盒正面大小，1平方米→略小于四分之一黑板面大小，1公頃→約本校校區(qū)大小。再如質(zhì)量單位的非標(biāo)準(zhǔn)參照物：1克→約一枚2分硬幣的質(zhì)量，1千克→約4本數(shù)學(xué)書的質(zhì)量，1噸→約25個(gè)同學(xué)的質(zhì)量。這些近計(jì)量單位的非標(biāo)準(zhǔn)參照物與計(jì)量單位關(guān)系緊密，成為計(jì)量單位和量感之間的有效橋梁，學(xué)生由此更為深刻地理解計(jì)量單位間的關(guān)系，同時(shí)也能較為順利地估量某物體的大小。

其次，我們還要找一些階梯性非標(biāo)準(zhǔn)參照物。例如可以為面積單位找以下階梯性非標(biāo)準(zhǔn)參照物：40平方千米→澳門特區(qū)面積，1100平方千米→香港特區(qū)面積，44公頃→天安門廣場占地面積，巢湖水域面積→約800平方千米，合肥市面積→約1.1萬平方千米，安徽省面積→約14萬平方千米。有了這些儲備，當(dāng)學(xué)生疑惑故宮占地面積是72 公頃還是72平方千米時(shí)，就可以與占地大小相近的天安門廣場進(jìn)行對比，也可以與占地40平千米差別較大的澳門進(jìn)行對比判斷，從而選擇72公頃。合肥市綠色數(shù)學(xué)評價(jià)試卷中曾出現(xiàn)下面這道試題：由三峽大壩攔截而形成的水庫面積大約是1000( )。學(xué)生的錯(cuò)誤率非常高，大部分都填寫公頃。而我們班級的正確率卻達(dá)百分之八十多，在后續(xù)的調(diào)查中學(xué)生紛紛表示是因?yàn)橹莱埠蚣s800平方千米，三峽大壩攔截形成的水庫面積應(yīng)該更大，所以填寫平方千米。正是有了巢湖水域面積約800平方千米這個(gè)知識儲備，學(xué)生才選擇了合適的計(jì)量單位。再如，可以給體(容)積單位找以下階梯性非標(biāo)準(zhǔn)參照物：一塊橡皮的體積→約6立方厘米，一個(gè)紙巾盒的體積→約12立方分米，一個(gè)衣柜的體積→約2立方米，一個(gè)集裝箱的體積→大約40立方米，一個(gè)紙杯水→大約200毫升，一桶純凈水→大約19升。這些不同的階梯性非標(biāo)準(zhǔn)參照物，尤如過大跨度間的臺階，學(xué)生拾級而上，步子踏實(shí)而穩(wěn)健。

三、量感的培養(yǎng)在于換算計(jì)算方法的靈活運(yùn)用，在方法融會中實(shí)現(xiàn)感知升華

直觀是抽象的基礎(chǔ)，抽象是直觀的發(fā)展。高階“量感”的形成，應(yīng)超越具體的現(xiàn)實(shí)原型、已有經(jīng)驗(yàn)，利用度量及度量單位的內(nèi)在邏輯，通過單位換算與計(jì)算來評估量的多少，這樣“量感”會更有理可依。計(jì)算過程的訓(xùn)練、換算方法的貫通，會讓學(xué)生對量的感知升華為清晰、通透的認(rèn)知能力和具有數(shù)學(xué)特質(zhì)的理性精神。

(一)在單位換算中評估所選計(jì)量單位的合理性

教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象：學(xué)生對計(jì)量單位與被測量物的認(rèn)知都無誤，但當(dāng)測量數(shù)據(jù)較大時(shí)，學(xué)生選擇計(jì)量單位更容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。例如大樹的高度，面對數(shù)據(jù)110時(shí)部分學(xué)生會覺得應(yīng)該是110厘米，如果給出11，則會一致認(rèn)為是11米。詢問選擇大樹110厘米的學(xué)生發(fā)現(xiàn)，其共性原因是覺得110厘米足夠高，應(yīng)該有大樹那么高。無法想象出110個(gè)1厘米疊加在一起有多高是問題的癥結(jié)所在，在這種情況下引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行單位換算，發(fā)現(xiàn)110厘米才1米多，這與大樹的高度不符，所以應(yīng)該是110分米。再如有學(xué)生填寫乒乓球桌高76分米，這名學(xué)生填寫時(shí)應(yīng)該只關(guān)注到選擇分米計(jì)量桌子的高度是合適的，并沒有想象76分米大約有多高，而換算后發(fā)現(xiàn)76分米有7米多，比教室還要高，明顯不合理。由此可見，當(dāng)計(jì)量單位前的數(shù)字比較大，想象許多個(gè)計(jì)量單位疊加在一起究竟有多大對學(xué)生來說比較困難，我們可以引導(dǎo)學(xué)生在選擇計(jì)量單位后進(jìn)行單位換算，讓數(shù)字變小，再評估所選擇的計(jì)量單位是否合理，在換算推理中使估量變得更有理有據(jù)。

(二)在測量計(jì)算中推算估量物體的大小

我們還要培養(yǎng)學(xué)生在估量時(shí)借助其他熟知量計(jì)算的意識。例如估量冰箱的體積，學(xué)生對度量空間的經(jīng)驗(yàn)不足，無法給出一個(gè)合理的估值，這時(shí)可以建議學(xué)生先對冰箱的長、寬、高進(jìn)行估量，如果長大約0.5米，寬大約0.5米，高度大約1.8米，則根據(jù)長方體體積計(jì)算公式可以算出這個(gè)冰箱的體積大約0.45立方米。再如估量學(xué)校的占地面積，由于學(xué)校占地面積過大不易估量，可以先引導(dǎo)學(xué)生把學(xué)校平面看作一個(gè)近似的長方形，再通過步測估出長方形的長與寬，步測后長大約150米，寬大約70米，由長方形的面積計(jì)算公式可以推算出學(xué)校面積大約10500平方米，約1公頃。由以上實(shí)例可知，若對體積、面積的直接估量有困難，可以先估量對應(yīng)邊或棱的長度，再運(yùn)用公式計(jì)算得出估量結(jié)果。抓住不同維度度量單位之間的聯(lián)系，靈活運(yùn)用測量方法和計(jì)算方法，可以讓估量變得更簡單。

“量感”既是對量的概念的感知、理解，也是對多種估量方法的熟練掌握，更是主動估量的清晰意識和用數(shù)學(xué)眼光看待客觀世界的理性精神。準(zhǔn)確認(rèn)識計(jì)量單位，全面儲備各類表象，靈活運(yùn)用換算計(jì)算方法，如此一步一個(gè)腳印，日積月累，良好的“量感”自然而然地涵養(yǎng)，并深入發(fā)展。