淺析微積分中求旋轉(zhuǎn)體體積的技巧

聞卉 鄭列

摘 要 本文針對微積分教學中求旋轉(zhuǎn)體體積時，涉及到旋轉(zhuǎn)軸的特點，給出了求旋轉(zhuǎn)體體積的積分技巧，并通過具體例題加以闡述。

關鍵詞 旋轉(zhuǎn)軸 體積 積分

中圖分類號：O172.2文獻標識碼：A

0引言

已知某一平面圖形繞著平面內(nèi)的某一直線（旋轉(zhuǎn)軸）旋轉(zhuǎn)一周所得的立體稱之為旋轉(zhuǎn)體，求旋轉(zhuǎn)體的體積是微積分教學內(nèi)容“定積分應用”章節(jié)的重點內(nèi)容，尤其是曲邊梯形繞軸或軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積的計算是經(jīng)管專業(yè)的學生必須掌握的知識，求這類旋轉(zhuǎn)體的體積采用的是微元法的思想，即通過“分割”的方法，將不規(guī)則的立體的體積用圓柱體近似替代，從而用定積分刻畫體積公式。該內(nèi)容比較抽象，對學生畫圖的要求也較高，這類題型是學生學習過程中普遍存在的難點.本文針對這一現(xiàn)象，通過具體例題加以說明，分析處理這類題目的技巧。

1基礎知識

（1）曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積。

（2）曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積。

2實例

下面針對具體例題闡述如何靈活的理解和掌握上述基礎知識及其應用。

例1：求由，=2所圍的平面圖形D繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。

說明：（1）先畫出平面圖形D，再利用對稱性畫出旋轉(zhuǎn)體;（2）寫體積公式即定積分：旋轉(zhuǎn)軸為軸，不妨在體積的計算公式中取為積分變量，由D被兩條鉛直線和夾住確定積分區(qū)間：積分下限和積分上限，在軸上任取一點（在積分區(qū)間內(nèi)），過該點作垂直于軸的平面去截旋轉(zhuǎn)體，所得的截面（圓面）的面積即為被積函數(shù)。

例2：求由，所圍的平面圖形D繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。

說明：（1）先畫出平面圖形D，再畫出D關于直線=1的對稱圖形，再利用對稱性畫出旋轉(zhuǎn)體;（2）寫體積公式即定積分：旋轉(zhuǎn)軸為（平行于軸），故在體積的計算公式中仍取為積分變量，由D被兩條鉛直線和夾住確定積分區(qū)間：積分下限和積分上限，在旋轉(zhuǎn)軸上任取一點（在積分區(qū)間內(nèi)），過該點作垂直于軸的平面去截旋轉(zhuǎn)體，所得的截面（圓環(huán)面）的面積即為被積函數(shù)。

例3：求由，和所圍的平面圖形D繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。

說明：（1）先畫出平面圖形D，再畫出D關于軸的對稱圖形，再利用對稱性畫出旋轉(zhuǎn)體;（2）寫體積公式即定積分：旋轉(zhuǎn)軸為軸，故在體積的計算公式中取為積分變量，由D被兩條水平線和夾住確定積分區(qū)間：積分下限和積分上限，在軸上任取一點（在積分區(qū)間內(nèi)），過該點作垂直于軸的平面去截旋轉(zhuǎn)體，所得的截面（圓環(huán)面）的面積即為被積函數(shù)。

3結語

本文針對學生學習過程中普遍存在的難點，給出了平面圖形分別繞軸（或平行于軸）和繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積的解題技巧，寫體積公式的技巧關鍵在于：首先由旋轉(zhuǎn)軸確定積分變量，然后由平面圖形的特點（被鉛直線或水平線夾?。┐_定積分變量的積分限，最后根據(jù)截面的面積寫被積函數(shù)。

基金項目：課題來源：湖北省高校人文社會科學重點研究基地項目，編號：DSS20170304。

參考文獻

[1] 蔡光興，李德宜.微積分（第二版）[M].北京：科學出版社，2011.

[2] 蔡振鋒，常濤.微積分習題集（第二版）[M].長沙：國防科技大學出版社，2016.

[3] 張建.旋轉(zhuǎn)體體積計算中的微元法思想應用[J].大學數(shù)學，2017，33（04）： 104-110.