一道向量題的多角度探析

江蘇省如皋中學(xué) (745099) 王 濤

在教學(xué)過(guò)程中，對(duì)于一些典型問(wèn)題，尤其是高考真題，如果我們能夠從不同角度思考，尋求不同的解法，以一題多解的方式尋求知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)體系，加深對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，定會(huì)拓寬解題視野，發(fā)散解題思維，提升學(xué)習(xí)興趣，提高解題能力.本文是筆者對(duì)一道向量難題的研究，現(xiàn)與讀者分享交流.

1 試題呈現(xiàn)與分析

分析：該題形式上考查向量模和的最大值，考慮向量具有代數(shù)與幾何的雙重屬性，我們將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題處理，主要考查分析、解決向量問(wèn)題的能力，強(qiáng)化對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、消元與不等式求最值等數(shù)學(xué)思想方法的考查，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).試題結(jié)構(gòu)雖簡(jiǎn)單、明了，但內(nèi)涵豐富，本文嘗試對(duì)該題從不同的角度予以思考，給出不同的解法.

2 解法探究

圖1

評(píng)注：除了對(duì)條件式換元，還可以從目標(biāo)式入手，對(duì)目標(biāo)式采用換元法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二元二次方程(3x2+y2=16 (x,y>0))條件下的二元函數(shù)(x+y)最值問(wèn)題 ，這里提供5種方法供讀者學(xué)習(xí).

角度4：借助坐標(biāo)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二元二次方程( 圓方程)條件下的二元函數(shù)最值問(wèn)題 .

3 反思總結(jié)

從不同的角度出發(fā)思考問(wèn)題，得到以上不同解法，思維方式的不同帶來(lái)解答形式的不同，給考生極大的思考與解答空間，在運(yùn)算量和解答時(shí)間上出現(xiàn)差別，區(qū)分出不同層次的考生，具有很好的信度與區(qū)分度.一題多解不僅增加了問(wèn)題涉及的知識(shí)廣度，而且以一帶多，可以減少考查同樣多知識(shí)的題量.在日常解題教學(xué)中，教師要善于通過(guò)解題發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)知識(shí)間的轉(zhuǎn)化與化歸，構(gòu)建知識(shí)間的網(wǎng)絡(luò)體系.這樣，學(xué)生在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)，掌握基本技能的同時(shí)，可以有效鍛煉思維的深刻性、廣闊性、靈活性和創(chuàng)新性，達(dá)到舉一反三、融會(huì)貫通的解題水平和能力，但在日常的學(xué)習(xí)中，要結(jié)合自身掌握程度和實(shí)際情況，選擇最佳方法，不要一味追求某一種解法或過(guò)分追求一題多解，而是學(xué)會(huì)從不同解法中汲取不同的數(shù)學(xué)思想，從而提高自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).