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      一道競賽不等式的再推廣

      2022-02-11 06:29:40陜西省西安市高陵一中710200
      關(guān)鍵詞:高陵下結(jié)論柯西

      陜西省西安市高陵一中 (710200) 胡 艷

      題目(2020泰國數(shù)學(xué)奧林匹克不等式)已知a,b,c∈R+,a+b+c=3,求證:

      文[1]對(1)的證明方法,變式及推廣做了探究,將(1)推廣為:

      本文擬從不等式(1)的結(jié)構(gòu)的變化出發(fā),對推廣作進一步的分析,為了表述的方便,由柯西不等式可得:

      不等式(3)結(jié)構(gòu)對稱,進一步,對其分母得到項添加系數(shù)并推廣至n個元素有:

      顯然,當(dāng)v=0時,推廣2即為推廣.若對推廣2中的參數(shù)賦值,可得許多不等式.例如令λ=1,μ=2,ν=0,n=3,S=3即為不等式(1).

      若對推廣2 的指數(shù)推廣,則又有:

      更一般的有如下結(jié)論:

      (j=1,2,3).

      顯然,推廣3是推廣4的特例,下面只給出推廣4的證明.

      若對上述推廣的不等式中的參數(shù)賦值,可得許多不等式.例如,在推廣4中,若令r=1,l=3,k=5λ=1,μ=2,ν=3,m=2,n=3,S=3就有:

      又如在推廣3中λ=2,μ=3,ν=4,n=3,k=4,m=2,S=3就有:

      再如,在推廣3中若令k=4,n=3,m=5,S=3就有:

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