運(yùn)用初等數(shù)學(xué)處理“彩虹圈”中的幾個物理問題

張 明

(江蘇省盱眙中學(xué) 江蘇 淮安 211700)

1 引言

在一次課外活動中，筆者所教的幾個中學(xué)生拿著“彩虹圈”向筆者問了幾個物理問題.“彩虹圈”是一種很流行的彈簧玩具，極其柔軟，通常由彈性好的彩色塑料制成，整體的橫截面有圓形、正方形、心形、五角形等等,簧絲截面為扁矩形.簧圈之間有一定的極小的預(yù)收縮力，不受外力時所有簧圈緊密排列在一起，因此不能壓縮，可以拉伸,可以彎曲.由于勁度系數(shù)很小，僅在自重的作用下就可以伸展為原長的十幾倍以上，它還可以自動翻滾、自動下樓梯等等，表現(xiàn)出許多奇妙的現(xiàn)象.若將處于水平地面的彩虹圈提起，讓它在自重的條件下完全伸展，如圖1所示，當(dāng)上端釋放時，彩虹圈的下落過程與一般物體不同.令人驚奇的是，彩虹圈的收縮過程如同坍塌的高樓，它的底端在空中懸停不動，而它的上端從上至下依次做多米諾骨牌式的收縮，收縮下落尚未達(dá)到的點(diǎn)的平衡和靜止?fàn)顟B(tài)保持不變，直至收縮到最低點(diǎn)，坍縮為一個緊密排列的整體后，才開始以一定的初速度整體向下做落體運(yùn)動[1，2].從彩虹圈釋放開始,底端一直保持懸停，時間持續(xù)到彩虹圈完全坍縮.

圖1 分析形變量

學(xué)生問的幾個物理問題，在文獻(xiàn)[1，2]中能找到部分答案，但該文獻(xiàn)的論述中涉及波動力學(xué)方程、非齊次微分方程等，中學(xué)生既無相關(guān)物理知識基礎(chǔ)，也不具備相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識和運(yùn)算能力，無法理解和接受，所以下面提出彩虹圈的簡化模型，嘗試運(yùn)用中學(xué)生能理解的初等數(shù)學(xué)知識，對模型進(jìn)行處理，解決彩虹圈中的幾個核心物理問題.

2 模型

彩虹圈是質(zhì)量為m，勻質(zhì)圓柱狀彈簧；緊密排列，預(yù)收縮力很小，忽略不計(jì)；遵循胡克定律；由于勁度系數(shù)κ極小，在自身重力作用下伸長量即可達(dá)原長的十幾倍以上，故原長忽略不計(jì).

3 幾個物理問題

若將彩虹圈按質(zhì)量等分為無窮多的n段，則每段質(zhì)量

由于整個彈簧相當(dāng)于n段小彈簧的串聯(lián)，故每小段彈簧勁度系數(shù)

κ′=nκ

將處于水平地面的彩虹圈緩慢提起，讓它在自重的條件下完全伸展，剛好離開地面.下面討論彩虹圈的伸長量、能量、坍縮和懸停時間、落地速度和能量損失.

3.1 形變量L

如圖2所示，從下至上,每段依次標(biāo)記為1，2，3,…，n,第i段的伸長量記為Δxi，則有

κ′Δxi=iΔmg

故

(1)

從第1到第i段總形變量

(2)

由于n趨于無窮大，當(dāng)i=n時，可得彈簧總形變量

(3)

3.2 彩虹圈中的能量E

方法一:能量之和

彩虹圈的彈性勢能和重力勢能分別用Eκ和Ep表示，以水平地面為重力勢能的零勢能面，則第i段重力勢能

ΔEpi=Δmgxi

將式(2)代入得

所以

利用數(shù)學(xué)公式

(4)

可得

當(dāng)i=n時，由于n趨于無窮大，略去小量，可得整個彈簧的重力勢能

將式(3)代入，得

(5)

第i段彈性勢能

將式(1)代入得

所以

由式(4)可得

當(dāng)i=n時，由于n趨于無窮大，同理略去小項(xiàng)，可得整個彈簧彈性勢能

將式(3)代入，得

(6)

最后將式(5)、(6)代入E=Eκ+Ep，得彈簧的總能量

方法二:功能原理

由功能原理知，從地面緩慢提起彩虹圈，拉力F做的功W轉(zhuǎn)化成了彩虹圈的彈性勢能和重力勢能.

當(dāng)提起第i段時

Fi=(i-1)Δmg

在提起第i段的過程中，F(xiàn)i向上移動的距離

Δx′i=xi-xi-1

利用式(2)可得

由于Δx′i極短，F(xiàn)i可看作是不變的，所以提起第i段拉力做功

提起從第1段到第i段拉力做的總功

當(dāng)i=n時，利用數(shù)學(xué)式(4)并略去小量，同理可得

將式(3)代入，得

(7)

3.3 質(zhì)心坍縮和懸停時間

由于彈簧上端釋放后，在整體落地前受到的外力只有重力，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動規(guī)律可知，質(zhì)心做自由落體運(yùn)動.質(zhì)心到達(dá)彈簧的底端時，剛好彈簧坍縮在一起，成為一個整體，然后以一定的速度整體向下做落體運(yùn)動.所以彩虹圈底端懸停的時間即坍縮時間,就是質(zhì)心做自由落體運(yùn)動的時間.

設(shè)彈簧的質(zhì)心距地面的高度為hc，則

將式(2)代入得

當(dāng)i=n時，由于n趨于無窮大，由式(4)略去小量和式(3)，同理可得

或利用式(5)，由

也可以得出

由此可以看出，彩虹圈的重心不在中心處，因?yàn)樘崞鸬牟屎缛ι鲜柘旅埽庇^上就可以看出重心在中間偏下的地方.質(zhì)心自由落體時間，即底端懸停時間

若將式(3)代入上式可得

(8)

式(8)揭示了一個有趣的結(jié)論：彩虹圈坍縮時間由自身的質(zhì)量和勁度系數(shù)決定，與重力加速度無關(guān)！也就是說，同樣一個彩虹圈，在地球、月球、火星等重力加速度不同的地方做如上實(shí)驗(yàn)，盡管彩虹圈伸長量、質(zhì)心高度不同，但懸停時間是一樣的.

3.4 落地速度及能量損失

彩虹圈釋放后，一邊收縮一邊下落，彈性勢能和重力勢能轉(zhuǎn)化為動能.由于質(zhì)心做自由落體運(yùn)動，彩虹圈坍縮至地面

將式(3)代入可得

落地時動能

由式(7)知，落地時的動能只有彩虹圈伸展時初始總能量的一半，即

損失的原因是彩虹圈從上至下坍縮，是完全非彈性碰撞過程，損失的另一半能量最終以熱的形式耗散掉了.

4 結(jié)束語

若考慮彩虹圈的原長，以及在下面懸掛一個重物，則上述方法依然有效，所得結(jié)果的形式不變，只是會多出含有原長和重物的項(xiàng)，參見文獻(xiàn)[1，2].忽略彩虹圈的原長是為了突出問題和方法的關(guān)鍵，使得運(yùn)算和結(jié)果簡潔易懂.