整體感受“一元一次方程”

文／王競進(jìn)

首先和同學(xué)們一起來看兩個(gè)問題：

問題1“雞兔同籠”問題是我國古代一道經(jīng)典的數(shù)學(xué)趣題，最初記載在約1500 年前的《孫子算經(jīng)》中。問題是這樣描述的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這句話的意思是：“若干只雞、兔在同一個(gè)籠子里，從上面數(shù)有三十五個(gè)頭，從下面數(shù)有九十四只腳。籠中各有幾只雞和兔？”

問題2一輛快車和一輛慢車同時(shí)從A地出發(fā)，沿同一公路向相同方向行駛，快車的行駛速度是70km/h，慢車的行駛速度是60km/h，快車比慢車早1h經(jīng)過B地，A、B兩地間的路程是多少？

對于問題1，大家并不陌生。在小學(xué)，我們用假設(shè)法進(jìn)行思考，先假設(shè)籠中的雞、兔都有兩只腳，由于“上有三十五頭”，所以籠中的雞、兔的腳應(yīng)該共有2×35=70（只），而實(shí)際上“下有九十四足”，少了94-70=24（只）。究其原因，是因?yàn)閷?shí)際上每只兔少算2 只腳，那么籠中兔的只數(shù)應(yīng)該是24÷2=12（只），雞的只數(shù)是35-12=23（只）。

到了初中，我們可以利用方程思想來解決此題。如果籠中兔的個(gè)數(shù)用x表示，那么籠中有（35-x）只雞，籠中兔共有4x只腳，雞共有2（35-x）只腳。根據(jù)問題中的相等關(guān)系式：籠中雞腳的個(gè)數(shù)+兔腳的個(gè)數(shù)=94，可以建立等式：4x+2（35-x）=94。

對于問題2，我們從問題中的數(shù)量關(guān)系知道：快車行駛到B地的時(shí)間比慢車行駛到B地的時(shí)間少1h。對于1km 的路程，快車比慢車少用，那么快車比慢車少用1h 所對應(yīng)的路程為。我們還可以從問題中的數(shù)量關(guān)系知道：快車每小時(shí)比慢車多走70-60=10（km），快車到達(dá)B 地時(shí)，快車比慢車多走60×1=60（km），那么快車行駛的時(shí)間就是60÷10=6（h），A、B兩地間的路程用算式表示為：60÷（70-60）×70=420（km）。

如果用方程思想，路程用xkm 表示，那么快車從A地到B地所用時(shí)間為：，慢車從A地到B地所用時(shí)間為。根據(jù)兩車所用時(shí)間的關(guān)系：慢車所用時(shí)間-快車所用時(shí)間=1，可以建立等式。

一、從生活實(shí)際問題的解決方法中整體感受“為什么學(xué)”

從上述兩個(gè)小學(xué)階段曾經(jīng)解決過的問題可以看出，用算術(shù)方法解應(yīng)用題是小學(xué)階段數(shù)學(xué)教材中的重要內(nèi)容，我們列出的算式只能含有問題中的已知數(shù)，而不能含有未知數(shù)。如果用本章所學(xué)的知識，用字母表示實(shí)際問題中的一些數(shù)量，再根據(jù)問題中的相等關(guān)系式，并用含有字母的代數(shù)式分別表示相等關(guān)系式中的各個(gè)量，即可建立相應(yīng)的等式，如上述問題中的，這就是方程。

我們從上面的過程可以看出，列方程也是依據(jù)問題中的相等關(guān)系，但它打破了小學(xué)算術(shù)方法列式時(shí)只能用已知數(shù)的限制，方程中可以含有相關(guān)的已知數(shù)和未知數(shù)。因此，一般來說，列方程比列算式有更多的優(yōu)越性，從算術(shù)方法到代數(shù)方法是數(shù)學(xué)的進(jìn)步。

二、從生活實(shí)際問題的解決過程中整體感悟“學(xué)什么”

我們在上面的問題中得到兩個(gè)等式：4x+，那么，其中的未知數(shù)x到底是多少呢？又該如何求得這個(gè)未知數(shù)呢？實(shí)際上，這就是我們本章將要學(xué)習(xí)的知識：方程、方程的解、解方程、一元一次方程等概念，等式的性質(zhì)，一元一次方程的解法以及如何用一元一次方程解決生活實(shí)際問題等。

三、從尋求生活實(shí)際問題的結(jié)論中明白“怎么學(xué)”

問題1 中，所得的等式是4x+2（35-x）=94。我們可以先應(yīng)用乘法分配律，將等式中的括號去掉，再應(yīng)用等式的性質(zhì)，求得未知數(shù)x的值，過程如下：

去括號，得4x+70-2x=94；移項(xiàng)，得4x-2x=94-70；合并同類項(xiàng)，得2x=24；化未知數(shù)的系數(shù)為1，得x=12。

去分母，得7x-6x=420；合并同類項(xiàng)，得x=420。

根據(jù)實(shí)際問題中的相等關(guān)系式，列出了一元一次方程，為了求出該方程中的未知數(shù)的值，我們一般會靈活應(yīng)用等式的性質(zhì)、乘法分配律，經(jīng)歷去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、未知數(shù)的系數(shù)化為1 等過程，把一個(gè)一元一次方程逐步轉(zhuǎn)化為形如“x=a”的形式。