基于稀疏矩陣的全聚焦陣列優(yōu)化算法

高鐵成，王 昊，李 聰，遠(yuǎn)桂民

（1．天津市光電檢測(cè)技術(shù)與系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300387；2．天津工業(yè)大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，天津 300387）

基于全矩陣數(shù)據(jù)采集（FMC）的全聚焦成像（TFM）相控陣超聲檢測(cè)技術(shù)具有成像分辨率高、對(duì)小缺陷靈敏度高的優(yōu)點(diǎn)[1]。該算法可以在相控陣進(jìn)行掃查時(shí)，依次激勵(lì)陣列內(nèi)的每一陣元發(fā)射聲波，每一次發(fā)射后所有陣元進(jìn)行接收，從而獲得檢測(cè)點(diǎn)的最大信息量，即相控陣可以利用每一發(fā)射-接收組合，根據(jù)給定的聚焦點(diǎn)，得到最佳的超聲檢測(cè)圖像。全聚焦成像技術(shù)極大地提高了相控陣掃查圖像的分辨率和可靠性。但是，全聚焦技術(shù)也存在著非常明顯的缺點(diǎn)，它的每一個(gè)采集周期都會(huì)產(chǎn)生N×N個(gè)A掃數(shù)據(jù)，不僅占用大量的內(nèi)存而且減緩了掃查速度，很難滿足工業(yè)領(lǐng)域中快速成像的需求[2]。為了避免產(chǎn)生冗余數(shù)據(jù)，人們提出了稀疏化陣列的方法，在不明顯損失圖像質(zhì)量的前提下，可以根據(jù)一定的原則選擇部分元素進(jìn)行有效的檢測(cè)和成像，減少掃查數(shù)據(jù)量，從而提高成像效率。

近年來(lái)，大量科學(xué)家與學(xué)者利用基礎(chǔ)研究算法對(duì)全聚焦稀疏陣列進(jìn)行設(shè)計(jì)，研究出一系列的優(yōu)化方法[3]。Yang等[4]利用最小冗余陣列和遺傳算法對(duì)超聲相控陣二維稀疏陣列進(jìn)行優(yōu)化，所得陣列具有更好的一致性和性能；Yamashita等[5]在高分辨率超聲測(cè)量應(yīng)用中通過(guò)多頻率激勵(lì)方式有效抑制了陣列柵瓣和旁瓣，同時(shí)增強(qiáng)了波束偏轉(zhuǎn)性能；Wilson等[6]提出了一種稀疏分布和周期分布相結(jié)合的混合波束形成方法，獲得了較好的分辨率和旁瓣水平；彭桃[7]采用稀疏陣列的方法在保證一定成像質(zhì)量的前提下顯著提高全聚焦成像效率，并利用遺傳算法優(yōu)化了稀疏陣列的成像性能。

本文運(yùn)用了2種稀疏算法對(duì)陣列進(jìn)行設(shè)計(jì)與優(yōu)化，分別為最小冗余度陣列和遺傳算法?；趯?duì)以上2種算法的研究，本文建立了一種全聚焦超聲成像陣列的優(yōu)化算法模型：首先，利用最小冗余陣列對(duì)相控陣列進(jìn)行稀疏設(shè)計(jì)，既保證觀測(cè)中不出現(xiàn)偽像又做到孔徑最大（空間分辨率最高）的陣元分布。然后，利用遺傳算法對(duì)其掃查圖像信噪比進(jìn)行優(yōu)化，得到滿足條件的最佳陣列。將最終優(yōu)化后的稀疏陣列與滿陣、最小冗余陣、遺傳算法優(yōu)化陣列的聲場(chǎng)進(jìn)行對(duì)比，并以此陣列為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)相控陣探頭，建立全聚焦無(wú)損檢測(cè)掃查環(huán)境。通過(guò)對(duì)連續(xù)的20個(gè)點(diǎn)缺陷進(jìn)行掃查測(cè)試，驗(yàn)證此方法的可行性和有效性。

1 應(yīng)用算法概述

1.1 最小冗余陣列

MRLA陣列的設(shè)計(jì)原則是使具有相同空域相關(guān)延遲的陣元傳感器對(duì)的數(shù)量盡可能少[8]。圖1為滿陣陣列分布及其空間采樣頻率示意圖。

圖1 滿陣陣列分布及其空間采樣頻率示意Fig.1 Distribution of full array and its spatial sampling frequency

圖1（a）為一個(gè)7陣元的線性陣列分布圖（黑色表示為此處有陣元），圖1（b）為該陣列的空間采樣頻率圖，在橫坐標(biāo)為1處，幅值為6，意思是在該陣列中，陣元間距為1的組合有6組；在橫坐標(biāo)為6處，幅值為1，意思是陣元間距為6的組合有1組。只有增大空間采樣頻率的長(zhǎng)度，使得每種間距（大于等于1）的組合數(shù)目都最接近1（不能小于1）時(shí)，該陣列才做到冗余度最小[9]。

圖2為最小冗余度陣列分布及其空間采樣頻率示意圖。

圖2 最小冗余度陣列分布及其空間采樣頻率示意Fig.2 Distribution of MRLA and its spatial sampling frequency

用歸一化的矢量uk來(lái)表示一個(gè)滿陣為M含有N個(gè)陣元的最小冗余線性陣列的陣元位置分布。圖2（a）中，黑色表示該位置有陣元，白色表示沒(méi)有陣元。此時(shí)，陣列可表示為{1，1，0，0，1，0，1}，或以陣列的第一個(gè)陣元作為參考點(diǎn)，令u1=0，可表示為{0，1，4，6}，即在陣列中0、1、4、6的位置分別有一個(gè)陣元，其他位置無(wú)陣元。此時(shí)，它的陣列孔徑長(zhǎng)度等于一個(gè)7陣元的均勻線性陣列，其空間采樣頻率如圖2（b）所示。

陣列的冗余度R為：在空間采樣頻率Z中，除去第一個(gè)元素外，其余大于1的元素中，超過(guò)1的數(shù)值之和。在此陣列中，除去4外，其他都是1，所以冗余度最終為0。對(duì)于一個(gè)最小冗余度陣列，空間采樣頻率Z中應(yīng)該沒(méi)有0值（沒(méi)有空洞），而且冗余度R應(yīng)小于等于冗余度的最大允許值B，即：

陣元間相關(guān)函數(shù)只與陣元間的位置差di，j=uj-ui（其中0≤i≤j≤M-1）有關(guān)，即陣元間的位置差di，j是大于等于0的自然數(shù)，此時(shí)所有陣元位置差的集合為

基于上述假設(shè)，最小冗余陣列的設(shè)計(jì)問(wèn)題可以通過(guò)下面的約束優(yōu)化問(wèn)題來(lái)描述：

式中：R表示陣列的最小冗余度；L代表孔徑數(shù)。當(dāng)L較小時(shí)，可以通過(guò)窮舉法進(jìn)行計(jì)算，隨著L的變大，會(huì)極大地增加計(jì)算，可以通過(guò)編程方法減少計(jì)算量。

圖3所示為計(jì)算稀疏陣列及冗余度的程序流程圖。

圖3 最小冗余度陣列計(jì)算流程Fig.3 Calculation flow of MRLA

根據(jù)圖3流程可求得部分最小冗余度陣列，如表1所示。

表1 部分最小冗余陣列（MRLA）Tab.1 Partial MRLA

1.2 遺傳算法

在稀疏相控陣列的問(wèn)題求解中，可以將滿足一定要求的不同陣列看作自然界中的一個(gè)種群[10]，其中的每一個(gè)特定陣列看作一個(gè)個(gè)體，在迭代前我們需要明確一些要素[11]。

（1）個(gè)體適應(yīng)度評(píng)價(jià)：個(gè)體適應(yīng)度一般采用比例選擇的方式計(jì)算迭代過(guò)程中保留下來(lái)的個(gè)體數(shù)目，因此，為了合理確定每個(gè)個(gè)體的保留幾率，一般需要保證個(gè)體的適應(yīng)度值為非負(fù)數(shù)[12]。

一般地，通過(guò)以下2種情況來(lái)確定個(gè)體適應(yīng)度函數(shù)，能夠保證函數(shù)取值不為負(fù)數(shù)[13]。

首先，如果最優(yōu)解問(wèn)題為最小化的情況時(shí)，可以通過(guò)以下方式來(lái)轉(zhuǎn)換：

Cmin為一個(gè)較小的調(diào)整參數(shù)，通?？筛鶕?jù)優(yōu)化問(wèn)題人為設(shè)置或設(shè)置為迭代過(guò)程中目標(biāo)函數(shù)出現(xiàn)的最小的值[14]。

其次，如果最優(yōu)解問(wèn)題為最大化的情況時(shí)，可以通過(guò)以下方式來(lái)轉(zhuǎn)換：

式中：Cmax為一個(gè)較小的調(diào)整參數(shù)，通常可根據(jù)優(yōu)化問(wèn)題人為設(shè)置或設(shè)置為迭代過(guò)程中目標(biāo)函數(shù)出現(xiàn)的最小的值[15]。

算法的適應(yīng)度函數(shù)需要計(jì)算每個(gè)陣列的峰值旁瓣水平[16]。將陣元當(dāng)作各向同性的點(diǎn)源，則具有N個(gè)陣元的稀疏陣列的波束E（u）可以表示為：

式中：dn和In分別表示陣元的坐標(biāo)和激勵(lì)振幅；u=cos（θ）；θ為波束的偏轉(zhuǎn)角度。本文中所設(shè)計(jì)的每個(gè)陣元幅度均相等，即In=1，同時(shí)d1=0，dN=L，因此公式（8）可以簡(jiǎn)化為：

算法優(yōu)化的目標(biāo)為最小化稀疏陣列的峰值旁瓣水平[17]，因此，根據(jù)陣列峰值旁瓣的含義，遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù)可以定義為：

式中：FFmax為波束主瓣的峰值。為了得到具有最小峰值旁瓣水平的稀疏陣列，定義目標(biāo)函數(shù)為：

（2）基本遺傳算法的優(yōu)化參數(shù)。通常，需要根據(jù)具體的優(yōu)化問(wèn)題預(yù)先設(shè)置種群規(guī)模、迭代步數(shù)、交叉概率和變異概率這4個(gè)優(yōu)化參數(shù)[18]：M為種群規(guī)模，表示參與種群進(jìn)化的個(gè)體數(shù)量，取值范圍20～100；T為迭代步數(shù)，表示算法迭代的最大次數(shù)，取值范圍100～500；Pc為交叉概率，取值范圍0.4～0.99；Pm為變異概率，取值范圍0.000 1～0.100 0。

4個(gè)參數(shù)之間相互制約，共同影響著遺傳算法的搜索性能[19]和運(yùn)算結(jié)果，因此在實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題中，需要結(jié)合最優(yōu)解問(wèn)題[20]的特點(diǎn)和具體要求，通過(guò)不斷嘗試，綜合考慮各項(xiàng)參數(shù)的設(shè)置。遺傳算法運(yùn)算示意圖如圖4所示。

圖4 遺傳算法運(yùn)算過(guò)程示意圖Fig.4 Operation process of genetic algorithm

2 算法綜合

2.1 單算法波束圖仿真

最小冗余度陣列實(shí)質(zhì)上是在陣元數(shù)目一定的情況下，既保證獲取信息量的冗余值最小又做到孔徑最大（空間分辨率最高）的陣元分布。根據(jù)上述流程求得滿陣數(shù)7稀疏陣元數(shù)4的最小冗余度陣列為{1，1，0，0，1，0，1}，其聲場(chǎng)波束圖與滿陣進(jìn)行對(duì)比如圖5所示。

圖5 最小冗余度陣列波束圖Fig.5 MRLA beam pattern

由圖5可知，稀疏后的陣列因?yàn)殛囋g距增大，主瓣寬度隨之變窄，提高了橫向分辨率。但是稀疏陣列減少了陣元數(shù)目，旁瓣增大，有可能出現(xiàn)圖像模糊、偽像等現(xiàn)象。

為了驗(yàn)證遺傳算法對(duì)稀疏陣列求解的優(yōu)化性能，必須從可能的大量陣列中選擇最好或者較好的結(jié)果。圖6為3組不同稀疏陣列的優(yōu)化仿真結(jié)果。

從圖6中可以看出，采用論文中介紹的遺傳優(yōu)化方法及相關(guān)參數(shù)，在對(duì)7選4、27選6以及32選20這3種稀疏陣列的優(yōu)化中，均能夠較快地獲得最優(yōu)的陣列分布，通過(guò)對(duì)優(yōu)化陣列進(jìn)行波束圖仿真，優(yōu)化后的陣列波束具有良好的旁瓣特性。

圖6 遺傳算法優(yōu)化陣列仿真結(jié)果Fig.6 Simulation results of optimization of array by GA

2.2 算法綜合仿真

基于上述2種稀疏陣列算法，若單獨(dú)使用最小冗余陣列，得到的稀疏陣列則可以獲取冗余度信息最小情況下的最大信息量，但是只是在對(duì)陣列進(jìn)行分析的層面，這會(huì)導(dǎo)致稀疏后的陣列超聲旁瓣過(guò)大，圖像模糊，甚至容易出現(xiàn)偽像；若單獨(dú)使用遺傳算法稀疏陣列，則可以得到要求下的最優(yōu)陣列，具有良好的旁瓣特性，但是沒(méi)有考慮空間采樣頻率，得到的圖像容易出現(xiàn)遺漏信息。本文將2種算法進(jìn)行綜合使用，利用最小冗余度陣列對(duì)陣列進(jìn)行稀疏設(shè)計(jì)，利用遺傳算法對(duì)其掃查圖像信噪比進(jìn)行優(yōu)化，這樣得到的圖像既可獲得最小冗余下的最大信息量又具有良好的旁瓣特性，同時(shí)陣列稀疏化，可以極大地提高全聚焦掃查速率，如圖7所示。

圖7 陣列優(yōu)化對(duì)比Fig.7 Comparison chart of array optimization

以37陣元滿陣基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)16有效陣元地稀疏陣列問(wèn)題為例，參考表1中第6行陣列（11010010000 00100000010000001000100011），首先利用最小冗余度陣列確定16個(gè)陣元中的10個(gè)，此時(shí)稀疏陣列優(yōu)化問(wèn)題變成在27個(gè)位置中放置其余地6個(gè)陣元。在27選6的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，利用遺傳算法進(jìn)行求解，程序求得陣列為1101011001010100101010001001000100011。圖7（a）所示，MRLA標(biāo)識(shí)圖線為最小冗余度陣列聲壓波束圖，此時(shí)最高旁瓣為-5.856 8 dB。圖7（b）為遺傳算法優(yōu)化后的陣列，此時(shí)最高旁瓣為-10.759 6 dB，明顯優(yōu)于最小冗余陣列。

2.3 算法對(duì)比

粒子群算法（PSO）同樣是一種仿生全局優(yōu)化算法，主要模擬鳥(niǎo)類覓食、人類社會(huì)行為而提出，該算法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，在解決非線性問(wèn)題中有著較好的表現(xiàn)。將37選16優(yōu)化前的陣列利用粒子算法進(jìn)行稀疏的陣列聲壓圖如圖8所示。

圖8 PSO優(yōu)化陣列波束圖Fig.8 Beam pattern of PSO optimized array

由圖8可知，稀疏陣列的最高旁瓣-10.429 2 dB，優(yōu)化效果略差于GA算法。而且PSO算法有著收斂過(guò)快、易收斂于局部極值的特性，本文所得到的稀疏陣列最后需要用于全聚焦掃查，算法應(yīng)該具有可靠性，PSO算法未經(jīng)改進(jìn)的情況下不適宜用于多陣列的稀疏情況。本文所設(shè)計(jì)的稀疏優(yōu)化算法可以完全避免出現(xiàn)只優(yōu)化為局部極值的情況。

3 掃查試驗(yàn)測(cè)試

為了驗(yàn)證稀疏陣列算法對(duì)于改善全聚焦成像效率的有效性，本文建立了一個(gè)全聚焦相控陣超聲檢測(cè)環(huán)境，除探頭內(nèi)陣列稀疏化方式不同外，其余參數(shù)皆設(shè)置為固定值，如表2所示。

表2 超聲探頭參數(shù)表Tab.2 Ultrasonic probe parameters

取3組陣列進(jìn)行對(duì)比測(cè)試：A為16有效陣元最小冗余陣列（滿陣37陣元）；B為遺傳算法優(yōu)化后的稀疏陣列；C為37陣元滿陣陣列。掃查目標(biāo)為連續(xù)的20個(gè)點(diǎn)缺陷，測(cè)試結(jié)果如圖9所示。

圖9 點(diǎn)缺陷掃查圖Fig.9 Scanning chart of point defects

從圖9中看出，滿陣陣列C圖像清晰，缺陷位置、狀態(tài)明顯可辨，其余部分的噪聲情況也有很好的水平，最小冗余陣列A盡管仍可以較清晰地分辨出缺陷的個(gè)數(shù)和位置，但是圖像中存在明顯的偽影，形態(tài)模糊，而通過(guò)遺傳算法優(yōu)化后的稀疏陣列B掃查的圖像有較為明顯的優(yōu)化，檢測(cè)圖像的信噪比有明顯的提高，符合上述分析，最小冗余陣列可以捕獲到最小冗余信息下的最大信息量，但是旁瓣增高，有可能出現(xiàn)圖像模糊、偽影等現(xiàn)象，而優(yōu)化后的圖像有良好的旁瓣特性，雖然沒(méi)有滿陣陣列的圖像清晰，但是在不產(chǎn)生噪聲偽影的情況下可以極大地提高掃查效率。

4 陣列優(yōu)化分析

對(duì)一個(gè)全聚焦陣列最為直觀的評(píng)價(jià)參數(shù)即為其掃查效率，不同稀疏度的陣列對(duì)掃查效率有著決定性的影響，陣列稀疏化越大，相比于滿陣的掃查越快，但是圖像質(zhì)量也會(huì)明顯降低。保持除陣列稀疏率之外的其他參數(shù)不變，不考慮圖像中缺陷點(diǎn)的成像質(zhì)量，按照上述掃查過(guò)程記錄各個(gè)陣列的時(shí)間，以滿陣為基準(zhǔn)的百分比統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖10所示。

圖10 掃查效率Fig.10 Scanning efficiency

由圖10可知，由于陣列中陣元數(shù)目的減少使得計(jì)算數(shù)據(jù)量大幅度降低，很大程度上提高了掃查效率，全聚焦實(shí)時(shí)掃查得以實(shí)現(xiàn)，稀疏率為0.27的陣列較滿陣成像效率提高了58.3%，說(shuō)明了在全聚焦成像中采用陣列稀疏化方法的有效性。

針對(duì)陣列評(píng)價(jià)本文引入一個(gè)參數(shù)API，它是表征陣列波束點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的空間大小的一個(gè)無(wú)量綱值。API的大小定義為：點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)中幅度高于最高賦值的-6 dB的區(qū)域面積A-6dB，并以波長(zhǎng)的平方進(jìn)行歸一化。API數(shù)值越小，表明檢測(cè)分辨率越高。表3列出了陣列API值。

表3 陣列API值Tab.3 API value of array

由表3可見(jiàn)，隨著對(duì)陣列進(jìn)行稀疏化處理，陣列API值也會(huì)相應(yīng)地小幅度增大。API的小幅度增大在一定范圍內(nèi)不會(huì)對(duì)掃查成像造成影響。但是，當(dāng)稀疏率低于0.27時(shí)，API會(huì)急劇增大，掃查分辨率會(huì)有極大程度的降低。

5 結(jié)論

本文將陣列稀疏化方法應(yīng)用于全聚焦成像技術(shù)中，研究了全聚焦超聲相控陣列的優(yōu)化問(wèn)題。傳統(tǒng)的FMC技術(shù)需要采集所有的A掃信號(hào)，因此它的圖像中包含了陣列所能檢測(cè)的最大信息量，會(huì)極大程度地減緩掃查速度。本文提出了一種稀疏矩陣全聚焦超聲成像算法模型，利用最小冗余陣列對(duì)相控陣列進(jìn)行稀疏設(shè)計(jì)，利用遺傳算法對(duì)其掃查圖像信噪比進(jìn)行優(yōu)化。通過(guò)對(duì)比波束圖和采用稀疏陣列對(duì)單點(diǎn)缺陷進(jìn)行掃查成像，證明37稀疏16陣列利用此算法稀疏后最高旁瓣有4.902 8 dB的優(yōu)化；對(duì)于多陣列的稀疏優(yōu)化，GA算法比PSO算法更具有可靠性；稀疏率為0.27的陣列相比于滿陣其成像效率有58.3%的提高，且API值為0.539 7，不會(huì)對(duì)缺陷成像造成較大影響。