應(yīng)用留數(shù)定理求解幾道《美國數(shù)學(xué)月刊》的反常積分問題

范銘燦

（惠州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 惠州 516007）

柯西留數(shù)定理把計(jì)算周線積分的整體問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算各個(gè)孤立奇點(diǎn)處留數(shù)的局部問題。 基于該定理可以解決較復(fù)雜的一些反常積分，其技巧在于將其化歸為周線積分。 經(jīng)典的復(fù)變函數(shù)教材中，常見的反常積分類型包括有理三角函數(shù)型有 理 分 式 型或者多值函數(shù)型等[1-2]。然而許多反常積分并不總是以這些形式出現(xiàn)，例如《美國數(shù)學(xué)月刊》2021 年第8 期刊登的意大利R.auraso 提出的問題12274[3]、2021 年第9 期刊登的意大利P.Perfetti 提出的問題12281[4]、 2022 年第4 期刊登的沙特阿拉伯S.Stewart 提出的問題12317[5]、022 年第6 期刊登的愛爾蘭F.Holland 提出的問題2332[6]、2022 年第7 期刊登的中國I.Mezo 提出的問題12338[7]尚未有正式參考解答。本文將結(jié)合換元法、分部積分法及含參量積分求導(dǎo)法將這幾道復(fù)雜反常積分轉(zhuǎn)化為常見類型，并應(yīng)用留數(shù)定理給出解答，同時(shí)總結(jié)這類反常積分的計(jì)算技巧。將用到的引理陳述如下：

引理1（小圓弧引理[1]）設(shè)函數(shù) ( )f z 沿圓弧Cr: z - a = r eiθ（θ1≤ θ ≤ θ2,r 充分?。┥线B續(xù)，且z - a ) · f ( z )= λ于 Cr上一致成立，則

引理2（大圓弧引理[1]）設(shè)函數(shù) ( )f z 沿圓弧CR: z = R eiθ（ θ1≤ θ ≤ θ2,R 充分大）上連續(xù)，且· f ( z )= λ于 CR上一致成立，則

引理3（若爾當(dāng)引理[1]）設(shè)函數(shù) ( )f z 沿圓弧CR: z = R eiθ（ θ1≤ θ ≤ θ2,R 充分大）上連續(xù)，且f ( z ) = 0于 CR上一致成立，則

問題12317[5]： 證明

與Tauraso[8]利用歐拉余元公式的解答方法不同，我們應(yīng)用留數(shù)定理給出一種新的做法。

為了簡化計(jì)算，應(yīng)用分部積分法，得到

圖1

注意到 1 + e(2k+1)πi= 0，k 為任意整數(shù)，得知函數(shù)f ( z )在閉曲線C 內(nèi)具有一階極點(diǎn) zk= (2 k+ 1)πi ，k = 0,1,2, … ,N 。 應(yīng)用留數(shù)定理，得到

令δ → 0+,N →+∞, 得到

注1：這里利用換元法將瑕積分化為無窮積分（見公式(1)），方便構(gòu)造閉曲線積分路徑。積分的被積函數(shù)分母為ex的多項(xiàng)式與x 的多項(xiàng)式的乘積，易于求解孤立奇點(diǎn)。但是注意到式(1)中被積函數(shù)具有三階極點(diǎn)，如果直接應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算會(huì)比較復(fù)雜。這里利用分部積分法，降低了極點(diǎn)的階數(shù)，從而使得函數(shù)的留數(shù)計(jì)算較為簡便。另外，分部積分得到的新積分形式依然滿足小圓弧和大圓弧引理，從而可以應(yīng)用留數(shù)定理。

類似問題12317 的證明方法，可以證明問題12332。

問題12332[6]： 證明

證明 利用換元法，令x t=- ，則有

進(jìn)一步利用換元法，令2t w= ，則有

類似問題12317 的證明過程，考慮函數(shù)

依然沿圖1 所示的閉曲線路徑C 的積分，得到

令δ → 0+,N →+∞, 可得

問題12281[4]： 計(jì)算積分

與Tauraso[8]利用Laplace 變換的解答方法不同，我們應(yīng)用留數(shù)定理給出一種新的做法。

解 利用分部積分法化簡原積分I ，得到

令 f ( z ) = g ( z ) · ln z ，其中

是偶函數(shù)。考慮函數(shù) (f)z 沿圖2 所示的閉曲線路徑C 的積分。 利用洛必達(dá)法則， 易求得故由小圓弧和大圓弧引理，得到

圖2

注意到 e2kπi- 1 = 0，k 為任意整數(shù)，得知函數(shù)f ( z )在閉曲線C 內(nèi)具有一階極點(diǎn) zk= kπi ，k = 1,2, … ,N 。由留數(shù)定理，得到

進(jìn)一步令 x = weπi，得到

于是，

令 δ →0+,N →+∞,并對比公式(2)兩端的實(shí)部部分，得到

由于

下面將證明當(dāng)n →∞時(shí)

注意到

可得到

另外，由

故積分

注3：使用分部積分法能夠?qū)⒃e分轉(zhuǎn)化為類似多值函數(shù)型積分的形式。另外由于g ( z )為偶函數(shù)，該問題也可以考慮按照如圖3 所示的閉曲線積分路徑計(jì)算周線積分但是這樣會(huì)使得留數(shù)的計(jì)算更麻煩。故選取恰當(dāng)?shù)闹芫€積分形式非常必要。

問題12274[3]： 計(jì)算積分

與Tauraso[8]利用無窮級數(shù)的解答方法不同，我們結(jié)合換元法和留數(shù)定理給出一種較為簡便的做法。

圖3

顯然 ( )f z 在閉曲線C 內(nèi)只有一階極點(diǎn)1iz =和2iz =- 。由留數(shù)定理，得到

進(jìn)一步令 w = xe2πi得到

令 δ →0+,N →+∞,并對比式(4)的兩端，得

由留數(shù)定理，得到

故積分

注4：此題也有其他簡便的做法，例如可利用換元法, 令ln w x= ,使得公式(3)中被積函數(shù)的分母轉(zhuǎn)化為ex的多項(xiàng)式與x 的多項(xiàng)式的乘積形式（可參考問題12317 的證明步驟）。而這里給出的做法是為了說明當(dāng)反常積分為多值函數(shù)型積分形式且 g ( z )是偶函數(shù)時(shí)，考慮沿圖3的周線積分將問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算積分以此遞推，最后轉(zhuǎn)化為計(jì)算積分從而使得留數(shù)的求解較為容易。

問題12338[7]： 證明

證明 定義含參量反常積分

由于

圖4

令 δ →0+,R →+∞,并應(yīng)用小圓弧引理和留數(shù)定理，得到

由于

得到

對比公式(5)兩端的虛部，得到

于是，

注5：這里利用含參量積分求導(dǎo)的方法，目的是將原積分轉(zhuǎn)化為類似有理分式型的積分形式，從而方便使用若爾當(dāng)引理和大小圓弧引理。之所以考慮沿虛軸的積分路徑，是因?yàn)槠湎鄬τ谪?fù)實(shí)軸的積分路徑，其對應(yīng)的積分部分更容易計(jì)算虛部。