淺析構(gòu)造法在小學(xué)數(shù)學(xué)中的教學(xué)

楊雯婷

（江蘇省昆山市周市中心小學(xué)校，江蘇昆山 215314）

一、關(guān)于構(gòu)造法

構(gòu)造法是一種在數(shù)學(xué)中十分重要的教學(xué)方法。無(wú)論是在小學(xué)、初中、高中，甚至是大學(xué)，構(gòu)造法在數(shù)學(xué)教學(xué)思維方式中都占據(jù)一定的地位。古今中外，無(wú)數(shù)位數(shù)學(xué)家運(yùn)用了構(gòu)造法發(fā)現(xiàn)并證明了偉大的定理。

運(yùn)用構(gòu)造法教學(xué)并沒(méi)有固定的套路與方式，若是一味地利用一種方法套用教學(xué)，那恐怕會(huì)一事無(wú)成。因此，教師們學(xué)會(huì)了運(yùn)用構(gòu)造法教學(xué)，并不代表這樣便學(xué)會(huì)了所有數(shù)學(xué)問(wèn)題的教學(xué)，若是這樣認(rèn)為，那恐怕是片面的、決斷的。構(gòu)造法不是教學(xué)的萬(wàn)金油，并不是任何的問(wèn)題都能適用。教師教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)構(gòu)造法的目的，在于教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)構(gòu)造法的精髓，那便是讓學(xué)生學(xué)會(huì)敏捷、靈活地運(yùn)用構(gòu)造法解題時(shí)的創(chuàng)造性思維。所謂創(chuàng)造性思維，其實(shí)就是指運(yùn)用新穎、獨(dú)特的方式來(lái)解決問(wèn)題的思維。運(yùn)用構(gòu)造法教學(xué)最大的特點(diǎn)便是賦予創(chuàng)造性地利用已知的條件、定理或公理來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。

構(gòu)造法的歷史非常悠久，可謂是一種古老的科學(xué)方法，因此用構(gòu)造法教學(xué)的淵源可是追溯到很久很久以前。古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得是個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家，他是構(gòu)造法的創(chuàng)始人。他運(yùn)用了構(gòu)造法成功地證明了“素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的”這一定理，這無(wú)疑是偉大的。另外，西方數(shù)學(xué)家布勞威也運(yùn)用了構(gòu)造法對(duì)代數(shù)基本定理展開(kāi)了更加詳細(xì)的說(shuō)法，雖然運(yùn)用構(gòu)造的方法比常規(guī)方法的過(guò)程多一些，但是其中涉及的內(nèi)容與證明方法卻比常規(guī)的方法多得多，也深得多。

構(gòu)造法不僅在西方被時(shí)常涉及，在古代中國(guó)，構(gòu)造法也常被涉及。如三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家趙爽，在他著作的《周髀算經(jīng)》中運(yùn)用了構(gòu)造的方法，并詳細(xì)地介紹了中國(guó)古代勾股算術(shù)的深?yuàn)W高深的原理，并被記錄于《九章算術(shù)》中，這為勾股算術(shù)的運(yùn)用與勾股定理的證明提供了十分重要的依據(jù)，并且也促進(jìn)了中國(guó)古代數(shù)學(xué)史的發(fā)展與壯大。

既然構(gòu)造法并沒(méi)有它的固定套路與公式，教師便可以從一些具體的實(shí)例中分析構(gòu)造法。我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家陳省身也曾經(jīng)指出：“一個(gè)數(shù)學(xué)家的優(yōu)秀與蹩腳，在于他善于利用具體、易懂的實(shí)例并非那些抽象、難懂的理論?！?/p>

二、數(shù)字朋友，激發(fā)興趣

運(yùn)用構(gòu)造法教學(xué)有太多的好處。教師在學(xué)習(xí)使用構(gòu)造法教學(xué)的過(guò)程中，第一方面，教師可以達(dá)到順利教學(xué)的目的。第二方面，教師還可以在教學(xué)過(guò)程中不斷強(qiáng)化學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，將所學(xué)知識(shí)結(jié)合起來(lái)，使學(xué)生學(xué)到的知識(shí)更加全面、牢固。第三方面，學(xué)會(huì)運(yùn)用構(gòu)造法教學(xué)，還能激發(fā)學(xué)生的求異思維，讓學(xué)生在解題的過(guò)程中，學(xué)會(huì)選擇最佳的解題方法，從而使得思維方式和解題能力得到訓(xùn)練。

20以內(nèi)進(jìn)位加法和退位減法是小學(xué)數(shù)學(xué)一年級(jí)上冊(cè)的知識(shí)，也就是說(shuō)，學(xué)生剛進(jìn)一年級(jí)就接觸到了構(gòu)造法的基本思想與基本內(nèi)容。

在學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容時(shí)，教師為了讓學(xué)生更好地明白與理解20以內(nèi)進(jìn)位加法，運(yùn)用了“湊十法”。所謂“湊十法”，就是先構(gòu)造出一個(gè)十，再計(jì)算余下的算式，顯然學(xué)生對(duì)于十加幾的運(yùn)算比較熟練。

例1：9+4=

分析：這是20以內(nèi)進(jìn)位加法的第一課時(shí)九加幾的學(xué)習(xí)，運(yùn)用了“湊十法”的構(gòu)造思想與方法。關(guān)于“湊十法”，它的思考過(guò)程一般可以表達(dá)為：因?yàn)?和1構(gòu)造成10，所以要把4分成1和3，先算9+1=10，再算10+3=13，于是9+4=13。

解：9+1=10，10+3=13

例2：15-6=

分析：這是20以內(nèi)退位減法十幾減幾的學(xué)習(xí)，可以運(yùn)用“平十法”的數(shù)學(xué)思想，即上個(gè)位不夠減時(shí)，先減去一部分構(gòu)造出10，再用10減去剩下的一部分?jǐn)?shù)。15-6=的思考過(guò)程可以理解為：先用15-5構(gòu)造出一個(gè)10，所以將6分成5和1，先算15-5=10，再算10-1=9，于是15-6=9。

在六年級(jí)加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算中也運(yùn)用到了構(gòu)造法。

例3：805+798+801+802+797+794=

分析：這是6個(gè)三位數(shù)相加，在教師進(jìn)行教學(xué)之始，學(xué)生多數(shù)是豎式計(jì)算，計(jì)算過(guò)程冗長(zhǎng)，并且容易出錯(cuò)。在學(xué)生計(jì)算出正確答案之后，啟發(fā)學(xué)生觀察數(shù)字特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)都與800相近，于是構(gòu)造出6個(gè)800相加，再進(jìn)行計(jì)算。

解：805+798+801+802+797+794=（800+5）+（800-2）+（800-1）+（800+2）+（800-3）+（800-6）=800×6+5-2-1+2-3-6=4797

構(gòu)造法是數(shù)學(xué)教學(xué)中比較常見(jiàn)的方法之一，但其實(shí)構(gòu)造法并沒(méi)有固定的公式與套路。在教學(xué)時(shí)，由于每個(gè)題目都有每個(gè)題目不同的題干和待解決的問(wèn)題，甚至還有其不同的研究?jī)?nèi)容和意義，所以教師在用構(gòu)造法教學(xué)的時(shí)候切記不可以生搬硬套，不能搞“一刀切”。但是，教師可以根據(jù)所給題目的題干與問(wèn)題，尋找出其一般的、典型的、本質(zhì)的特征，根據(jù)這些特征，依靠教師的大腦產(chǎn)生聯(lián)想與想象，構(gòu)造出一個(gè)與原問(wèn)題相關(guān)聯(lián)的問(wèn)題從而使原問(wèn)題得到解答。

三、數(shù)形結(jié)合，巧妙構(gòu)造

構(gòu)造法說(shuō)的是當(dāng)教師在教學(xué)生解決某些數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，沿著固定的路線按照定向的思維難以解決該問(wèn)題，應(yīng)牢牢利用題干條件和問(wèn)題的特征、性質(zhì)，從新的方面，新的角度，用新的觀點(diǎn)突破并去觀察、分析、理解目標(biāo)。緊緊抓住反映問(wèn)題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)部關(guān)聯(lián)點(diǎn)，運(yùn)用問(wèn)題的數(shù)字特征、外形特征、坐標(biāo)特征等，使用題干的已給條件作為原有的材料，運(yùn)用已知的、現(xiàn)有的知識(shí)，在思維、想象中構(gòu)造出滿足題干條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)目標(biāo)。從而使原問(wèn)題中蘊(yùn)涵的關(guān)系和性質(zhì)在新構(gòu)造出來(lái)的數(shù)學(xué)目標(biāo)中清晰、明白地顯現(xiàn)出來(lái)，并把該數(shù)學(xué)目標(biāo)作為踏板，更加方便、快捷地解決數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題的方法。

前蘇聯(lián)著名的數(shù)學(xué)家卡皮查曾經(jīng)指出：“數(shù)學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力最合適的學(xué)科”。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，構(gòu)造法便是這其中一種富于創(chuàng)造性的教學(xué)方法。1999年，中共中央和國(guó)務(wù)院頒布的《關(guān)于深化教育改革，全面推進(jìn)素質(zhì)教育的決定》中提出教育要“以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造精神和實(shí)踐能力為重點(diǎn)?！庇纱耍處熅透鼞?yīng)該注重培養(yǎng)創(chuàng)新能力，構(gòu)造法就顯得非常重要了。

四、圖形拼搭，引起靈感

有一句諺語(yǔ)：學(xué)會(huì)“走”才能“跑”。所以教師在學(xué)會(huì)應(yīng)用構(gòu)造法教學(xué)之前，首先應(yīng)該知道的就是構(gòu)造法的基本概念、定義與歷史發(fā)展情況，并且必須牢牢記在心中，打好基礎(chǔ)才是關(guān)鍵，這樣才能靈活運(yùn)用并且不會(huì)出現(xiàn)原則性的錯(cuò)誤。只有清楚地了解與明白構(gòu)造法的這些基本內(nèi)容，才能夠正確并且靈活地運(yùn)用構(gòu)造法來(lái)教學(xué)，甚至應(yīng)用構(gòu)造法熟練地解決實(shí)際問(wèn)題。接下來(lái)將介紹關(guān)于圖形構(gòu)造法的一些基本概念和歷史進(jìn)程。

例5：關(guān)于平行四邊形面積、三角形面積、梯形面積的計(jì)算是在五年級(jí)上冊(cè)中學(xué)習(xí)的，平行四邊形的推導(dǎo)方式是將平行四邊形延它的高剪下后平移構(gòu)造成一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是平行四邊形的底，長(zhǎng)方形的寬就是平行四邊形的高，長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬，在平移構(gòu)造的過(guò)程中面積不變，所以推導(dǎo)出平行四邊形的面積=底×高。

三角形面積的計(jì)算是在學(xué)習(xí)了平行四邊形面積的基礎(chǔ)上，再學(xué)習(xí)計(jì)算方法的。在教科書上，三角形的面積計(jì)算原理是用一個(gè)與該三角形不論形狀、大小都完全一模一樣的三角形構(gòu)造出一個(gè)平行四邊形，平行四邊形的面積計(jì)算公式是：平行四邊形的面積=底×高。因?yàn)槭怯蓛蓚€(gè)完全一模一樣的三角形構(gòu)造出來(lái)的平行四邊形，所以一個(gè)三角形的面積是平行四邊形面積的一半，一個(gè)三角形的面積=底×高÷2。于是，三角形面積的計(jì)算公式便推出來(lái)了。

用同樣的方法可以推導(dǎo)出梯形的面積公式，梯形的推導(dǎo)方式也是用兩個(gè)完全相同的梯形構(gòu)造出一個(gè)平行四邊形，這個(gè)平行四邊形的底就是梯形的上底加下底的和，平行四邊形的高就是梯形的高，一個(gè)梯形的面積就是這個(gè)平行四邊形面積的一半，所以，梯形的面積公式就是（上底＋下底）×高÷2。

例6：求下面圖形的面積

在五年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)的組合圖形面積這一課中，就運(yùn)用了構(gòu)造法的思想。可以將下面這個(gè)組合圖形填補(bǔ)一個(gè)長(zhǎng)3 m，寬2 m的長(zhǎng)方形，從而構(gòu)造成一個(gè)長(zhǎng)6 m，寬5 m的長(zhǎng)方形，便于理解和計(jì)算。啟發(fā)學(xué)生明確：要計(jì)算組合圖形的面積就等于大長(zhǎng)方形的面積減去小長(zhǎng)方形的面積，于是就有了5×6-2×3=24。

五、雞兔同籠，構(gòu)造假設(shè)

《孫子算經(jīng)》作為中國(guó)古代舉足輕重的數(shù)學(xué)著作，成書大約是在四、五世紀(jì)，也就是大約一千五百年前，作者生平和編寫年份不詳，流傳的《孫子算經(jīng)》共三卷，上卷敘述算籌記數(shù)的縱橫相間制度和籌算乘除法，書卷中舉例說(shuō)明了籌算分?jǐn)?shù)算法和籌算開(kāi)平方法。下卷第31題，可謂是后世“雞兔同籠”題的始祖，后來(lái)流傳到日本，變成“鶴龜算”。書中是這樣記載的。

例7：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？”這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94只腳。求籠中各有幾只雞和兔？此題被義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)選為補(bǔ)充教材，并且為部分五～六年級(jí)的課外習(xí)題所用，及義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)“應(yīng)用二元一次方程組——雞兔同籠”中也作重點(diǎn)教學(xué)。

此題可以根據(jù)學(xué)生不同的年齡特點(diǎn)用不同的方法解答。

1.擺一擺、畫一畫（二年級(jí)學(xué)生）

此題對(duì)二年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，因?yàn)橛袃蓚€(gè)未知數(shù)，解答起來(lái)很困難，所以可以采用畫圖的方法便于二年級(jí)學(xué)生理解。

第一步可以先畫35個(gè)頭，第二步為每個(gè)頭畫兩只腳，剩下的24只腳可以分給12個(gè)頭，每個(gè)頭可以畫兩只腳。由此可得4只腳的是兔子，2只腳的是雞，兔有12只，雞有35-12=23（只）。

2.構(gòu)造假設(shè)法（五～六年級(jí)學(xué)生）

解法一：構(gòu)造假設(shè)全部都是雞，一共有：35×2=70只腳，但實(shí)際上共有94只腳，少算了94-70=24只腳，因?yàn)槊恐煌蒙偎懔?只腳。因此，一共有多少只兔呢？24÷2=12（只），則雞有35-12=23（只）。

解法二：構(gòu)造假設(shè)全部都是兔，一共有：35×4=140只腳，但實(shí)際上只有94只腳，多算了140-94=46只腳，因?yàn)槊恐浑u多算了2只腳。因此，一共有多少只雞呢？46÷2=23（只），則兔有35-23=12（只）。

解法三：金雞獨(dú)立：兔兩只后腳著地，前腳抬起；雞一只腳著地，一只腳抬起，則腳的數(shù)量是原來(lái)的一半94÷2=47（只），現(xiàn)在雞有一只腳，兔有兩只腳，籠子里只要有一只兔子，則腳數(shù)比頭數(shù)多1，那么腳數(shù)與頭數(shù)相差47-35=12（個(gè)），就是兔子的只數(shù)，則雞有35-12=23（只）。

解法四：砍腿法：先砍掉每只雞、兔的兩只腳，那么雞就沒(méi)有腳了，兔還有兩只腳，腳的總數(shù)就變成94-35×2=24（只）。這24只腳就是砍掉兔的兩只腳后兔子剩下的腳，兔的只數(shù)：24÷2=12（只），則雞有35-12=23（只）。

六、結(jié)束語(yǔ)

本文介紹了小學(xué)數(shù)學(xué)的幾個(gè)構(gòu)造法教學(xué)。毋庸置疑，用構(gòu)造法教學(xué)的優(yōu)勢(shì)盡顯無(wú)遺，但其實(shí)用構(gòu)造法教學(xué)并沒(méi)有什么套路可言，教師只能從中尋找并總結(jié)規(guī)律，運(yùn)用教師所掌握的知識(shí)和自身已具備的能力，先進(jìn)行觀察，再進(jìn)行細(xì)致分析。通過(guò)仔細(xì)地觀察和分析、去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的各個(gè)環(huán)節(jié)中的外在聯(lián)系和內(nèi)在聯(lián)系，從而為尋求解法創(chuàng)造條件。當(dāng)然教師在運(yùn)用構(gòu)造法解決問(wèn)題時(shí)，要明確的就是問(wèn)題的目的，需要構(gòu)造出什么條件，根據(jù)這些構(gòu)造的條件來(lái)設(shè)計(jì)出構(gòu)造的方案。構(gòu)造出來(lái)的形式、結(jié)構(gòu)和模型應(yīng)該要盡可能地直觀并且明了，以便于運(yùn)用所學(xué)過(guò)的知識(shí)、方法來(lái)解決問(wèn)題，盡教師所能使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

在教學(xué)過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用構(gòu)造法教學(xué)有利于開(kāi)拓學(xué)生的思維，提高學(xué)生的積極性，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，使學(xué)生的思維由單一轉(zhuǎn)化為多角度。構(gòu)造法不僅能開(kāi)拓學(xué)生的教學(xué)思路，而且能加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解。同時(shí)，構(gòu)造法的運(yùn)用不但能提高學(xué)生對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且能讓學(xué)生真正感受到數(shù)學(xué)的美，從而使學(xué)生愛(ài)上數(shù)學(xué)。最后還應(yīng)該指出，運(yùn)用構(gòu)造法并不是教學(xué)的唯一途徑，并且構(gòu)造法也不單單只限于本文提到的幾種，對(duì)于同一道題既能有幾種不同的構(gòu)造方法，也可以用其他的思維來(lái)求解。在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維和實(shí)踐能力，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)與實(shí)踐中切身體會(huì)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系和互相轉(zhuǎn)化，學(xué)以致用，能創(chuàng)造性地構(gòu)造出解決問(wèn)題的有利條件，從而巧妙地解決問(wèn)題，獲得學(xué)習(xí)上的成就感和成功的喜悅。