以培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)為目標的教學設計
——以三角函數(shù)知識教學為例

江蘇省海安中等專業(yè)學校 劉愛琴

數(shù)學教師在教學中應當注重培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)，不斷優(yōu)化教學設計，優(yōu)化教材的內容，設置有趣的教學情境，培養(yǎng)學生數(shù)學知識的實際應用能力，注重對知識點進行反思和總結，不斷提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。本文以三角函數(shù)一章的部分知識教學為例，闡述了以培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)為目標的教學設計方法內容，以供參考。

一、挖掘教材內容，培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)

數(shù)學教材的內容是很多專家和學者根據(jù)學生的身心特點精心設計的學習資料，教師應當充分挖掘教材的內容，讓學生充分了解和掌握數(shù)學教材中關于三角函數(shù)的概念和公式等知識，夯實基礎，為培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)奠定基礎。

例如，教師在開展“任意角的三角函數(shù)”教學時，應當立足于教材內容的基本公式和基礎理論知識，教師在進行教學設計時，應當先引導學生回顧初中銳角三角函數(shù)的定義和基本內容，為后續(xù)學習任意角的三角函數(shù)埋下伏筆。教師引導學生完成復習工作之后，給學生設置一些簡單的問題，例如：我們是否可以在直角三角形內繼續(xù)進行任意角三角函數(shù)的定義呢？通過拋出問題的形式來引導學生進行探索，通過平面直角坐標系來進行任意角三角函數(shù)定義的初步嘗試。如下圖，在平面直角坐標系中，如何定義任意角α 的三角函數(shù)呢？

教師可引導學生通過平面直角坐標系來將幾何問題轉換為代數(shù)知識，采用點的坐標的形式來表達定義式中的三個量，教師應注重將數(shù)形結合思想滲透到這個過程中，讓學生分組進行探討：“為什么要在直角坐標系中進行三角函數(shù)的定義分析？以點的坐標的形式來進行三角函數(shù)式的表達有什么好處？”為方便學生思考，教師可以設置幾個問題給學生討論，如：(1)弧度是怎么定義的？圓的半徑的大小會不會對弧度的定義產(chǎn)生影響？采用多大的圓來解釋定義更恰當呢？(2)以任意一個三角函數(shù)y=sinα 為例，該三角函數(shù)的函數(shù)值受哪些因素的影響？若角的終邊位置已被確定，我們是否還可以取終邊上的任意一點來進行三角函數(shù)的定義？如何去決定這個點能使定義式變得簡單？(3) 任意角的三角函數(shù)值與角終邊上點的位置有沒有關系？三角函數(shù)值的變化與誰有關？這樣讓學生在借助單位圓給任意角的三角函數(shù)下定義，教師根據(jù)學生的討論結果進行整理并給出定義內容。

在此基礎上教師讓學生根據(jù)定義分析，要求角α 的三角函數(shù)值實質上是在求什么的值？以此來引導學生體會用圓的坐標進行三角函數(shù)的定義有哪些微妙之處。學生便會明白，這種學習模式不僅是對三角函數(shù)定義式的簡化，還是對三角函數(shù)本質概念的突出顯示，教師可借助問題設定的形式來引導學生進行三角函數(shù)定義的轉化運用。以下題為例：已知角α 的終邊經(jīng)過點P(3，-4)，求角α 的正弦、余弦和正切值。在完成本題的基礎上，教師可以通過下列變式引導學生對任意角三角函數(shù)的概念作進一步的認識，變式:分別求角π/3 和π 的正弦、余弦和正切值。先讓學生從最簡單的問題入手，通過變式讓學生學習如何利用定義求不同情況下函數(shù)值，加深對定義的理解，加強定義應用中與幾何的聯(lián)系，體會數(shù)形結合的思想。為引導學生進一步理解任意角三角函數(shù)的概念，可以提問：你能否給出正余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域？函數(shù)三要素中最本質的則是對應法則和定義域，三角函數(shù)的對應法則已經(jīng)由定義式給出，所以要繼續(xù)研究其定義域。通過三角函數(shù)的定義來進行定義域的界定，既是對三角函數(shù)本質概念的完善，又是提升學生對數(shù)學概念的理解程度的有效途徑。

二、小組合作探究學習，培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)

數(shù)學學科在很多人看來是一個比較抽象的學科，學習起來不是很容易，學生在面對晦澀難懂的三角函數(shù)的公式和理論知識的時候常常會感覺到難以理解和掌握，容易產(chǎn)生厭學情緒，因此在課堂上他們經(jīng)常會思想跑偏或者打瞌睡，不認真聽老師講的重點知識，學習質量和效率比較低下，等到做練習題的時候又不會，如此便陷入了一個死循環(huán)。如果教師積極組織學生開展小組合作學習，可以提高學生的積極性和主動性，讓學生在合作探究學習中各抒己見，取長補短，有利于縮小學生之間的差異，促進學生的發(fā)展，同時也有利于培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)。

教師可以靈活采取讓學生根據(jù)自己的興趣進行自主組合，在小組學習中學生的學習習慣和學習能力各有差異，學生在共同的學習目標驅使下形成一定的聚合力，也能在相互交流的過程中達到合作學習的目的，集思廣益地去從多方面入手思考問題，進而形成一種科學化、有效化的解題思路，提高學習效果。為了達到教學設計目標，教師在學生小組學習時應當布置一定的學習任務，而任務驅動合作學習可以使成員間的個性差異縮小，有利于學生基于興趣愛好激發(fā)學習動機。在學生討論的時候，教師可以在小組間巡察及時點撥學生思考，引導學生學會學習，有效地利用合作交流時間。學生在討論中可以拓寬知識范圍，將其他學生和教師的解題思路有效整合，轉化為自己的思維并加深印象，有利于學生之間加強感情，培養(yǎng)合作精神，促進共同進步。學生在討論交流完畢后，應當輪流發(fā)表意見，教師認真傾聽，及時對學生的探究方式予以指導，有針對性地進行總結評價，以達到評價教學的根本目的。

例如教師在開展函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象(第二課）的教學時，應當組織學生分別探究A、ω、φ 對y=sin(x+φ)、y=Asinx(A＞0)、y=sinωx(ω＞0)的圖象的影響，在學生理解了A、ω、φ 分別對圖象的伸縮、平移變換變化規(guī)律的基礎上，進一步探究A、ω、φ 對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的綜合影響。教師給學生設置了以上兩個問題之后引導學生開展小組探究學習，讓學生自主探究研究策略，正確找出由函數(shù)得到的圖像變化規(guī)律，讓學生體會由簡單到復雜，特殊到一般的化歸思想，從而達到從感性認識到理性認識的飛躍。教師在教學中應當明確本節(jié)課的難點是:1.平移變換;2.A、ω 不為1 時的伸縮變換。突破難點的策略是：教學中不急于把結論拋給學生，而是結合多個具體的例子讓學生自己畫圖探究體會，如畫出y=sin2x 和y=sin3x，y=sinx/2 和y=sinx/3的簡圖，加強學生對整體代換思想的理解，同時也使學生對圖像有更深刻的認識，讓學生親歷從具體到抽象、從特殊到一般的探究過程，逐步概括圖象變換的規(guī)律。學生通過充分地思考和探究，發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象之間的變化關系，并對結論進行理性思考，從中學習解決問題的一般方法，從而突破難點。由于每個人的知識、能力不同，認識問題的習慣與特點不同，所以教師遵循自主探究、合作交流的教學方式，把本節(jié)課的探究過程設計為一個動態(tài)的、開放的系統(tǒng)，而不是設計成一個封閉的、靜態(tài)的系統(tǒng)，這樣才能充分發(fā)揮學生的主觀能動性，有利于學生認知策略的發(fā)展。

三、分層布置數(shù)學作業(yè)，培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)

作業(yè)是數(shù)學課堂的有效延伸，是對學生知識掌握情況的考察，數(shù)學教師應當尊重學生之間的個體差異性，認識到差異性的可貴之處，并且針對不同層次的學生逐層設計課外作業(yè)，這樣不同學習層次的學生均能夠達成作業(yè)的完成目標，從而促使學生感受到成功的喜悅，有利于激發(fā)學生的學習熱情，在后續(xù)的數(shù)學學習中會更加努力。如果教師布置的作業(yè)沒有分層設計，那么對一部分學習成績較差的學生來說確實太難，他們?yōu)榱送瓿勺鳂I(yè)就會去抄襲其他學習較好學生的作業(yè)，他們在照抄作業(yè)的時候對于一部分解題思路和公式并不理解，但也沒有及時向其他學生和教師請教，久而久之學生就會對知識漸漸陌生，這樣不利于學生掌握更多的數(shù)學知識，因此教師應當根據(jù)學生的具體情況合理設計課后作業(yè)，讓學生通過完成不同層次的課后作業(yè)，不斷鞏固和加深所學的新知識，對提高不同層次學生的數(shù)學能力和素心素養(yǎng)有很好的推動作用。

教師應當對班級的學生進行綜合評定，根據(jù)學生的成績、學習能力以及動手實踐水平等方面將學生分為三個等級，第一個等級是學習和動手能力均為較差水平的學生，第二個等級是學習和動手能力均為一般的學生，最后一個等級是學習和動手能力較強的學生，然后教師根據(jù)每個等級學生的具體學習狀況采取合理的教學方法，讓他們合理選擇數(shù)學題目難度和內容，讓每個學生都可以在學習中體驗到成功的快樂。

例如，教師針對第一等級的學生應當布置一些基礎練習：為了得到函數(shù)y=sin（2x-π/6）的圖象，可以將函數(shù)y=sin2x的圖象A.向右平移π/6 個單位長度；B.向右平移π/3 個單位長度；C.向左平移π/6個單位長度；D.向左平移π/3 個單位長度。而對于第二等級的學生教師可以布置一些拔高性習題：要得到函數(shù)y=2cosx 的圖象，只需將函數(shù)y=2sin(2x+π/4)圖象上的所有點的A.橫坐標縮短到原來的1/2(縱坐標不變)，再向左平行移動π/8 個單位長度；B.橫坐標縮短到原來的1/2 (縱坐標不變)，再向右平行移動π/4 個單位長度；C.橫坐標伸長到原來的2 倍(縱坐標不變)，再向左平行移動π/4 個單位長度；D.橫坐標伸長到原來的2 倍(縱坐標不變)，再向右平行移動π/8 個單位長度。而針對最后一個等級的學生應當布置一些拓展性的題目，如：已知函數(shù)f(x)=sin(π/3-2x)(x∈R)：(1)求f(x)的單調減區(qū)間；(2)經(jīng)過怎樣的圖象變換使f(x)的圖象關于y 軸對稱?

教師采取逐層設計的原則將作業(yè)的難度進行了細致的劃分，以促使學生能夠依據(jù)自身的情況來進行自主選擇，學生也便不會再覺得難以完成，使學生既能夠感受到完成作業(yè)所帶來的喜悅，同時又切實有效地掌握了相應知識內容，讓學生獲得自信心，保持學習數(shù)學的興趣，有利于培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)。

四、鞏固所學知識，引導學生反思評價

在這節(jié)課中，學生通過分組討論、合作學習的方式對三角函數(shù)的知識進行了探究，通過解答例題來認識常見的題型，總結解題方法。在學習完常見題型后，教師可以引導學生發(fā)現(xiàn)不同題型之間的聯(lián)系，學會透過現(xiàn)象看本質。在課堂小結環(huán)節(jié)，教師可以向學生提問：本節(jié)課你們都學習了哪些知識？自己掌握了哪些知識？在解題的過程中都運用了哪些數(shù)學思想？每個小組可以分別派一名代表來對本節(jié)課的內容進行回顧小結，教師對每個小組的回答情況進行打分，引導學生根據(jù)板書的內容繼續(xù)完善答案。完成上述環(huán)節(jié)之后，教師就可以對本節(jié)課各個小組的綜合表現(xiàn)情況進行打分和評價，對表現(xiàn)非常好的小組給予嘉獎和表揚，而對表現(xiàn)不是很理想的小組給予鼓勵和支持。例如老師給出了這樣一個問題：y=Asin（ωx+φ）+B型函數(shù)與y=at2+bt+c 型函數(shù)求最值的方法一樣嗎？學生在思考這個問題后可能會想到，這兩種函數(shù)類型是不同的，但是說不出原因。這時教師就需要引導學生找到這兩種函數(shù)的相同之處，即它們的解題方法可以采用化同角化同名或換元的方式進行解答，可以將多元的問題單元化，將復雜的題型化簡，將不熟悉化為熟悉。這種方法其實就是透過現(xiàn)象看本質，發(fā)現(xiàn)不同題型中的相同之處和聯(lián)系，這樣可以進一步發(fā)現(xiàn)和體會數(shù)學思想在數(shù)學學習中的作用，有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。教師只是學生學習的引導者和支持者，在整個教學過程中應當以學生為主體，讓學生進行分組學習、小組討論是為了讓學生養(yǎng)成獨立思考的習慣和能力，激發(fā)各個小組的競爭意識，激發(fā)學生探究問題的積極性。數(shù)學本身就是一個具有抽象性的學科，對于一道題可能會有多種不同的解題方法，教師就需要引導學生進行探究來完善解題思路，將常規(guī)思路和創(chuàng)新思路進行對比，使學生的思維得到發(fā)散，進一步培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)。

根據(jù)新課標的要求，數(shù)學教學是一個更加注重過程及學習方法的學科，對學習的結果關注較少，數(shù)學注重的是培養(yǎng)學生的各種思維和能力。尤其是在一節(jié)課將要結束時，教師要引導學生對所學內容進行總結，這樣可以鞏固所學的知識，使知識基礎更加牢固，這也是培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)最不可缺少的一個環(huán)節(jié)。

數(shù)學教師在教學實踐中，應當將學生放在教學活動的主體地位，在三角函數(shù)的教學過程中，不斷挖掘教材內容，組織學生開展合作探究學習，并采取分層布置作業(yè)的教學方式，不斷優(yōu)化數(shù)學教學設計的內容和形式，讓學生可以不斷提高其自主學習和探究的意識和能力，有利于激發(fā)學生的學習興趣，提高學生的學習效果，培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)，提升數(shù)學教學的質量和效率。