廣義Lp寬度積分的混合Brunn-Minkowski型不等式①

楊林，譚楊，羅淼

1.銅仁職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息工程學(xué)院，貴州 銅仁 554300；2.貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴陽(yáng) 550025

若K為Rn(n>1)中的完備緊凸集，則稱K為凸體． 支持函數(shù)是研究凸體的重要概念，其表達(dá)式為

h(K，u)=max{x·u：x∈K}u∈Sn-1

B，Sn-1分別表示Rn中的單位球和單位球面． 記

Minkowski線性組合為凸體之間的重要運(yùn)算，其定義為：設(shè)K，L∈Kn，λ，μ為非負(fù)實(shí)數(shù)且不同時(shí)為0，K與L的Minkowski線性組合λ·K+μ·L∈Kn用支持函數(shù)可表示為

h(λ·K+μ·L，u)=λh(K，u)+μh(L，u)

Brunn-Minkowski理論中有諸多有意義的結(jié)果，詳情請(qǐng)參閱文獻(xiàn)[1-11]．

文獻(xiàn)[1]研究的關(guān)于凸體K1，K2，…，Kn的混合寬度積分B(K1，…，Kn)表示為

其中

當(dāng)K1=… =Kn-i=K，Kn-i+1=… =Kn=L時(shí)，B(K1，…，Kn)=Bi(K，L)． 若存在正實(shí)數(shù)λ，使得b(K，u)=λb(L，u)，則稱K與L具有相似寬度．

設(shè)K1，…，Kn∈Kn，τ∈(-1，1)，文獻(xiàn)[2]將文獻(xiàn)[1]所定義的混合寬度積分推廣為如下更一般的混合寬度積分B(τ)(K1，…，Kn)，表達(dá)式為

其中

b(τ)(K，u)=f1(τ)h(K，u)+f2(τ)h(K，-u)

其中

(1)

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K與L具有相似廣義Lp寬度；

(2)

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K與L具有相似廣義Lp寬度．

本文受文獻(xiàn)[6-7]的啟發(fā)，建立了如下不等式：

(3)

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K與L具有相似廣義Lp寬度．

(4)

其中

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K與L具有相似廣義Lp常寬度．

證由LpMinkowski加法知

引理2[12](Minkowski不等式)設(shè)f(x)與g(x)為可測(cè)集X上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)． 若f(x)，g(x)∈L(p)，p>1，則

(5)

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=Mg(x)．

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=mg(x)．

根據(jù)i

在定理1中取p=1時(shí)，有：

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K與L具有相似廣義寬度．

在定理1中取Q=B時(shí)即為不等式(2)，在推論1中取Q=B時(shí)為文獻(xiàn)[9]之結(jié)論．

由

可得

(6)

從而有

由i

在定理2中取Q=B時(shí)，得：

其中c同定理2中所定義，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K與L具有相似廣義Lp常寬度．

在推論2中取p=1時(shí)，得：

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K與L具有相似廣義常寬度．

現(xiàn)應(yīng)用引理4給出不等式(1)的逆，即：

(7)

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K與L具有相似廣義Lp常寬度．

證由

令

可得

(8)

根據(jù)公式(8)與不等式(6)，可得

由i

在定理3中取i=0，j=i，k=n時(shí)，有：

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)K與L具有相似廣義Lp常寬度．