一體化鋁合金反射鏡的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)與分析

王 上，張星祥，沙 巍，朱俊青

一體化鋁合金反射鏡的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)與分析

王 上1,2，張星祥1，沙 巍1，朱俊青1

（1. 中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長(zhǎng)春 130033；2. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049）

針對(duì)口徑為300mm的一體化鋁合金反射鏡進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，在反射鏡光軸方向的自重載荷下，以整體柔度作為約束，反射鏡最小體積作為目標(biāo)進(jìn)行迭代優(yōu)化，得到了拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果模型，根據(jù)其特征建立了實(shí)體模型并進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化，最終得到了總質(zhì)量為2.08kg、面形均方根RMS（Root Mean Square）為5.9nm、輕量化率為70%的一體化反射鏡結(jié)構(gòu)。通過參數(shù)優(yōu)化，結(jié)合與對(duì)比結(jié)構(gòu)的對(duì)比驗(yàn)證了拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征的有效性，并進(jìn)行了支撐特性分析。中心六邊形的支撐結(jié)構(gòu)和半封閉的結(jié)構(gòu)在自重工況下對(duì)面形精度的提升有極大貢獻(xiàn)。中心六邊形結(jié)構(gòu)存在最佳支撐位置，即正六邊形高度與直徑比值為0.26。

鋁合金反射鏡；拓?fù)鋬?yōu)化；參數(shù)化優(yōu)化；支撐特性

0 引言

得益于鋁合金的材料特性，鋁合金反射鏡的優(yōu)勢(shì)有如下幾點(diǎn)：一是加工周期短、成本低，鋁合金反射鏡可以通過金剛石直接銑削成型，相較于陶瓷材料的燒結(jié)制胚等流程方便快速；二是可以制成一體化的結(jié)構(gòu)，相較于聯(lián)接件裝調(diào)簡(jiǎn)單；三是鋁合金密度相對(duì)較低，反射鏡的整體質(zhì)量小，發(fā)射成本低。鋁合金反射鏡在光機(jī)系統(tǒng)中得到了廣泛應(yīng)用[1-3]，國(guó)內(nèi)外對(duì)其結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行了研究。圖1為荷蘭Astron公司提出的輕量化方法，該結(jié)構(gòu)形式的輕量化率可以達(dá)到85%以上[4]；圖2為德國(guó)Jena Optronik公司委托Fraunhofer實(shí)驗(yàn)室設(shè)計(jì)加工的封閉結(jié)構(gòu)反射鏡，在保證鏡體整體剛度的同時(shí)，減重可以達(dá)到50%以上[5]。在國(guó)內(nèi)，范磊等人對(duì)316mm口徑的鋁反射鏡進(jìn)行了設(shè)計(jì)分析，RMS可以達(dá)到41nm左右，符合其系統(tǒng)指標(biāo)[6]；譚雙龍等人設(shè)計(jì)的126mm口徑的可見光級(jí)鋁反射鏡自重狀態(tài)下RMS可以達(dá)到6.1nm[7]；翟巖等人對(duì)鈹鋁合金反射鏡組件進(jìn)行了針對(duì)性研究，使得750mm大口徑反射鏡組件RMS能夠滿足/20(＝632.8nm)[8]。

圖1 Astron公司的輕量化結(jié)構(gòu)形式

圖2 Fraunhofer實(shí)驗(yàn)室的封閉結(jié)構(gòu)形式

目前，國(guó)內(nèi)對(duì)于鋁反射鏡的結(jié)構(gòu)特征及支撐特性分析較少。在此基礎(chǔ)上，本文針對(duì)某一體化反射鏡的支撐結(jié)構(gòu)進(jìn)行了設(shè)計(jì)與詳細(xì)的特性分析。其口徑為300mm，材料為AL6061，工作于可見光波段，要求面形精度RMS值小于/50(＝632.8nm)。在一定經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，擬采用內(nèi)圈作為主要支撐結(jié)構(gòu)，外圈利用輔助筋板均勻面形，背部三點(diǎn)支撐的形式。先通過拓?fù)鋬?yōu)化的方法建立了初始模型，再進(jìn)行參數(shù)化優(yōu)化，分析其支撐特性。

1 反射鏡的拓?fù)鋬?yōu)化

1.1 連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)湓?/h3>

由于結(jié)構(gòu)的多樣性，在設(shè)計(jì)優(yōu)化時(shí)往往需要設(shè)計(jì)人員大量的經(jīng)驗(yàn)作為基礎(chǔ)并進(jìn)行試驗(yàn)。而拓?fù)鋬?yōu)化的優(yōu)勢(shì)在于，給定載荷、邊界條件等必要約束后，計(jì)算機(jī)通過算法能夠給出設(shè)計(jì)域中相對(duì)最優(yōu)的空間布局。這不僅降低了設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)的門檻，減少了工作量，還能夠得到約束條件下更為合理的結(jié)構(gòu)形式或思路。因此，變密度法實(shí)現(xiàn)連續(xù)結(jié)構(gòu)體拓?fù)湓诠鈾C(jī)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中被廣泛應(yīng)用[9-12]。計(jì)算機(jī)通過引入可變密度的假定材料單元，將設(shè)計(jì)變量變?yōu)閱卧芏?，建立單元密度與材料彈性模量的關(guān)系，最終通過插值模型實(shí)現(xiàn)優(yōu)化過程。具體過程為假設(shè)單元內(nèi)均為各向同性的材料，但其相對(duì)密度為0～1之間，通過插入懲罰因子對(duì)單元密度進(jìn)行判定保留或者去除，得到一定材料總量下，結(jié)構(gòu)柔性最小的最佳材料分布形式。其靜力狀態(tài)下的數(shù)學(xué)模型為：

式中：為結(jié)構(gòu)總體積；v為單元體積；x為單元變量；為變量單元總數(shù)；()為結(jié)構(gòu)整體柔度；表示總體剛度；為位移列陣；為作用力；min為單元變量下限。

1.2 拓?fù)淝蠼?/h3>

圖3為反射鏡的有限元模型，淺色部分為待優(yōu)化的設(shè)計(jì)區(qū)域，深色部分包括支撐點(diǎn)和鏡體表面，為非設(shè)計(jì)區(qū)域。AL6061的材料屬性以及反射鏡結(jié)構(gòu)參數(shù)分別如表1和表2所示。由于影響徑向自重條件下面形的最主要因素為質(zhì)心與支撐點(diǎn)間的位置差距導(dǎo)致的傾覆力矩，所以支撐位置選用距離上表面8mm位置處。在一定經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，擬采用背部三點(diǎn)支撐的形式，內(nèi)圈作為主要支撐結(jié)構(gòu)，外圈利用輔助筋板均勻面形。在更難滿足面形精度的軸向重力工況下，以鏡面節(jié)點(diǎn)總位移量代替結(jié)構(gòu)柔度作為約束，以體積最小作為優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行計(jì)算。

圖3 反射鏡有限元模型

表1 Al6061的材料屬性

表2 反射鏡結(jié)構(gòu)參數(shù)

經(jīng)過迭代，拓?fù)鋬?yōu)化的結(jié)果如圖4所示，圖5為設(shè)計(jì)區(qū)域的底部。總結(jié)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征為中心六邊形支撐結(jié)構(gòu)與半封閉結(jié)構(gòu)。建立初始模型如圖6。采用有限元分析的方法和面形擬合，得到初始模型其軸向與徑向重力下的RMS分別為7.136nm和5.779nm。以軸向重力工況為例，圖7與圖8分別為初始模型的有限元仿真結(jié)果和面形擬合結(jié)果。

圖4 拓?fù)鋬?yōu)化的結(jié)果

圖5 設(shè)計(jì)區(qū)域底部

圖6 初始模型

圖7 軸向自重仿真結(jié)果

圖8 軸向自重RMS值

2 反射鏡的參數(shù)優(yōu)化

2.1 鏡高

反射鏡的各主要特征參數(shù)如圖9所示，其中鏡高對(duì)反射鏡的整體質(zhì)量影響最大。針對(duì)本文中的反射鏡參數(shù)，鏡體高度范圍定在40～55mm之間。根據(jù)圖10中的優(yōu)化數(shù)據(jù)可以得知，隨鏡高與質(zhì)量的增加，軸向重力工況下的面形變優(yōu)明顯，但是到達(dá)一定高度后，自重因素影響成為主導(dǎo)，面形下降，在鏡高為52.5mm時(shí)綜合面形達(dá)到最優(yōu)，RMS為7.015nm，PV（Peak to Valley）值為35.625nm。

圖9 反射鏡主要特征參數(shù)

圖10 鏡體高度對(duì)面形的影響

2.2 中心六邊形的大小

針對(duì)基礎(chǔ)模型的形式，中心六邊形的筋板是主要的支撐結(jié)構(gòu)，對(duì)六邊形結(jié)構(gòu)的大小進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化。如圖11，當(dāng)六邊形結(jié)構(gòu)的高度在75～90mm之間變化時(shí)，軸向重力下RMS值變化量最大可達(dá)1.9nm。綜合不同方向重力條件，六邊形高度為80mm時(shí)在面形最優(yōu)，RMS為6.370nm，此時(shí)六邊形高度與直徑比值在0.26左右，即為最佳支撐位置。

2.3 其他特征參數(shù)的優(yōu)化

其他特征參數(shù)包括輔助筋板位置、圓孔大小及翻邊的相關(guān)參數(shù)，具體范圍與優(yōu)化步長(zhǎng)如表3所示。綜合考慮兩個(gè)方向自重條件下的RMS，最終得到了最佳參數(shù)。在優(yōu)化過程中，輔助筋板位置、筋板厚度與翻邊大小對(duì)面形影響效果明顯，圓孔大小與翻邊厚度決定了整體結(jié)構(gòu)剛度強(qiáng)弱，對(duì)徑向重力方向下面形提升有明顯貢獻(xiàn)。

圖11 中心六邊形大小對(duì)面形的影響

表3 其他特征參數(shù)的優(yōu)化

2.4 優(yōu)化結(jié)果

參數(shù)優(yōu)化的結(jié)果如圖12所示，總質(zhì)量為2.08kg、軸向重力與徑向重力下的RMS分別為5.888nm和5.884nm、輕量化率達(dá)到70%。

3 與其他結(jié)構(gòu)的對(duì)比分析

為了更好地體現(xiàn)半封閉結(jié)構(gòu)與六邊形支撐結(jié)構(gòu)特征的優(yōu)勢(shì)，建立了中心圓形支撐、開放圓孔、開放三角形筋板等結(jié)構(gòu)并進(jìn)行了相關(guān)參數(shù)的優(yōu)化（圖13～15），對(duì)比結(jié)果如表4所示。

拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的優(yōu)化過程及幾種不同結(jié)構(gòu)的對(duì)比結(jié)果表明，相較于軸向重力工況，徑向重力工況下的面形精度在設(shè)計(jì)中更容易滿足要求。調(diào)整中心六邊形結(jié)構(gòu)大小與翻邊相關(guān)參數(shù)的過程表明，在盡量減小支撐點(diǎn)與質(zhì)心有差距而導(dǎo)致的傾覆力矩后，反射鏡的背部支撐結(jié)構(gòu)剛度對(duì)徑向重力下面形精度起到?jīng)Q定性作用。對(duì)比結(jié)構(gòu)中，中心圓形與內(nèi)圈三角筋板兩種結(jié)構(gòu)的筋板厚度更大，分布更密集，提升了整體剛度，故其徑向重力下面形精度表現(xiàn)更優(yōu)異。

圖12 優(yōu)化結(jié)果

圖13 中心圓形支撐結(jié)構(gòu)

圖14 無翻邊開放圓孔結(jié)構(gòu)

圖15 內(nèi)圈三角形筋板結(jié)構(gòu)

表4 對(duì)比結(jié)果

在軸向重力工況下，比較不同的對(duì)比結(jié)構(gòu)結(jié)果，可見中心六邊形與半封閉的翻邊結(jié)構(gòu)對(duì)降低RMS值有極大貢獻(xiàn)。由于3個(gè)支撐點(diǎn)與圓形反射鏡的搭配本身存在著不均勻性，六邊形結(jié)構(gòu)能夠更好地均勻面形。與開放式筋板結(jié)構(gòu)相比較，半封閉的翻邊結(jié)構(gòu)能夠有效地減少支撐點(diǎn)位置的應(yīng)力集中，形成雙層的承力結(jié)構(gòu)，提升一體化反射鏡的穩(wěn)定性。

4 結(jié)論

本文針對(duì)一體化鋁合金反射鏡進(jìn)行了設(shè)計(jì)與特性分析。通過拓?fù)鋬?yōu)化得到了基本特征并依此建立了初始結(jié)構(gòu)。對(duì)初始結(jié)構(gòu)中鏡高、中心六邊形高度等在內(nèi)的不同特征參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，最終得到自重下的RMS為5.9nm、輕量化率為70%的反射鏡優(yōu)化模型。從優(yōu)化過程分析鋁合金反射鏡的支撐特性，在對(duì)面形影響更大的軸向重力條件下，隨自身質(zhì)量增加，反射鏡剛度增強(qiáng)可以提高面形精度，但超過一定范圍，自重影響變?yōu)橹鲗?dǎo)，使得RMS增大。中心六邊形結(jié)構(gòu)存在最佳位置，即正六邊形高度與直徑比值為0.26左右時(shí)，面形精度最高。在此基礎(chǔ)上，與其他3種對(duì)比結(jié)構(gòu)進(jìn)行比較，得出了中心六邊形與半封閉結(jié)構(gòu)在自重條件下提高面型精度的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，對(duì)鋁合金反射鏡的輕量化設(shè)計(jì)提供了重要參考。

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Topology Optimization Design and Analysis of an Integrated Aluminum Alloy Mirror

WANG Shang1,2，ZHANG Xingxiang1，SHA Wei1，ZHU Junqing1

(1.,130033,;2.,100049,)

Topology optimization design was conducted for an integrated aluminum alloy mirror with a diameter of 300mm. Under the self-weight load along the optical axis of the mirror, the global flexibility was considered as a constraint, and the minimum volume of the mirror was considered as an objective for iterative optimization to obtain a topology optimization model. According to the results, a solid model was established, and its parameters were optimized. Finally, an integrated mirror structure with a total mass of 2.08kg, root mean square of 5.9nm, and lightweight ratio of 70% was obtained. Through comparisons to a contrast structure combined with a parameter optimization process, the validity of the topological structure features was determined, and the support characteristics were analyzed. A support structure consisting of a central hexagon and semi-closed structure contributes significantly to the improvement of surface shape accuracy under the conditions of self-weight. There is an optimal supporting position for the central hexagon structure, where the ratio of height to diameter of the regular hexagon is 0.26.

aluminum alloy mirror, topology optimization, parameter optimization, support characteristics

TH703

A

1001-8891(2022)01-0061-05

2020-12-13；

2021-02-25.

王上（1996-），男，碩士研究生，主要從事光機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。E-mail: ws790402497@163.com。

張星祥（1977-），男，博士，研究員，主要從事空間寬幅成像技術(shù)、精密裝調(diào)與拼接技術(shù)、在軌測(cè)試與處理技術(shù)方面的研究。E-mail：jan_zxx@163.com。

裝備演示驗(yàn)證項(xiàng)目。