單活塞線性斯特林制冷機(jī)半正定減振系統(tǒng)研究

孔德銳，夏 明，唐天敏，畢 翔

〈制冷技術(shù)〉

單活塞線性斯特林制冷機(jī)半正定減振系統(tǒng)研究

孔德銳，夏 明，唐天敏，畢 翔

（昆明物理研究所，云南 昆明 650223）

當(dāng)前，對于吸振器和單活塞線性斯特林制冷機(jī)振動(dòng)系統(tǒng)的研究，幾乎都是在已知制冷機(jī)進(jìn)行某種固定安裝方式的正定模型上進(jìn)行的。而這種正定方法由于缺乏對制冷機(jī)和吸振器系統(tǒng)固有頻率的分析，當(dāng)改變系統(tǒng)的安裝方式后，可能會(huì)產(chǎn)生共振并減小吸振器的減振效果。基于此，本文將對制冷機(jī)和吸振器振動(dòng)系統(tǒng)在未進(jìn)行任何安裝時(shí)的半正定模型進(jìn)行理論分析，并通過懸掛測試法對制冷機(jī)適配吸振器前后進(jìn)行振動(dòng)實(shí)驗(yàn)。由此得到了系統(tǒng)在半正定模型下的理論固有頻率值為78.6Hz。而通過實(shí)驗(yàn)可發(fā)現(xiàn)，受吸振器實(shí)際加工和裝配的影響，系統(tǒng)的固有頻率隨吸其剛度的增大而增大，其增大的范圍在78.1～80.8Hz之間。

單活塞線性斯特林制冷機(jī)；吸振器固有頻率；半正定模型

0 引言

隨著紅外探測器朝著高溫區(qū)發(fā)展，所需的制冷溫度降低，增加了對制冷機(jī)小尺寸（size）、輕質(zhì)量（weight）和低功耗（power）的SWaP要求，這使得單活塞線性斯特林制冷機(jī)的應(yīng)用逐步廣泛[1-2]。單活塞線性斯特林制冷機(jī)相較于旋轉(zhuǎn)集成式而言具有可靠性高和降溫時(shí)間短等特點(diǎn)，而較于雙活塞對置式又具有質(zhì)量輕、尺寸小和安裝靈活性高等優(yōu)點(diǎn)[3-4]。

盡管這種制冷機(jī)具有出眾的性能優(yōu)勢，但因?yàn)閴嚎s機(jī)獨(dú)特的單活塞結(jié)構(gòu)，使其運(yùn)行時(shí)會(huì)在軸向上產(chǎn)生較大的慣性力，并對外輸出振動(dòng)，這也成為進(jìn)一步提高單活塞線性斯特林制冷機(jī)競爭力的一大技術(shù)難點(diǎn)。基于此，目前許多著名的制冷機(jī)研發(fā)機(jī)構(gòu)常通過適配吸振器對其振動(dòng)進(jìn)行消減和抑制，例如RICOR公司的K527，AIM公司的SX030和SUNPOWER公司的GT型制冷機(jī)等，圖1所示為K527和GT型制冷機(jī)適配吸振器的實(shí)物圖[5-8]。

這些研發(fā)機(jī)構(gòu)在進(jìn)行吸振器的相關(guān)理論分析和設(shè)計(jì)中，都是在已知制冷機(jī)固定安裝方式下進(jìn)行的，其振動(dòng)模型如圖2所示[9-11]。

在圖2所示的幾個(gè)振動(dòng)模型中，質(zhì)量為2，剛度和阻尼分別為2和2的吸振器與質(zhì)量為1的制冷機(jī)相聯(lián)，然后通過剛度1，阻尼1的柔性彈簧安裝于固定支座。盡管這種正定振動(dòng)模型結(jié)合傅里葉變換后可以很方便地分析并計(jì)算得到吸振器的相關(guān)參數(shù)，但當(dāng)需要對制冷機(jī)采用懸掛法測試其相關(guān)性能或改變制冷機(jī)固定安裝方式后，整個(gè)系統(tǒng)的固有頻率也會(huì)隨之改變，這極有可能使制冷機(jī)和吸振器系統(tǒng)在工作頻率處發(fā)生共振。因此，需要對制冷機(jī)在未進(jìn)行任何固定安裝前，分析系統(tǒng)的固有頻率和相關(guān)振動(dòng)特性。

本文將在這種正定振動(dòng)模型的基礎(chǔ)上，同時(shí)引入無約束的半正定振動(dòng)模型參與分析。

1 正定與半正定振動(dòng)系統(tǒng)

1.1 正定振動(dòng)系統(tǒng)

在圖3所示的制冷機(jī)與吸振器正定振動(dòng)模型中，質(zhì)量、剛度和阻尼系數(shù)分別2、2和2的吸振器與質(zhì)量為1的制冷機(jī)相聯(lián)，然后通過剛度1，阻尼1的隔振彈簧安裝于固定支座，為制冷機(jī)在時(shí)域輸出的振動(dòng)誘導(dǎo)力。

從上述模型可以得到以下雙自由度振動(dòng)微分方程：

式中：i為虛數(shù)單位；為制冷機(jī)工作頻率。

為方便后續(xù)分析，將傅里葉變化后的參數(shù)帶入微分方程組(1)，并將解析結(jié)果進(jìn)行無量綱化后，可得到制冷機(jī)在適配吸振器后的振動(dòng)表達(dá)式：

圖1 K527(a)和GT(b)型制冷機(jī)適配吸振器實(shí)物圖

圖2 吸振器與制冷機(jī)正定振動(dòng)模型

式中：＝2/1；＝2/1＝(2/2)1/2/(1/1)1/2；＝/1；2＝2/[2(22)1/2]；0＝(i)/1；

從式(2)可以分析得知，制冷機(jī)相關(guān)參數(shù)和系統(tǒng)安裝方式已知的前提下，制冷機(jī)的振動(dòng)輸出僅和質(zhì)量比及吸振器阻尼比2有關(guān)。此外，還可以清楚地發(fā)現(xiàn)，當(dāng)吸振器2等于制冷機(jī)工作頻率時(shí)，制冷機(jī)輸出的振動(dòng)最小，且在振動(dòng)最小值左右會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)共振點(diǎn)。圖4分別為制冷機(jī)振動(dòng)幅頻特性與質(zhì)量比和吸振器阻尼比2的關(guān)系曲線。

從圖4(a)中可以看到，在制冷機(jī)工作頻率75Hz處其振動(dòng)隨質(zhì)量比的增大而減小。由于本文所參與分析的制冷機(jī)質(zhì)量為1＝300g，1＝66620N/m為了同時(shí)兼顧系統(tǒng)輕質(zhì)量的要求，所以可選擇＝1/10，即選擇吸振器質(zhì)量為30g。而根據(jù)在工作頻率處制冷機(jī)振動(dòng)最小的條件2＝，可計(jì)算得到所需吸振器剛度為6662N/m。

1.2 半正定振動(dòng)系統(tǒng)

通過前文對系統(tǒng)正定模型的分析，得到了吸振器重要的設(shè)計(jì)參數(shù)，而為了分析制冷機(jī)與吸振器系統(tǒng)的固有頻率，在此將引入半正定振動(dòng)模型。如圖5所示，吸振器質(zhì)量、剛度和阻尼系數(shù)分別為2、2、2的吸振器安裝于質(zhì)量為1的制冷機(jī)。

對于該系統(tǒng)而言，半正定模型與正定模型的區(qū)別在于是否對制冷機(jī)進(jìn)行固定約束。而在對此模型求解固有頻率時(shí)，根據(jù)公式(3)可知，僅與系統(tǒng)的剛度和質(zhì)量有關(guān)，與吸振器阻尼和振動(dòng)誘導(dǎo)力無關(guān)。

圖5 制冷機(jī)與吸振器半正定振動(dòng)模型

由此可建立式(4)的振動(dòng)矩陣方程：

從該矩陣方程可以知道，因?yàn)榘胝Ｐ偷膭偠染仃嘯]為奇異矩陣，所以在這種情況下，系統(tǒng)僅有一個(gè)不為零的固有圓頻率sys，經(jīng)計(jì)算可得：

sys2＝1.12(5)

式中：2＝(2/2)1/2，由此可解得系統(tǒng)得固有頻率sys＝78.6Hz。

由式(6)則可計(jì)算得到系統(tǒng)在此固有頻率下的振型。

[－sys2]＝0 (6)

由此解得制冷機(jī)和吸振器的振動(dòng)幅值比為1/2＝1/10，如圖6所示。通過對該振型的計(jì)算，可對制冷機(jī)和吸振器系統(tǒng)進(jìn)行懸掛測試，分析在不同工作頻率下兩者振動(dòng)的位移幅度值比，當(dāng)比值為1/10時(shí)，根據(jù)共振原理，此時(shí)對應(yīng)的工作頻率即為系統(tǒng)固有頻率。

圖6 半正定系統(tǒng)振型

2 半正定振動(dòng)系統(tǒng)仿真分析

2.1 固有頻率分析

通過上述的分析與計(jì)算，可得到系統(tǒng)的理論固有頻率，但因?yàn)樵趯?shí)際過程中或多或少會(huì)受到吸振器阻尼的影響，因此還需進(jìn)一步進(jìn)行相關(guān)分析和驗(yàn)證。

式(7)為圖5對應(yīng)的雙自由度振動(dòng)微分方程：

同樣，對相關(guān)參數(shù)經(jīng)傅里葉變換后，可得到如式(8)所示當(dāng)制冷機(jī)在半正定情況下時(shí)，適配吸振器后的振動(dòng)表達(dá)式：

通過該式可以得到圖7所示當(dāng)吸振器質(zhì)量2＝30g時(shí)的制冷機(jī)振動(dòng)幅頻特性曲線。

從式(4)和仿真曲線可以看到，在這種半正定情況下，當(dāng)吸振器2等于制冷機(jī)工作頻率且在75Hz頻率處工作時(shí)，其振動(dòng)仍然為最小值。而從圖中可以看到，無論吸振器阻尼如何變化，當(dāng)制冷機(jī)工作頻率為78.9Hz時(shí)均會(huì)出現(xiàn)一個(gè)共振點(diǎn)，此共振頻率即為系統(tǒng)在半正定情況下的固有頻率。該結(jié)果與1.2節(jié)的解析解較為接近，從而驗(yàn)證了系統(tǒng)固有頻率與吸振器阻尼無關(guān)。

2.2 半正定系統(tǒng)MATLAB/Simulink仿真

前文通過計(jì)算和仿真的方法得到了半正定系統(tǒng)的固有頻率，但因?yàn)樵趯?shí)際應(yīng)用中無法達(dá)到這種理想的無固定約束狀態(tài)，所以可借助Simulink的仿真方法得到一個(gè)理論值。圖8是通過式(7)建立的Simulink仿真框圖。

圖7 半正定系統(tǒng)下制冷機(jī)振動(dòng)幅頻曲線

仿真結(jié)果見圖9所示。

從仿真結(jié)果來看，在此半正定系統(tǒng)下，制冷機(jī)適配吸振器后，其輸出的振動(dòng)加速度峰值為6.56m/s2左右，因?yàn)檩敵龅睦碚撜駝?dòng)波形為正弦波，所以其有效值約為4.64m/s2。

3 實(shí)驗(yàn)分析

為了使制冷機(jī)在實(shí)驗(yàn)中接近半正定無約束狀態(tài)，本文采用懸掛法測試，實(shí)驗(yàn)平臺如圖10(b)所示。

由前文理論分析可知，制冷機(jī)與吸振器半正定系統(tǒng)固有頻率可通過測試不同工作頻率下兩者的振動(dòng)幅值來確定，當(dāng)其幅值比為1/10時(shí)，對應(yīng)的工作頻率即為系統(tǒng)的固有頻率，測試結(jié)果如圖11(a)所示。從圖中可看到，在制冷機(jī)10W工作功率范圍內(nèi)，滿足兩者振幅比為1/10的頻率值在78.1～80.8Hz之間，且呈增長趨勢。

雖然從前文理論分析可知，系統(tǒng)的固有頻率是系統(tǒng)的固有屬性，它與吸振器阻尼及振動(dòng)誘導(dǎo)力無關(guān)。但出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因在于實(shí)際的吸振器剛度2是非線性的，即當(dāng)吸振器在不同幅值下做往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，其剛度不是一個(gè)定值。因此，隨著輸入功率的增加，增大了驅(qū)動(dòng)吸振器運(yùn)行的振動(dòng)誘導(dǎo)力，從而加大了吸振器振幅2，其剛度2也隨之增大，如圖11(b)所示。由此可知，系統(tǒng)的固有頻率也相應(yīng)地有所增大。但在制冷機(jī)可運(yùn)行的功率下，其系統(tǒng)實(shí)變化的固有頻率與理論值誤差較小。

圖9 半正定系統(tǒng)Simulink仿真結(jié)果

圖10 制冷機(jī)與吸振器(a)，測試實(shí)驗(yàn)臺(b)

圖11 系統(tǒng)固有頻率和吸振器剛度測試曲線

而在對制冷機(jī)常用的6W輸入功率下進(jìn)行適配吸振器后，經(jīng)懸掛測試得到的減振前后振動(dòng)加速度值，見圖12所示。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看到，制冷機(jī)在半正定系統(tǒng)下，經(jīng)吸振器減振后，可以從減振前的有效值42.474m/s2降低至減振后的3.047m/s2，這與圖9所示的仿真值存在一個(gè)可接受的誤差。造成這種誤差的原因在于，采用懸掛法測試時(shí)，在制冷機(jī)軸向上細(xì)繩仍會(huì)提供一個(gè)很小的約束剛度。而仿真則采用的是理想半正定模型，約束剛度為零，從而導(dǎo)致了實(shí)際值和仿真值存在一定的誤差。

4 結(jié)論

單活塞線性斯特林制冷機(jī)在適配吸振器后，其振動(dòng)可得到有效的抑制。在進(jìn)行研究的過程中，本文引入了半正定模型參與分析，并得到以下幾個(gè)結(jié)論。

①在半正定情況下，制冷機(jī)適配吸振器后，要使其在工作頻率75Hz處的振動(dòng)最小，仍要求吸振器固有頻率2等于制冷機(jī)工作頻率。而且在半正定情況下，系統(tǒng)僅會(huì)在制冷機(jī)振動(dòng)最小值的右側(cè)出現(xiàn)一個(gè)共振點(diǎn)。

圖12 制冷機(jī)減振前后振動(dòng)頻譜圖

②本文通過相關(guān)理論得到的半正定系統(tǒng)固有頻率解析解與仿真值較為接近，而通過實(shí)驗(yàn)得到的系統(tǒng)固有頻率則與吸振器的剛度呈正相關(guān)增長，這主要是由于吸振器的非線性剛度造成的。但在制冷機(jī)可運(yùn)行的輸入功率范圍內(nèi)，其實(shí)際值范圍78.1～80.8Hz與理論值78.6Hz的誤差較小。

③通過懸掛測試制冷機(jī)在6W輸入功率的情況下，其減振前后的加速度有效值分別為42.474m/s2和3.047m/s2，其中由于理論模型和實(shí)際測試條件存在一定的差異，導(dǎo)致減振后的數(shù)值與理論仿真值4.64 m/s2存在一定的誤差。

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Research on Positive Semi-Definite Vibration Damping System of Single-Piston Linear Stirling Cryocooler

KONG Derui，XIA Ming，TANG Tianmin，BI Xiang

(,650223,)

At present, research on the vibration system of the vibration absorber and the single-piston linear Stirling cryocooler is almost entirely carried out on the positive definite model of a certain fixed installation method for the known cryocooler system. Owing to the lack of analysis of the system’s natural frequency using this method, resonance may occur, and the damping effect of the vibration absorber may be reduced when the installation method is changed. Therefore, this study conducts a theoretical analysis of the positive semi-definite model of the cryocooler and the vibration system of the vibration absorber without any installation and performs vibration experiments before and after the cryocooler is fitted with the vibration absorber through the suspension test method. The theoretical natural frequency value of the system under the positive semi-definite model is 78.6 Hz. Through experiments, it can be found that, due to the actual processing and assembly of the vibration absorber, the natural frequency of the system changes with the vibration absorber’s stiffness within the range of 78.1 to 80.8 Hz.

single-piston linear Stirling cryocooler, vibration absorber, natural frequency, positive semi-definite model

TB652

A

1001-8891(2022)01-0096-07

2021-09-06；

2021-10-07.

孔德銳（1993-），男，云南昭通人，碩士研究生，研究方向：小型低溫制冷機(jī)。E-mail：1024197919@qq.com。

夏明（1977-），男，研究員，主要從事小型低溫制冷機(jī)研究。E-mail：15969586435@163.com。