奔赴數(shù)學(xué)的新高峰
——記北京大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院副教授郭帥

李 剛

數(shù)學(xué)是最古老的學(xué)科，歷經(jīng)數(shù)千年的發(fā)展，已經(jīng)開拓出眾多分支，并產(chǎn)生了多個(gè)應(yīng)用學(xué)科。實(shí)際上，數(shù)學(xué)的發(fā)展常常與物理相伴而行，很多物理上的重大突破都離不開數(shù)學(xué)的推波助瀾，物理學(xué)中不斷出現(xiàn)的新問題也為數(shù)學(xué)的不斷拓展提供了需求。

回溯物理和數(shù)學(xué)早期的發(fā)展歷程，會(huì)發(fā)現(xiàn)有時(shí)候很難確定一個(gè)人是物理學(xué)家還是數(shù)學(xué)家。盡管到了現(xiàn)代，研究領(lǐng)域的細(xì)化和專業(yè)化越來越明顯，但數(shù)學(xué)和物理的界限仍然時(shí)而模糊，且這兩者的糾纏越來越深，關(guān)系也越來越復(fù)雜。其中，弦理論可能是關(guān)于數(shù)學(xué)和物理相互影響的最佳示例。

20世紀(jì)后期，物理學(xué)家們希望找到一個(gè)能描述所有現(xiàn)有物理規(guī)律的統(tǒng)一理論。他們發(fā)現(xiàn)卡拉比-丘（Calabi-Yau）流形起到關(guān)鍵作用，這些流形之間存在著神秘的對(duì)偶性。兩族完全不同的流形會(huì)以各自的方式描述同一物理規(guī)律或數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，稱為鏡像對(duì)稱性。北京大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院副教授郭帥所研究的就是鏡像對(duì)稱中的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

郭帥

多年來，他在整體鏡像對(duì)稱與高虧格計(jì)數(shù)不變量的計(jì)算上深耕不輟，取得了多項(xiàng)突破性成果。例如，他通過獨(dú)有的計(jì)算技術(shù)證明了關(guān)于Calabi-Yau五次超曲面高虧格鏡像對(duì)稱的一系列結(jié)構(gòu)性猜想，徹底解決了該領(lǐng)域20多年來一直懸而未解的核心問題之一: BCOV猜想。迄今，郭帥已在Annals of Mathematics，F(xiàn)orum of Mathematics，Pi等國(guó)際頂尖數(shù)學(xué)期刊上發(fā)表多篇論文。

找到適合自己的路

少年時(shí)代的郭帥對(duì)物理和數(shù)學(xué)都十分感興趣，甚至高中有一段時(shí)間，他更傾向于物理。他大學(xué)就讀于清華大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)班，系統(tǒng)接受了數(shù)學(xué)和物理兩方面的訓(xùn)練。但隨著對(duì)數(shù)學(xué)和物理的深入學(xué)習(xí)，他逐漸發(fā)現(xiàn)自己真正感興趣的也許并不是物理本身，而是物理定律中展現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，這些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的美深深吸引著他。

郭帥認(rèn)為，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，興趣很重要。確定數(shù)學(xué)物理這個(gè)研究方向，郭帥也走了一小段曲折的路。在清華大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)班，大二就可以選擇自己的導(dǎo)師。郭帥先是跟著肖杰教授學(xué)習(xí)代數(shù)，但學(xué)過一段時(shí)間后，他覺得自己的興趣不夠，于是改為學(xué)習(xí)集合論和數(shù)理邏輯。這個(gè)方向不但涉及邏輯的本質(zhì)，還有些哲學(xué)味道。然而隨著深入了解，郭帥發(fā)現(xiàn)它很難與他感興趣的其他數(shù)學(xué)方向產(chǎn)生聯(lián)系。最終，他來到周堅(jiān)教授的門下學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)物理。

博士期間，在導(dǎo)師建議下，郭帥對(duì)頂點(diǎn)算子代數(shù)進(jìn)行了相關(guān)的研究，雖然和目前所做的Gromov-Witten理論不太一樣，但二者都與鏡像對(duì)稱的聯(lián)系使他收獲頗多。在博士期間，他受基金委聯(lián)合培養(yǎng)博士項(xiàng)目資助赴美國(guó)普林斯頓大學(xué)訪學(xué)，在田剛教授的指導(dǎo)下學(xué)習(xí)tropical geometry。談及在國(guó)外的經(jīng)歷時(shí)，他坦言道，自己不愛社交，相對(duì)而言，國(guó)外的學(xué)生和學(xué)者更擅長(zhǎng)交流?？茖W(xué)研究需要思想的碰撞，也需要通過交流來判斷自己所做的研究是否重要、是否前沿，甚至是否正確。他說：“國(guó)外經(jīng)歷讓我知道，頂尖的數(shù)學(xué)家是如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)，甚至是如何將數(shù)學(xué)變成一種生活的?！?/p>

訪學(xué)結(jié)束以后，郭帥順利從清華大學(xué)數(shù)學(xué)系獲博士學(xué)位。同年，他獲得了Simons基金資助，開始在北京大學(xué)北京國(guó)際數(shù)學(xué)中心從事博士后研究，2013年正式入職北京大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院從事教研工作。北京大學(xué)擁有目前國(guó)內(nèi)最一流的科研環(huán)境和學(xué)術(shù)氛圍，在這里，他開始獨(dú)立探索和思考一些之前在閱讀物理文獻(xiàn)時(shí)希望解決的數(shù)學(xué)問題。

鏡像對(duì)稱這一領(lǐng)域，源于20世紀(jì)90年代。Candelas與合作者通過弦理論中的對(duì)偶性，成功預(yù)言了典型Calabi-Yau三維流形——“五次超曲面”上任意次有理曲線的條數(shù)，這極大吸引了數(shù)學(xué)界對(duì)弦理論的興趣，鏡像對(duì)稱作為一個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支由此產(chǎn)生。隨后，4位物理學(xué)家Bershadsky、Cecotti、Ooguri、Vafa給出了一種高虧格勢(shì)函數(shù)的有效遞歸算法——BCOV費(fèi)曼規(guī)則，建立了全虧格鏡像對(duì)稱的物理模型，這就是著名的BCOV理論。

數(shù)學(xué)方面的突破，起源于1996—1997年，Givental和連文豪、劉克峰、丘成桐分別獨(dú)立證明了虧格0的鏡像對(duì)稱猜想。然而，直到10年之后的2007年，A.Zinger才得以攻克虧格為1的鏡像公式。而更高虧格的鏡像對(duì)稱猜想，則一直是該領(lǐng)域最為困難的挑戰(zhàn)之一，在此后的10年都停滯不前。

在研究過程中，郭帥認(rèn)識(shí)到計(jì)算虧格1勢(shì)函數(shù)的最佳途徑，可能是把Witten型不變量轉(zhuǎn)化為扭（twisted）不變量。沿著該想法，他和D. Ross合作，把Zinger的虧格1鏡像定理從局部推廣到整體。這是高虧格整體鏡像對(duì)稱多年來的第一個(gè)重大突破。

隨后，郭帥開始用這種扭不變量的思路嘗試更高虧格的鏡像猜想。2017年初，在安娜堡的一次報(bào)告中，郭帥介紹了他關(guān)于某種扭不變量的計(jì)算思路，得知F.Janda和阮勇斌正在猜測(cè)一個(gè)與之相關(guān)的局部化公式，由此開啟了幾人的合作之旅。經(jīng)過幾個(gè)月反復(fù)修正，郭帥終于找到了正確的算法，和Janda、阮勇斌合作完成了虧格2鏡像公式的驗(yàn)證。這一工作結(jié)束了10年來該問題停滯不前的狀態(tài)，被R.Pandharipande在2018年數(shù)學(xué)家大會(huì)一小時(shí)報(bào)告中作為“未來方向”特別引用。

至此，郭帥已經(jīng)在數(shù)學(xué)界嶄露鋒芒，并不斷向著更高的科研高峰攀登。

在猜想的世界里突圍

征程還在繼續(xù)。

在完成虧格2的鏡像公式之后，郭帥也在嘗試另一種更接近于原始BCOV費(fèi)曼規(guī)則的思路。早在一些低虧格計(jì)算中，郭帥就發(fā)現(xiàn)，在混合旋轉(zhuǎn)場(chǎng)（MSP）理論的局部化求和公式中，也會(huì)出現(xiàn)類似于BCOV的傳播子項(xiàng)，且它們是唯一會(huì)真正貢獻(xiàn)的項(xiàng)，其他項(xiàng)都會(huì)神奇消去。然而這個(gè)消去過程極為復(fù)雜，只能用程序驗(yàn)證且看不出規(guī)律。在很長(zhǎng)一段時(shí)間，郭帥被這種神奇現(xiàn)象所困擾。最終，他意識(shí)到，應(yīng)該對(duì)MSP理論進(jìn)行一種看起來簡(jiǎn)單粗暴的改進(jìn)。大略來講就是把其中的1個(gè)場(chǎng)增加到N個(gè)場(chǎng)，這里N為一個(gè)足夠大的素?cái)?shù)，以獲得足夠大的自由度。

郭帥的這種改進(jìn)看起來沒有幾何上的緣由，卻有奇效。其精妙之處在于，在N趨向于無窮大的時(shí)候，會(huì)完全重現(xiàn)BCOV理論中的傳播子，且不出現(xiàn)額外項(xiàng)。這讓人不禁想到一個(gè)著名的物理學(xué)哲學(xué)：“More is different（多即不同）！”某種意義上，新理論提供了BCOV的（沒有數(shù)學(xué)定義的）無窮維路徑積分的一個(gè)有限維代數(shù)幾何模型，該模型通過添加場(chǎng)的數(shù)量N趨近于無窮，去逼近BCOV的費(fèi)曼積分。由此，郭帥和李駿、張懷良合作，完成了BCOV猜想的證明。論文第一部分已被Annals of Mathematics接收。對(duì)此，田剛院士評(píng)價(jià)道：這篇論文解決了計(jì)數(shù)幾何領(lǐng)域著名的難題，多位國(guó)際知名數(shù)學(xué)家都長(zhǎng)期研究過，一直未有實(shí)質(zhì)性進(jìn)展。郭帥的研究成果在解決這些難題中發(fā)揮了關(guān)鍵作用。

與此同時(shí)，郭帥在另一種代數(shù)幾何方法上也取得了重大的進(jìn)展。在之前和Janda、阮勇斌合作的工作中，出現(xiàn)的扭理論十分復(fù)雜。事實(shí)上虧格2鏡像定理是在計(jì)算機(jī)幫助下完成驗(yàn)證的。通過反復(fù)嘗試，郭帥猜想當(dāng)把局部化公式中的扭理論修改為他和Ross工作中使用的扭理論之后，公式的形式保持不變，僅其有效常數(shù)發(fā)生變化。而使用后者會(huì)將整個(gè)計(jì)算過程變得極為簡(jiǎn)單——之前依靠計(jì)算機(jī)幫助完成的計(jì)算，現(xiàn)在可在半頁(yè)紙內(nèi)手算完成。

通過該想法，郭帥與Felix Janda、阮勇斌合作得到了一個(gè)全虧格的結(jié)構(gòu)性定理，并證明了全純反常方程和LG/CY對(duì)應(yīng)，進(jìn)一步，對(duì)一些低虧格的gap猜想也進(jìn)行了驗(yàn)證。至此，郭帥通過與合作者的一系列工作，對(duì)自Zinger后，剩下的關(guān)于五次超曲面整體鏡像對(duì)稱的絕大多數(shù)猜想，給出了圓滿的回答。

最近，郭帥又有新的突破。在BCOV理論提出的十幾年后，2007年，物理學(xué)家猜想存在一種更為精細(xì)的不變量，物理上對(duì)應(yīng)于加細(xì)瞬子數(shù)。其數(shù)學(xué)含義到現(xiàn)在仍然是一個(gè)謎。2020年，郭帥與合作者證明，在NS極限的情況下，這種神秘的加細(xì)不變量正是已經(jīng)被深入研究過的相對(duì)不變量！更進(jìn)一步，其在該極限下滿足加細(xì)的BCOV結(jié)構(gòu)。該結(jié)果發(fā)表于Forum of Mathematics, Pi。評(píng)審人稱該工作是“一首漸入高潮的樂章”(crescendo)，“真正的名鑄”(true masterpiece)。

深耕鏡像對(duì)稱的一系列結(jié)構(gòu)性猜想多年，郭帥對(duì)科學(xué)研究有著自己的感想。在他看來，探索未知是數(shù)學(xué)最大的魅力，研究中卡殼是99%的情況，這個(gè)過程中，堅(jiān)持很重要。一個(gè)問題長(zhǎng)期沒有進(jìn)展的情況下，數(shù)學(xué)研究就進(jìn)入了他們?nèi)粘Ｉ钅Ｊ?。?dāng)然，有時(shí)候也需要考慮一些其他相關(guān)問題擴(kuò)大一下視野，積累到了一定的程度，在某個(gè)偶然的瞬間，說不定就會(huì)豁然開朗。

這些年，實(shí)在沒有想法的時(shí)候，郭帥就會(huì)做點(diǎn)“體力活”：寫些程序“跑一跑”，找點(diǎn)規(guī)律碰碰運(yùn)氣。仿佛不經(jīng)意間，他獲得了解決最終問題所需的全部技能點(diǎn)，對(duì)問題的理解也越來越透徹?！盎叵肫饋恚渲杏行┘夹g(shù)和想法的獲得完全是出于偶然。這也是解決一個(gè)大問題所需要的另一個(gè)重要因素——運(yùn)氣?！惫鶐浾f。

守一盞教育的燈

教書育人是高校教師最根本的任務(wù)。黨的十八大報(bào)告中明確指出把立德樹人作為教育的根本任務(wù)，要著力提高教育質(zhì)量。入職北京大學(xué)之后，郭帥認(rèn)真踐行教師職業(yè)道德規(guī)范，堅(jiān)持德育為先、課程育人，不斷為北京大學(xué)的教育事業(yè)貢獻(xiàn)自己的力量。

在教學(xué)中，郭帥擔(dān)任的科目既包括“高等數(shù)學(xué)”“線性代數(shù)”“復(fù)變函數(shù)”“抽象代數(shù)”等本科生基礎(chǔ)課程，也包括“模形式”“李群及其表示”“代數(shù)曲線”“代數(shù)幾何專題”等本科生高年級(jí)和研究生課程。課堂教學(xué)中，他仔細(xì)調(diào)研國(guó)內(nèi)外多種教材的邏輯體系，保證盡量全面而又不失重點(diǎn)地對(duì)課程進(jìn)行介紹。課堂之外，他積極參加教學(xué)改革和一流課程的申請(qǐng)活動(dòng)。

2018年秋季學(xué)期，郭帥開設(shè)了研究生課程“鏡像對(duì)稱和Gromov-Witten理論”，主要講授他科研領(lǐng)域的相關(guān)內(nèi)容。該課程涉及辛幾何、代數(shù)幾何、奇點(diǎn)理論、可積系統(tǒng)和表示論等多個(gè)數(shù)學(xué)分支，對(duì)學(xué)生而言是一大挑戰(zhàn)。郭帥從最簡(jiǎn)單的橢圓曲線和模形式入手，讓學(xué)生逐步體會(huì)到相關(guān)數(shù)學(xué)的優(yōu)美，激發(fā)學(xué)生對(duì)其進(jìn)一步探索。在教學(xué)實(shí)踐中，他傾向于給學(xué)生提供一個(gè)比較完整的圖景，讓他們根據(jù)自己的興趣按圖索驥，深入了解。

此外，作為博士生的班主任，郭帥利用班會(huì)、微信群等平臺(tái)，營(yíng)造和諧互助的班級(jí)氛圍，重視人文關(guān)懷。在數(shù)學(xué)圈內(nèi)頗有名氣的韋東奕，曾是郭帥班上的學(xué)生。一個(gè)趣聞是，在某次申請(qǐng)個(gè)人獎(jiǎng)項(xiàng)時(shí)，因韋東奕全神專注于數(shù)學(xué)研究，有同學(xué)主動(dòng)提出要替“韋神”申請(qǐng)并代其匯報(bào)。在獲得韋東奕和全體同學(xué)同意后，答辯順利進(jìn)行并以最高票通過。在節(jié)假日，郭帥還組織開展了游覽慕田峪長(zhǎng)城、參觀雙清別墅等集體活動(dòng)，讓學(xué)生們了解歷史，增長(zhǎng)見聞，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神。郭帥曾獲北京大學(xué)優(yōu)秀班主任等榮譽(yù)稱號(hào)。

最近5年，郭帥連續(xù)擔(dān)任北京國(guó)際數(shù)學(xué)中心辛幾何與數(shù)學(xué)物理討論班的組織者。該討論班每周邀請(qǐng)相關(guān)專家作一次報(bào)告，并每年組織一到兩次高級(jí)討論班，邀請(qǐng)國(guó)際頂級(jí)專家來進(jìn)行一周的專題系列講座。郭帥還是北京大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院周五報(bào)告相關(guān)方向的負(fù)責(zé)人之一。該報(bào)告于每周五定期舉行，報(bào)告要求從基礎(chǔ)開始入手，旨在為學(xué)院的全體研究生提供一個(gè)學(xué)術(shù)平臺(tái)。

生活中，郭帥有著很多愛好，喜歡看電影、聽音樂，也喜歡一些技巧性的體育運(yùn)動(dòng)，還喜歡看武俠小說。他說，一些做數(shù)學(xué)的人喜歡看武俠，可能是因?yàn)槲鋫b世界和數(shù)學(xué)世界有某種相似性。做數(shù)學(xué)也是一種個(gè)人的修煉，在解決一些艱深問題的時(shí)候需要長(zhǎng)時(shí)間的閉關(guān)（獨(dú)立思考）來獲得突破，同樣也需要不斷和其他高手過招（學(xué)術(shù)交流）來提升自己。

不過，數(shù)學(xué)這門古老的學(xué)科如汪洋、如星空，有著無窮無盡的魅力，同樣也有著無窮無盡的困難。往往翻過一座高峰，會(huì)發(fā)現(xiàn)還有更高的山峰等在前方。但在郭帥看來，做數(shù)學(xué)研究就是“但行好事，莫問前程”。他說：“無論如何，如果你喜歡數(shù)學(xué)，對(duì)某個(gè)問題很有興趣，那就堅(jiān)持去做。在未來的某個(gè)點(diǎn)，你會(huì)獲得你應(yīng)有的收獲?！?/p>

郭帥（左）與合作者李駿