擬凸函數(shù)的Simpson型分數(shù)階積分不等式

白淑萍

（內(nèi)蒙古民族大學數(shù)理學院，內(nèi)蒙古 通遼 028043）

凸函數(shù)是一個簡單而自然的概念，在數(shù)學規(guī)劃論、博弈論、數(shù)理經(jīng)濟學、逼近論、變分學、最優(yōu)控制論等領域具有重要的理論意義和廣泛的應用前景.但是在經(jīng)濟學中和許多優(yōu)化問題的數(shù)學模型中遇到的函數(shù)往往很難滿足凸性的要求，只能退而求其次，考慮較弱的廣義凸函數(shù).歷史上，第一種廣義凸函數(shù)是由FINETTI［1］于1949年提出，由FENCHEL［2］于1953年命名的擬凸函數(shù)，其在適當放寬凸性條件的同時，還保留了凸函數(shù)某些重要的有用性質(zhì)，其實用的范圍卻比凸函數(shù)要廣，是凸函數(shù)的拓廣與發(fā)展.筆者在分數(shù)階積分基礎上，研究了擬凸函數(shù)在不等式方面的應用，建立了擬凸函數(shù)的Simpson型積分不等式，并給出了其誤差估計.

1 預備知識

定義1［1-2］設I為實數(shù)軸R上的任一區(qū)間，f(x)是區(qū)間I上的函數(shù)，如果對于?a,b∈I,a＜b，?λ∈[0,1]，有

則稱函數(shù)f(x)是區(qū)間I上的擬凸函數(shù).

定義2［3］設(a,b)為實數(shù)軸R上的區(qū)間，其中a＜b且a,b∈[-∞,+∞].如果 Re(α)＞0 ，α是一個復數(shù)，函數(shù)則

和

分別稱為左邊、右邊的Katugampola分數(shù)階積分，函數(shù)空間如下：

其中

Katugampola分數(shù)階積分也稱為ρ-Riemann-Liouville分數(shù)階積分［4］，它推廣了Riemann-Liouville分數(shù)階積分和Hadamard分數(shù)階積分［5］：

和

下面的不等式是著名的Simpson不等式.

定理1［7］設f:[ ]a,b→R在區(qū)間[ ]a,b內(nèi)是連續(xù)可微的，有

在文獻［8］，HAI等建立了如下等式.

引理1［8］設是一個可微函數(shù)，其中，則對于?α＞0,?x∈(a,b)，下面的等式成立：

其中，函數(shù)f(xρ)在區(qū)間[a,b]上的Katugampola分數(shù)階積分存在.

在文獻［8］中，作者基于Katugampola分數(shù)階積分，研究了凸函數(shù)的Simpson型不等式.筆者在文獻［6］、［8］和［9］基礎上，研究擬凸函數(shù)在不等式方面的應用，建立了擬凸函數(shù)的Simpson型分數(shù)階積分不等式，并給出其誤差估計.

2 主要結(jié)論

本節(jié)筆者利用函數(shù)的擬凸性和引理1建立一些新的Simpson型分數(shù)階不等式.

其中α＞0.

證明 利用引理1以及|f′|的擬凸性得到

定理2證畢.

通過計算即得式（8），定理3證畢.

特別地，在定理3中分別取r=0、r=1和r=q時，可以得到：

和

和

類似定理3的證明方法，還可以得到下述結(jié)論：

通過計算即得式（12），定理4證畢.

特別地，在定理4的不等式中取r=1、r=q和r=qα時，可以得到：

和

和

注：在式（7）～（15）中當ρ→1時取極限，即得到基于Riemann-Liouville分數(shù)階積分的相關結(jié)論.