問題引導(dǎo)下的探究式課堂教學(xué)的實踐與探索——以格林公式的教學(xué)為例

廖春艷 晏玉梅 劉春梅

問題引導(dǎo)下的探究式課堂教學(xué)的實踐與探索——以格林公式的教學(xué)為例

廖春艷 晏玉梅 劉春梅

(湖南科技學(xué)院 理學(xué)院，湖南 永州 425199)

探討問題引導(dǎo)下的探究式課堂教學(xué)模式。通過實際背景引入課題，圍繞“以學(xué)生為中心”的教學(xué)理念，層層設(shè)計問題引出知識目標格林公式。由公式的類比猜想及驗證猜想的過程逐步得出格林公式成立的條件和結(jié)論。教學(xué)中避免了直接給出結(jié)論及證明的突兀，從簡單到具體，從抽象到實用，精心設(shè)計教學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)的障礙和難關(guān)。

格林公式；探究式教學(xué)；課程育人

格林公式及其證明是數(shù)學(xué)分析的重要內(nèi)容之一，在多元函數(shù)積分學(xué)的教學(xué)內(nèi)容體系中處于承上啟下、承前啟后的地位[1]。格林公式溝通了二重積分與積分區(qū)域邊界上的曲線積分之間的聯(lián)系，不僅給出了一個有效的計算平面曲線積分的方法，而且給出了一種已知邊界曲線方程的平面區(qū)域面積的計算方法，在實際中有著廣泛的應(yīng)用[2]。但是在教學(xué)中，格林公式的理論性較強，很多學(xué)生難以理解公式中的條件和結(jié)論究竟是如何得出，學(xué)生使用格林公式時經(jīng)常出錯，如何設(shè)計符合學(xué)生認知規(guī)律的課堂教學(xué)來引導(dǎo)學(xué)生更好地理解和掌握格林公式至關(guān)重要。

1 教學(xué)設(shè)計思路

本次教學(xué)內(nèi)容設(shè)計的主要特點在于：本課主要從實際生活情境入手引入課題，通過設(shè)置問題：GPS面積測量儀的原理是什么呢？切入今天的主題。以學(xué)生熟知的牛頓-萊布尼茨公式為切入點，對照格林公式，通過類比聯(lián)想的方式，闡釋清楚格林公式表達的意思。通過介紹單連通區(qū)域的概念、復(fù)連通區(qū)域的概念、邊界曲線正向的概念，為格林公式的理解與應(yīng)用以及后續(xù)部分內(nèi)容的講授做準備。最后首尾呼應(yīng)，利用格林公式去解決開始上課提出的GPS面積測量儀的問題。

本課將問題式、探究式、研討式、啟發(fā)式等教學(xué)法貫穿始終，通過層層遞進的問題探究逐步形成格林公式理論的條件和結(jié)論。在進行教學(xué)設(shè)計時充分考慮了學(xué)生的學(xué)情，通過創(chuàng)設(shè)情境，用豐富的生活實例、數(shù)學(xué)史、豐富多彩的圖片，將抽象的數(shù)學(xué)問題生動地展現(xiàn)在學(xué)生面前，并通過嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)得出格林公式，并將其應(yīng)用到實際生活中，讓學(xué)生領(lǐng)略一個有觀察、有猜想、有推理、有證明、有應(yīng)用的數(shù)學(xué)教學(xué)過程[3]。在格林公式推導(dǎo)的教學(xué)過程中充分發(fā)揮多媒體的優(yōu)勢，結(jié)合板書，通過師生間的互動，逐步地給出格林公式的證明。

2 教學(xué)過程

2.1 創(chuàng)設(shè)問題情境，提出知識目標

通過現(xiàn)代“麥客”拿著GPS面積測量儀開著收割機仗劍江湖的實際背景介紹引入今天的探究主題，激發(fā)了學(xué)生的求知欲。從數(shù)學(xué)角度考慮現(xiàn)代科技助力農(nóng)業(yè)發(fā)展，并提出探究問題。

探究問題一：GPS面積測量儀的原理是什么呢？究竟里面蘊含了什么樣的數(shù)學(xué)知識?

今天我們來學(xué)習(xí)一個綠色環(huán)保的公式，從而引出今天學(xué)習(xí)的主題：格林公式。回顧上節(jié)課我們學(xué)習(xí)過的第二型曲線積分，那么請同學(xué)們思考下面兩個問題能否利用曲線積分的定義來進行求解。

探究問題二：能否將第二型曲線積分轉(zhuǎn)化為定積分進行求解？

引導(dǎo)學(xué)生分組自主研討，并由每一小組分享討論結(jié)論：在例1中，積分路徑的方程不清楚，自然無法將其轉(zhuǎn)化成定積分來進行求解，而對于例2，同學(xué)在研討的過程中深切體會到當被積函數(shù)和積分路徑較復(fù)雜的時候，轉(zhuǎn)化成定積分進行求解非常困難甚至可能無法計算，怎么辦呢？能否找到一種更加有效的方法來計算第二型曲線積分。

2.2 探究猜想，引出公式

啟發(fā)思考：我們在上學(xué)期一元函數(shù)積分學(xué)中，為了解決定積分的計算困難，學(xué)過一個非常牛的公式，牛頓-萊布尼茨公式，這個公式將定積分在區(qū)間內(nèi)的定積分轉(zhuǎn)化為原函數(shù)在區(qū)間的兩個端點處的函數(shù)值之差，還記得是什么公式嗎？沒錯，牛頓-萊布尼茨公式。

2.3 嚴密論證，得出結(jié)論

圖1 區(qū)域D即是X型的又是Y型的區(qū)域

由圖1可知：將有向曲線分成兩段，利用第二型曲線積分的計算公式。

不難發(fā)現(xiàn)，式(6)右側(cè)這個累次積分實際上就是平面區(qū)域上的二重積分，綜合以上分析過程就得到

接下來引導(dǎo)學(xué)生自主得出型區(qū)域下為

探究問題四：對于更加復(fù)雜的區(qū)域，前面的等式是否仍然成立？

在這里引導(dǎo)學(xué)生利用轉(zhuǎn)化的思想，將未知化為已知的情形進行求解非型、型的區(qū)域及復(fù)連通區(qū)域下上述公式也是成立的。具體證明過程這里就不再贅述了。梳理證明的條件，整合結(jié)論，得到格林公式。

其中是的取正向的邊界曲線。

2.4 數(shù)學(xué)史的融入

格林是現(xiàn)代位勢理論的先驅(qū)與奠基人之一。短促的一生，格林留下的著作為數(shù)雖然不多，卻包含了影響19世紀數(shù)學(xué)物理發(fā)展的寶貴思想；特別是格林那種面對各類挫折、自強不息、自學(xué)成才的范例，深受人們贊揚。

2.5 公式的應(yīng)用，首尾呼應(yīng)

首尾呼應(yīng)，解決開始上課提出的兩個曲線積分，嘗試用格林公式來進行求解，讓學(xué)生感受到格林公式的精妙。

所以不論是一條什么樣的分段光滑的閉曲線，或正項或逆向，由格林公式得

很輕松的化解了前面無法求解的困難。

啟發(fā)式提問：能用格林公式進行求解嗎？

從以上例題可以看出，格林公式為我們提供了一種簡化積分的方法，一些看似無法求解或者較復(fù)雜的曲線積分可以利用格林公式較輕松地進行求解。同時在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生注意問題的求解過程中，格林公式的使用條件，并且引導(dǎo)學(xué)生注意條件的修補。

2.6 學(xué)以致用

這樣就得到了利用曲線積分求平面圖形面積的一種新方法，啟發(fā)學(xué)生用本次新課所學(xué)的格林公式以及以前的知識對開始提出的GPS面積測量儀的數(shù)學(xué)原理進行研究及討論。既呼應(yīng)課前的引入又使學(xué)生能將學(xué)到的內(nèi)容加以應(yīng)用。

圖2 行進路線圖

利用格林公式，通過算出每一段第二型曲線積分，進而得到所圍繞區(qū)域的近似面積。

這樣就得到了所要測量區(qū)域的近似面積。

2.7 歸納總結(jié)，知識升華，落腳課程育人

利用格林公式計算第二型曲線積分避免了將曲線積分轉(zhuǎn)化為定積分的過程中參數(shù)替代的困難，在很多曲線積分的計算過程中極大簡化了計算的難度。格林公式是從一維的牛頓-萊布尼茨公式過渡到三維高斯公式、斯托克斯公式的過程中至關(guān)重要的一步?？偨Y(jié)公式所蘊含的規(guī)律，回顧由牛頓-萊布尼茨公式類比猜想到格林公式的過程，并提出猜想：這種由整體積分運算轉(zhuǎn)化為區(qū)域邊界上的積分運算能否推廣到三重積分中去，若能，推廣后的情形可能會是什么樣的呢？讓學(xué)生對于多元積分學(xué)知識體系中的格林公式、高斯公式、斯托克斯公式有初步的理解。

通過面積測量儀等現(xiàn)代科技助力農(nóng)業(yè)發(fā)展背景的介紹，融入育人元素：農(nóng)業(yè)生產(chǎn)至關(guān)重要，“手中有糧，心中不慌”，堅持底線思維。要讓“中國飯碗”不缺糧、裝好糧，就要讓國家糧食更安全，讓農(nóng)業(yè)質(zhì)量更牢靠。新“麥客”是農(nóng)業(yè)生產(chǎn)新時代的產(chǎn)物，反過來新“麥客”又見證著農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的新時代。這個時代是農(nóng)業(yè)蓬勃發(fā)展的時代，是農(nóng)民顯著增收的時代，是農(nóng)村日新月異的時代。引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，并鼓勵學(xué)生學(xué)好科學(xué)文化知識，在新時代還將演繹出更多精彩！同時“手中有糧，心中不慌”，還有另外一層含義，學(xué)生只有源源不斷的補充新技術(shù)、新知識，與時俱進，才能跟上時代的步伐。從課程育人的角度，讓傳統(tǒng)的、枯燥的數(shù)學(xué)知識煥發(fā)時代的色彩，實現(xiàn)從知識傳授到價值塑造的升華。

2.8 公式的遞進式思考，鞏固知識

這就是下一節(jié)課要深入探討的一類問題，給學(xué)生留下懸念，課堂起始于問題，結(jié)束于產(chǎn)生的新問題，在從一個問題走向另一個問題的過程中完成知識的內(nèi)化。

4 結(jié) 語

在本課的教學(xué)過程中，從情景引入到層層遞進的探究問題都圍繞著學(xué)生的學(xué)，積極調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)興趣與熱情，引導(dǎo)學(xué)生進行主動探究，讓學(xué)生自己主動探究出格林公式，并逐步完善格林公式使用的條件，進而培養(yǎng)學(xué)生的問題意識和科學(xué)精神，構(gòu)建創(chuàng)新思維。

[1]華東師范大學(xué)大數(shù)學(xué)學(xué)院.數(shù)學(xué)分析：下冊[M].5版.北京:高等教育出版社,2019:209-211.

[2]周敏,孫浩,王奕昊.格林公式及其證明教學(xué)設(shè)計[J].高等數(shù)學(xué)研究,2019,22(2):42-45.

[3]廖春艷,趙艷輝,唐偉國.基于生活的課堂教學(xué)設(shè)計案例分析:以求旋轉(zhuǎn)體體積為例[J].湖南科技學(xué)院學(xué)報,2019,40(5): 7-9.

[4]吳婷.格林公式及其應(yīng)用的教學(xué)設(shè)計[J].內(nèi)江科技,2020,41 (11):20-21.

O171；G642.1

A

1673-2219（2021）05-0103-04

2021-01-26

2021年湖南科技學(xué)院教改項目（XKYJ2021007）；2020年湖南科技學(xué)院教改項目：“一流專業(yè)”建設(shè)點專項（XKYJ2020059）；2020年湖南科技學(xué)院教改項目（XKYJ2020001）。

廖春艷（1984－），女，江西吉安人，碩士，講師，研究方向為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。晏玉梅（1986－），女，湖南婁底人，碩士，講師，研究方向為證據(jù)理論及其應(yīng)用。劉春梅（1981－），女，山東濟寧人，博士，副教授，研究方向為區(qū)域分解及多重網(wǎng)格法、快速算法等。

（責(zé)任編校：宮彥軍）