一種低軌星座高精度相位保持方法

劉 奇,向開恒,趙書閣,賀 泉,李小玉,張 楠

(1.航天科工空間工程發(fā)展有限公司,北京 100854；2.中國航天科工集團(tuán)有限公司空間工程總體部,北京 100854)

0 引 言

近年來,利用大型低軌星座向全球提供寬帶接入受到了廣泛的關(guān)注[1],而星座構(gòu)型穩(wěn)定是星座發(fā)揮其正常功能的基礎(chǔ)[2]。理論上,Walker星座中衛(wèi)星之間的相對位置關(guān)系保持不變,但是由于衛(wèi)星的入軌偏差及攝動力的不同,星座構(gòu)型發(fā)散,從而影響星座的覆蓋特性及任務(wù)實現(xiàn),如何維持大型星座的構(gòu)型穩(wěn)定是大型星座在軌運(yùn)行面臨的一個關(guān)鍵問題[3]。

Walker星座構(gòu)型保持的目標(biāo)可以分解為以下三個方面：1)保持同軌道面衛(wèi)星同間隔分布,同時還要保持與相鄰軌道面的衛(wèi)星之間的相對相位關(guān)系。2)保持軌道平面的等間隔性。3)保持星座整體的軌道高度與設(shè)計值的偏差不超過容許值。其中最重要的是第一方面,因為其對星座覆蓋的影響最大,此外,通常也稱其為相位保持[4]。

根據(jù)相位保持方法是控制每一顆衛(wèi)星的絕對位置還是控制各衛(wèi)星之間的相對位置,可以將相位保持分為絕對相位保持和相對相位保持。絕對相位保持為每一顆衛(wèi)星規(guī)劃相位時間歷程,通過施加控制,使每一顆衛(wèi)星的相位保持在其參考相位附近。相對相位保持的控制目標(biāo)由每一顆衛(wèi)星的絕對位置保持變?yōu)楦餍l(wèi)星之間的相對位置保持,相對相位保持只修正星座內(nèi)各衛(wèi)星所受攝動的不同部分,對攝動的相同部分不予修正[4]。絕對相位保持的控制方法比較成熟可靠,有一定的工程應(yīng)用基礎(chǔ),可以適用于任何星座[5]。此外,通過相位參考值的設(shè)置,絕對相位保持還可以同時實現(xiàn)軌道高度的維持。本文所提方法采用絕對相位保持。對于星座內(nèi)的每一顆衛(wèi)星,相位保持方法相同,僅參考相位不同,因此后續(xù)不針對星座展開描述,直接針對單顆衛(wèi)星展開描述。

相位保持方法包括攝動補(bǔ)償方法[5-6]、微分修正方法[7]和極限環(huán)保持方法[8]等,攝動補(bǔ)償方法和微分修正方法的控制目標(biāo)量都為終端時刻的狀態(tài)量,并不包括整個時間歷程內(nèi)的狀態(tài)量,僅適用于單邊漂移的長期保持問題,相位保持精度超過1°[7],并不適用于相位保持范圍為±0.1°的高精度相位保持問題。極限環(huán)保持方法通過調(diào)整半長軸,間接實現(xiàn)相位保持在一定范圍內(nèi),適用于本文所研究的高精度相位保持問題,并且已經(jīng)應(yīng)用于靜止軌道衛(wèi)星的東西位置保持[8]。

根據(jù)本文第3章的數(shù)值仿真分析,對于某低軌衛(wèi)星相位保持任務(wù),為了實現(xiàn)平相位角偏差的瞬時軌道值(以下簡稱為“瞬軌值”)±0.1°的保持精度,平相位角偏差的平均軌道值(以下簡稱為“平軌值”)相對于參考值的變化范圍應(yīng)為±0.03°,極限環(huán)保持方法的單次半長軸改變量為28.7 m,因此,作為極限環(huán)保持方法的輸入,半長軸平軌值的確定精度應(yīng)盡量高。

對于半長軸平軌值,傳統(tǒng)計算方法通常首先確定半長軸瞬軌值,然后采用瞬時軌道要素到平均軌道要素的轉(zhuǎn)換獲得。如果采用該計算方法確定高精度的半長軸平軌值,需要時長較長、采樣間隔較短、精度較高的衛(wèi)星定軌數(shù)據(jù)[9],這將給測控系統(tǒng)帶來極大的壓力。

由于平相位角隨時間的變化趨勢主要取決于半長軸,本論文利用這一特性提出了一種基于極限環(huán)的高精度相位保持方法。該方法根據(jù)實際平相位角與參考平相位角偏差隨時間變化的零次項系數(shù)、一次項系數(shù)和二次項系數(shù),直接反演計算實際半長軸與參考半長軸的偏差初始值和偏差一階變化率,進(jìn)而確定極限環(huán)控制的軌道機(jī)動時刻以及單次軌道機(jī)動半長軸改變量,用于實現(xiàn)低軌星座系統(tǒng)高精度相位保持。本方法對衛(wèi)星的位置、速度確定精度要求不高,典型GNSS接收機(jī)的定軌精度即可滿足要求；而且不需要對衛(wèi)星位置、速度數(shù)據(jù)進(jìn)行高頻率采樣,僅僅需要間隔一定時間(例如每隔一天)的位置、速度數(shù)據(jù)作為相位保持的輸入即可,從而可以滿足低軌大型星座自主相位保持需求。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 基于極限環(huán)的相位保持方法概述

低軌衛(wèi)星在大氣阻力的影響下,軌道高度產(chǎn)生變化導(dǎo)致衛(wèi)星的相位相對于參考相位發(fā)生持續(xù)漂移,相位保持通過施加控制,使衛(wèi)星的相位保持在其參考相位附近。本文的參考相位時間歷程選取為衛(wèi)星軌道半長軸、偏心率以及軌道傾角不變的條件下的相應(yīng)值,參考相位對應(yīng)的軌道稱為參考軌道,衛(wèi)星實際軌道要素與相應(yīng)參考軌道要素的偏差定義為軌道要素偏差。

極限環(huán)保持方法的半長軸偏差與相位偏差的關(guān)系示意圖如圖1所示。由于大氣阻力的作用,衛(wèi)星半長軸減小,相位變化率逐漸增大,當(dāng)衛(wèi)星的相位偏差達(dá)到邊界C時,通過軌道機(jī)動,增大衛(wèi)星的半長軸,使衛(wèi)星的半長軸偏差由C變?yōu)锳、相位偏差變化率由正變?yōu)樨?fù),從而可以使衛(wèi)星相位偏差從邊界A向邊界B變化,并且可以通過設(shè)置軌道機(jī)動的半長軸改變量,使衛(wèi)星相位偏差達(dá)到邊界B時的相位偏差變化率為零,之后衛(wèi)星相位偏差從邊界B向邊界C變化,衛(wèi)星的相位偏差變化率由零變?yōu)檎?并在相位偏差達(dá)到邊界C時,再次執(zhí)行半長軸增大軌道機(jī)動,從而可以將相位偏差保持在Δλmin與Δλmax之間。

圖1 極限環(huán)相位保持方法：半長軸偏差與相位偏差的關(guān)系示意圖Fig.1 Phase keeping method based on limit cycle:The relationship between semimajor axis difference and phase angle difference

1.2 平均軌道要素

平均軌道要素在衛(wèi)星星座設(shè)計中意義重大,使用合適的瞬時軌道要素與平均軌道要素間的轉(zhuǎn)換公式,可以設(shè)計出構(gòu)形更穩(wěn)定的星座,減少相位維持所消耗的燃料[10]。同時,為了減小短周期項對軌道控制的影響,采用平均軌道要素作為相位保持軌道控制的輸入[11]。本文提到的平均軌道要素指的是去除地球非球形帶諧主項、田諧主項和大氣阻力導(dǎo)致短周期項的擬平均軌道要素,其中的短周期項包括以(半)軌道周期和以(半)天為周期的周期項。

影響低軌衛(wèi)星星座構(gòu)形穩(wěn)定性的主要攝動源包括地球非球形攝動和大氣阻力攝動。地球非球形可分為帶諧項和田諧項,帶諧項與經(jīng)度無關(guān),主要帶諧項J2,J3,J4是地球非球形引力位中對衛(wèi)星影響最顯著的部分[12],文獻(xiàn)[13]給出了帶諧主項導(dǎo)致的一階短周期項公式。從地球非球形引力位的角度來看,帶諧項是反映地球扁率效應(yīng)的,而田諧項是反映地球赤道橢率效應(yīng)的。文獻(xiàn)[14]給出了田諧主項J22導(dǎo)致的短周期項公式。

考慮到單個相位保持周期約為十幾到幾十天,而田諧項主項J22導(dǎo)致的平相位角的短周期項的周期為0.5天,幅度約為0.0055°左右,所以在進(jìn)行瞬時軌道要素到平均軌道要素轉(zhuǎn)換時,相對于已有方法通常僅考慮地球帶諧主項J2,J3,J4的影響,本文同時考慮了田諧主項J22的影響。

大氣密度隨高度增加而減小,其規(guī)律大致隨高度呈指數(shù)遞減。本文為了驗證所提方法的可行性,采用一種簡化的大氣模型,美國標(biāo)準(zhǔn)大氣模型(US 1976 Standard Atmospheric Density Model)。文獻(xiàn)[9]給出了在該模型下大氣阻力導(dǎo)致的衛(wèi)星運(yùn)動短周期項公式。

本文采用單點數(shù)據(jù)解析計算平均軌道要素,即基于瞬時軌道要素迭代計算短周期項,進(jìn)而確定平均軌道要素。相對于遞推方法或濾波方法[15],該方法的優(yōu)點是在只有單個采樣點定軌數(shù)據(jù)的情況下,可以直接確定該時刻的平均軌道要素,適用于定軌數(shù)據(jù)采樣間隔較大的軌道控制問題。

表1和圖2對比了分別去除帶諧主項、田諧主項和大氣阻力導(dǎo)致的短周期項后相位角偏差平軌值的波動情況,以分析不同攝動因素的影響大小。瞬軌值σo與去除帶諧主項導(dǎo)致的短周期項的平軌值σm1的偏差振幅約為5.5×10-2(°),去除帶諧主項導(dǎo)致的短周期項的平軌值σm1與去除帶諧主項和田諧主項導(dǎo)致的短周期項的平軌值σm2的偏差振幅約5.5×10-3(°),去除帶諧主項和田諧主項導(dǎo)致的短周期項的平軌值σm2與去除帶諧主項、田諧主項和標(biāo)準(zhǔn)大氣阻力導(dǎo)致的短周期項的平軌值σm3的偏差振幅約為7.9×10-8(°)。帶諧主項導(dǎo)致平相位角偏差振蕩幅度最大,田諧主項導(dǎo)致的振蕩幅度比帶諧主項導(dǎo)致的振蕩幅度低1個量級,大氣阻力導(dǎo)致的振蕩幅度比田諧主項導(dǎo)致的振蕩幅度低5個量級。圖2還表明帶諧主項和田諧主項導(dǎo)致平相位角偏差振蕩周期分別為0.5個軌道周期和0.5天。

圖2 相位角偏差短周期項時間歷程Fig.2 Time history of short-periodic terms of phase angle difference

對于本文研究的近圓軌道,大氣阻力導(dǎo)致的平相位角短周期項振幅遠(yuǎn)小于相位保持范圍,在進(jìn)行瞬時軌道要素到平均軌道要素轉(zhuǎn)換時,可以不考慮大氣阻力的影響,為了結(jié)果的完整性以及后續(xù)應(yīng)用拓展,本文考慮了大氣阻力導(dǎo)致的短周期項。

2 相位保持方法

2.1 半長軸偏差與相位偏差的關(guān)系

將衛(wèi)星的近地點幅角ω與平近點角M之和定義為衛(wèi)星的平相位角λ,本節(jié)建立平相位角偏差Δλ隨時間變化的一次項系數(shù)、二次項系數(shù)與半長軸偏差初始值、半長軸偏差一階變化率的關(guān)系。

在考慮地球中心引力場、地球非球形J2項以及大氣阻力的情況下,平相位角變化率的解析表達(dá)式為[13]

(1)

為了在進(jìn)行相位保持的過程中,同時實現(xiàn)軌道高度的維持,參考平相位角取為軌道半長軸、偏心率和軌道傾角均為常值對應(yīng)的平相位角,從而參考平相位角變化率的解析表達(dá)式為

(2)

式中：下標(biāo)c為參考軌道的相應(yīng)軌道要素。式(1)與式(2)均為三項分量之和,接下來通過一個數(shù)值算例對比式(1)的三項分量與式(2)的三項分量之差的量級。表2給出用于平相位角變化率各分量量級對比的實際軌道和參考軌道的軌道要素,表3給出了實際平相位角變化率的各分量與參考平相位角變化率的相應(yīng)分量的偏差。結(jié)果表明：后兩項分量偏差的絕對值之和與第一項分量絕對值偏差之比為O(10-3),因此,式(1)與式(2)作差,后兩項分量的差可以省略,平相位角偏差Δλ的一階時間導(dǎo)數(shù)近似如下：

表3 平相位角變化率偏差Table 3 Mean phase angle change rate difference

(3)

式中:n的一階時間導(dǎo)數(shù)為

(4)

由于相位保持過程中,實際半長軸接近參考半長軸,并且半長軸的一階變化率主要由大氣阻力導(dǎo)致,所以上式可以近似為

(5)

(6)

(7)

式中:Δλ0為初始時刻的平相位角偏差。

令

Δλ1=n0-nc

(8)

(9)

可以看出：Δλ0、Δλ1和Δλ2分別是平相位角偏差隨時間變化的零次項系數(shù)、一次項系數(shù)和二次項系數(shù)。則式(7)可改寫為

Δλ=Δλ0+Δλ1(t-t0)+Δλ2(t-t0)2

(10)

(11)

將上式代入式(8)可得

(12)

式中:Δa0=(a0-ac),為實際半長軸的初始值與參考半長軸的偏差,故Δa0可以由系數(shù)Δλ1確定。

(13)

(14)

2.2 極限環(huán)的周期以及半長軸改變量

由于衛(wèi)星從控制極限環(huán)的邊界B(對應(yīng)的平相位角差為Δλmin)自由漂移到邊界C(對應(yīng)的平相位角偏差為Δλmax)的時間為半個相位保持周期(ΔT/2),并且衛(wèi)星處于邊界B時,實際半長軸等于參考半長軸。以衛(wèi)星處于邊界B為初始時刻,衛(wèi)星處于邊界C為終端時刻,從而此場景下,由于初始時刻實際半長軸等于參考半長軸,從而Δλ1=0,因此,可以獲得

(15)

則相位保持的周期為

(16)

所以,在一個相位保持周期,半長軸的衰減量為

(17)

從而,相位保持軌道機(jī)動的半長軸偏差目標(biāo)值為

(18)

在衛(wèi)星達(dá)到邊界C時,衛(wèi)星軌道機(jī)動的半長軸改變量為

δa=ΔaT-Δaf

(19)

式中:Δaf是衛(wèi)星達(dá)到邊界C時實際半長軸偏差,

(20)

式中:tf是衛(wèi)星到達(dá)邊界C的時刻。

對于近圓軌道,半長軸改變量δa所需切向速度增量為[16]

(21)

2.3 相位保持實施方法

本節(jié)基于以上兩節(jié)獲得的半長軸偏差與相位偏差的關(guān)系以及極限環(huán)的周期、半長軸改變量確定方法,給出一種相位保持實施方法。

不妨假設(shè)任務(wù)開始時刻,衛(wèi)星的平相位角已經(jīng)調(diào)整到保持區(qū)間內(nèi),將整個任務(wù)的開始時刻作為第一個相位保持周期的初始時刻,由于每一個相位保持周期的實施方法相同,重復(fù)采用一個相位保持周期的保持方法,即可實現(xiàn)整個任務(wù)周期的相位保持。接下來給出一個相位保持周期的相位保持實施方法,對應(yīng)的實施框圖如圖3所示。

圖3 相位保持實施框圖Fig.3 Flow chart of phase keeping implementation

1)從初始時刻開始,每隔一定時長采樣一次衛(wèi)星的位置和速度數(shù)據(jù),采用1.2節(jié)的方法,將其轉(zhuǎn)化為平相位角的平軌值,并將其與相應(yīng)時刻的參考平相位角作差,獲得已采樣時刻的平相位角偏差,轉(zhuǎn)到步驟2)。

2)基于采樣時刻的平相位角偏差數(shù)據(jù),使用最小二乘法計算系數(shù)Δλ0、Δλ1和Δλ2。并基于計算獲得的系數(shù)Δλ0、Δλ1和Δλ2,預(yù)測下一采樣時刻的平相位角偏差Δλnext,轉(zhuǎn)到步驟3)。

3)如果Δλnext<Δλmax,在當(dāng)前采樣時刻至下一采樣時刻不施加相位保持軌道機(jī)動,轉(zhuǎn)到步驟4)；如果Δλnext≥Δλmax,則在當(dāng)前采樣時刻至下一采樣時刻期間施加相位保持軌道機(jī)動,轉(zhuǎn)到步驟5)。

4)獲得下一采樣時刻的平相位角偏差采樣數(shù)據(jù)后,與已有的平相位角偏差數(shù)據(jù)組合,轉(zhuǎn)到步驟2)。

3 仿真校驗與分析

3.1 仿真校驗條件設(shè)置

本節(jié)通過實際的相位保持任務(wù)驗證本文提出方法的有效性,仿真算例的衛(wèi)星參考軌道高度取為800 km,初始軌道要素見表4。衛(wèi)星的初始質(zhì)量取為200 kg,太陽帆板面積取為3.5 m2,相位保持任務(wù)周期取為180天,定軌數(shù)據(jù)采樣間隔取為1天,三軸位置確定誤差取為10 m(1σ),三軸速度確定誤差取為0.1 m/s(1σ)。

表4初始瞬時軌道根數(shù)Table 4 Initial osculating orbit elements

假設(shè)任務(wù)要求將平相位角偏差的瞬軌值保持在±0.1°的區(qū)間內(nèi),根據(jù)文獻(xiàn)[13]的地球帶諧主項導(dǎo)致的短周期項公式,由地球帶諧主項導(dǎo)致的平相位角偏差瞬軌值振幅約為0.055°；根據(jù)文獻(xiàn)[14]的地球田諧主項導(dǎo)致的短周期項公式,由地球田諧主項導(dǎo)致的平相位角偏差瞬軌值振幅約為0.0055°；根據(jù)文獻(xiàn)[9]的大氣阻力主項導(dǎo)致的的短周期項公式,由大氣阻力導(dǎo)致的平相位角偏差瞬軌值振幅約為7.9×10-8(°),綜合瞬平轉(zhuǎn)換中未考慮到的高階短周期項,且保留一定控制裕度,將平相位角偏差的平軌值保持在區(qū)間[-0.03°,0.03°]內(nèi),即Δλmin=-0.03°,Δλmax=0.03°。

在半長軸隨大氣阻力嚴(yán)格一階線性變化的理想條件下,采用解析方法,根據(jù)式(16)計算獲得的單個極限環(huán)保持周期為14.87天,根據(jù)式(17)計算獲得的極限環(huán)單次控制半長軸改變量為30.06 m。

數(shù)值仿真的主要目的是驗證所提方法的有效性,因此在建模中只考慮了對低軌衛(wèi)星影響最大的地球非球形和大氣阻力攝動。地球非球形攝動采用WGS84-EGM96模型,Degree和Order設(shè)為4,大氣阻力攝動采用US 1976 Standard Atmospheric Density Model。仿真開始時間為1st Jan 2020 00:00:00.000 UTCG。

3.2 仿真結(jié)果與分析

采用本文提出的相位保持方法進(jìn)行數(shù)值仿真,相位保持全任務(wù)周期和某一相位保持周期的平相位角偏差時間歷程如圖4所示,圖中點劃線、虛線、實線、點線分別代表瞬軌值、僅去除帶諧主項導(dǎo)致的短周期項的平軌值、進(jìn)一步去除田諧主項導(dǎo)致的短周期項的平軌值、進(jìn)一步去除大氣阻力導(dǎo)致的短周期項的平軌值。圖中實線和點線基本重合,是因為由大氣阻力導(dǎo)致的振蕩幅度太小,比田諧主項導(dǎo)致的振蕩幅度低5個量級。從圖(a)的全任務(wù)周期的仿真結(jié)果可以看出平相位角瞬軌值偏差控制在±0.1°以內(nèi),平相位角平軌值偏差基本上保持在±0.03°以內(nèi),本文所提方法實現(xiàn)了預(yù)期的高精度相位保持,仿真結(jié)果驗證了本文所提方法的有效性。從圖(b)的某一相位保持周期的仿真結(jié)果可以看出：在去除帶諧項導(dǎo)致的短周期項的基礎(chǔ)上,再去除田諧項導(dǎo)致的短周期項,可以進(jìn)一步去除田諧項導(dǎo)致的軌道周期為0.5天的振蕩項,證明了本相位保持方法在進(jìn)行瞬平軌道轉(zhuǎn)換時,去除田諧項導(dǎo)致的短周期項的作用。

圖4 平相位角偏差時間歷程Fig.4 Time history of mean phase angle difference

軌道機(jī)動時刻以及半長軸改變量的統(tǒng)計結(jié)果見表5,從表中可以看出單個相位保持周期的時長平均值為15.40天,單次軌道機(jī)動半長軸改變量平均值為28.70 m,分別與上一節(jié)獲得的半長軸隨大氣阻力嚴(yán)格線性變化的理想條件下的保持周期時長、單次軌道機(jī)動半長軸改變量相對偏差都在5%以內(nèi)。

表5 軌道機(jī)動時刻以及半長軸改變量Table 5 Orbital maneuver epoch and semimajor axis change

半長軸平軌值偏差時間歷程如圖5所示,圖中信息表明,即使在瞬平轉(zhuǎn)換之中去掉了由帶諧主項、田諧主項和大氣阻力導(dǎo)致的短周期項,半長軸平軌值偏差仍然存在百米級的振蕩,相應(yīng)絕對值的平均值為34.42 m。因此,利用瞬時軌道要素單點值直接計算短周期項,進(jìn)而確定相應(yīng)時刻的半長軸平軌值,無法滿足高精度相位保持的需要。雖然采用遞推法或濾波方法可以大幅度提高半長軸平軌值的確定精度[9],但這類方法需要采用間隔較短、時長較長的觀測數(shù)據(jù),對于星座規(guī)模較大的低軌星座,這將極大增加測控系統(tǒng)的運(yùn)行成本和復(fù)雜度。

圖5 半長軸平軌值偏差時間歷程Fig.5 Time history of mean semimajor axis difference

因此,本文所提方法通過平相位角偏差反演半長軸偏差變化率和偏差初值,在衛(wèi)星定軌精度不高、采樣間隔時間較長的情況下,能實現(xiàn)星座系統(tǒng)的高精度相位保持,具有很大優(yōu)勢。

4 結(jié) 論

本文提出了基于極限環(huán)的高精度相位保持方法,該方法創(chuàng)新性地建立了平相位角偏差與平半長軸偏差的關(guān)系,并利用平相位角偏差隨時間變化的趨勢,直接反演計算實際半長軸與參考半長軸的偏差,進(jìn)而確定相位保持半長軸改變量,用于實現(xiàn)低軌星座系統(tǒng)高精度相位保持。本文提出的方法可以在衛(wèi)星定軌精度不高、采樣間隔較大的情況下實現(xiàn)衛(wèi)星高精度相位保持,避免了半長軸平軌值直接確定精度較低帶來的相位保持效果較差的問題,具有較大的工程應(yīng)用價值。

本文提出的相位保持方法雖然是針對單顆衛(wèi)星展開描述的,但對于大規(guī)模低軌星座系統(tǒng),在每顆衛(wèi)星選取相應(yīng)參考相位的情況下,可以用于實現(xiàn)低軌星座系統(tǒng)的高精度相位保持。