巧用數(shù)學(xué)幾何直觀 融圖式于課堂說理

黃淑瓊

（福建省莆田市茘城區(qū)黃石沙堤中心小學(xué)，福建莆田 351144）

引 言

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。”新課程理念也提出了數(shù)學(xué)教學(xué)中教師應(yīng)重視對直觀方法的運(yùn)用，增加了“幾何直觀”的核心概念[1]。基于此，探索如何借助“圖式相融”之法讓數(shù)學(xué)高效學(xué)習(xí)在課堂上真正發(fā)生，有利于實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的目標(biāo)。

一、識圖助探究，明晰概念本質(zhì)

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識體系的基礎(chǔ)，因此概念教學(xué)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中極為重要。但在具體的實(shí)踐教學(xué)過程中，常有教師反映，難以找到有效的教學(xué)方法引導(dǎo)學(xué)生掌握概念，只能讓學(xué)生對概念進(jìn)行反復(fù)記憶，這導(dǎo)致學(xué)生很難從本質(zhì)上理解概念并加以運(yùn)用。正如德國科學(xué)家康德所說：“缺乏概念的直觀是空虛的，缺乏直觀的概念是盲目的?！苯處熑绻诮虒W(xué)中可以把概念中抽象的、空泛的、靜止的知識轉(zhuǎn)化成形象的、動態(tài)的圖示，將有利于學(xué)生對概念的理解與運(yùn)用。

例如，教學(xué)人教版數(shù)學(xué)三年級（上冊）“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”時(shí)，教師可以通過“鋪墊—思辨—提升”三個(gè)環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生借助圖示探索分?jǐn)?shù)的意義。在鋪墊環(huán)節(jié)，教師可以出示一塊糕點(diǎn)，提出要平均分給3 個(gè)同學(xué)，每個(gè)同學(xué)能分到多少？在學(xué)生答出個(gè)后，教師追問學(xué)生是怎樣思考的。學(xué)生在討論后得出結(jié)論：把一塊糕點(diǎn)平均分成3 份，每個(gè)同學(xué)分到其中的1 份，就是。接著教師出示課件，讓學(xué)生判斷哪幅圖可以表示剛才分糕點(diǎn)的情形，并說說理由（如圖1）。

圖1

借助“思辨”環(huán)節(jié)，學(xué)生明確了單位“1”的意義。教師課件出示第二盤食物——荔枝，讓學(xué)生說說平均分給3 個(gè)學(xué)生要怎么分，學(xué)生很快就說出了“平均分”。教師和學(xué)生一起跟著課件數(shù)出一共有9 顆荔枝，學(xué)生借助圖示，通過“思辨”就能得出答案：每個(gè)同學(xué)可以分到3 顆。教師追問道：“每個(gè)同學(xué)分到3 份荔枝中的1份，也就是這些荔枝的幾分之幾？”學(xué)生齊答。教師又問：“這次分荔枝的情境還可以用剛才的哪幅圖表示呢？”學(xué)生開始思考與討論。在討論的過程中，教師不宜立即做出評價(jià)。思考過程后，學(xué)生會得出結(jié)論：第一次分，這個(gè)長方形表示1 塊糕點(diǎn)；第二次分，這個(gè)長方形表示9 顆荔枝，都可以看作一個(gè)整體。教師隨即抓住“整體”這個(gè)詞進(jìn)行小結(jié)：兩次分東西，不管是1 塊糕點(diǎn)，還是9 顆荔枝，只要是把它平均分成3 份，其中的1 份就是這個(gè)整體的。基于此，教師將分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識概念進(jìn)行了提升，順勢提問：“如果第三盤有24 顆葡萄，你能畫圖表示它的嗎？”大部分學(xué)生聽完問題馬上動手畫圖，但有一個(gè)學(xué)生舉起手說可以不用畫圖，直接用上面的圖來表示24 顆葡萄的。這位學(xué)生的回答令筆者倍感欣慰，便故作驚訝道：“這兩幅圖有這么神通廣大嗎？”師生的對話不斷升級，有效揭示了數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。

實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)概念是抽象的，要想讓學(xué)生學(xué)得輕松又深刻，借助圖示直觀展現(xiàn)概念本質(zhì)是行之有效的方法之一。

二、畫圖明題意，厘清數(shù)量關(guān)系

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的學(xué)科，正確掌握數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，特別是一些行程問題的數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，多數(shù)學(xué)生很難在短時(shí)間內(nèi)理解題意。因此，引導(dǎo)和幫助學(xué)生通過畫圖的方式來理解知識，將有利于幫助學(xué)生厘清數(shù)量關(guān)系，找到解題的突破口。

如下面這道六年級的數(shù)學(xué)問題：

一段10 千米長的窄路，只能供一輛車通過。若兩車相遇，需其中一輛車倒退到窄路一端后才能通過。一輛小汽車和一輛大卡車在這段窄路上相向行駛，相遇時(shí)，它們的路程比是3 ∶2。已知小汽車和大卡車的速度分別是40 千米/時(shí)和20 千米/時(shí)，兩車倒退的速度是各自速度的，問：（1）相遇時(shí)，兩車在這段窄路上各自行駛了多少千米？（2）從兩車相遇到都通過這段窄路，最少需要多長時(shí)間？

這道題信息量較多，數(shù)量關(guān)系稍顯復(fù)雜，大部分學(xué)生解題存在困惑，尤其是第（2）題。解答本題需要學(xué)生把數(shù)學(xué)問題“畫”出來，呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，從而降低解題難度（如圖2）。這也讓學(xué)生充分感受到數(shù)形結(jié)合的重要性。

圖2

通過分析線段圖，學(xué)生可以看出小汽車和大卡車行駛路程占總路程的幾分之幾，進(jìn)而列出相應(yīng)的數(shù)學(xué)算式來解答第（1）題。第（2）題的易錯(cuò)點(diǎn)是一輛車后退時(shí)要注意另一輛車的行進(jìn)速度，在后退的這段路上，兩輛車的速度是一樣的，都是后退的那輛車的速度。線段圖的直觀形象可以讓學(xué)生掃清解題過程中的易錯(cuò)點(diǎn)：學(xué)習(xí)能力一般的學(xué)生借助線段圖可以得到兩種方案，最后比較得出結(jié)論；思維能力較強(qiáng)的學(xué)生借助線段圖可以直接判斷出由小汽車后退以讓大卡車先通過的方案用時(shí)最少。線段圖將繁雜的文字?jǐn)⑹鲛D(zhuǎn)化成形象的數(shù)學(xué)圖形，把隱藏的數(shù)量關(guān)系顯現(xiàn)出來。學(xué)生在畫線段圖的過程中可以進(jìn)一步厘清題干數(shù)量關(guān)系，從而找到解題思路，得出正確的答案。

三、導(dǎo)圖助思維，表達(dá)思考過程

數(shù)學(xué)課堂上，教師要創(chuàng)造機(jī)會讓學(xué)生獨(dú)立思考、交流討論、大膽表達(dá)。而不論在思考還是在表達(dá)思考的過程中，學(xué)生都可以通過思維導(dǎo)圖的方式，對各知識點(diǎn)之間的聯(lián)系進(jìn)行推理、解構(gòu)，再整體聯(lián)系起來，從而找到解決問題的思路，得出答案。

例如，教學(xué)人教版數(shù)學(xué)六年級（下冊）復(fù)習(xí)課“平面圖形的整理與復(fù)習(xí)”時(shí)，課上，教師讓學(xué)生對單元知識進(jìn)行梳理。教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維水平存在明顯的差異性：列舉式（文字+圖形）、推導(dǎo)式（文字+圖形）、網(wǎng)絡(luò)式（圖形+文字符號）。具體如圖3所示。

圖3

三種表現(xiàn)形式都離不開文字和圖形，可見圖式在數(shù)學(xué)表達(dá)中占據(jù)重要地位。繪制圖3的學(xué)生思維水平已達(dá)到較高階段，他回顧學(xué)過的圖形面積公式，明晰這些圖形面積公式是如何推導(dǎo)出來的，架構(gòu)起這些知識間的聯(lián)系。教師利用這些思維圖，可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生借助轉(zhuǎn)化的思想將這些圖形的面積計(jì)算公式進(jìn)行變通，由此讓學(xué)生深刻體會到可以從任意一個(gè)多邊形的面積計(jì)算公式推導(dǎo)出其他多邊形的面積計(jì)算公式。

結(jié) 語

綜上所述，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師如能巧妙利用“圖式”直觀，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法，幫助學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，厘清問題中的數(shù)量關(guān)系，清晰表達(dá)解題思路，就能降低數(shù)理的學(xué)習(xí)與表達(dá)難度，使學(xué)生能夠更好地掌握數(shù)學(xué)知識。在此過程中，學(xué)生的高階思維能力及學(xué)習(xí)質(zhì)量也將會有質(zhì)的飛躍。