“軟”任務(wù)著地 尋數(shù)學(xué)本質(zhì)
——在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想

劉忠寶

（福建省漳州市長(zhǎng)泰區(qū)陳巷中心小學(xué)，福建漳州 363901）

引 言

數(shù)學(xué)思想是學(xué)生經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果，雖然也被納入教學(xué)目標(biāo)，但它的抽象性使其在某種意義上成為教師的“軟”任務(wù)。所以，很多教師在課堂上會(huì)忽略對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)。為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和解題能力，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，教師要有意識(shí)地讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵，進(jìn)而幫助學(xué)生在了解數(shù)學(xué)本質(zhì)的過(guò)程中形成基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為學(xué)習(xí)能力的提升打好基礎(chǔ)[1]。

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是學(xué)生最容易理解的一種數(shù)學(xué)思想，即將代數(shù)與圖形結(jié)合在一起來(lái)進(jìn)行相關(guān)知識(shí)理解的解題思想[2]。從實(shí)際的教學(xué)情況來(lái)看，教師在課堂上往往只告訴學(xué)生這里或那里可以用畫圖來(lái)輔助解答問(wèn)題，而學(xué)生自己在解答問(wèn)題時(shí)卻鮮有畫圖輔助的習(xí)慣。學(xué)生缺少用畫圖輔助解題的意識(shí)，在很大程度上影響了學(xué)習(xí)質(zhì)量和學(xué)習(xí)效率。那么，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，教師該如何將數(shù)形結(jié)合思想滲透到數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中呢？

（一）基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)中的滲透

近些年教材經(jīng)過(guò)了多次修訂。我們不難發(fā)現(xiàn)，插圖在教材中的占比增長(zhǎng)明顯，這恰好是教師滲透數(shù)形結(jié)合思想的良機(jī)。教師可以從低年級(jí)開(kāi)始，進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想的滲透，借助教材中的插圖來(lái)將抽象的概念和關(guān)系直觀化、簡(jiǎn)單化、形象化，進(jìn)而幫助學(xué)生樹(shù)立借助圖片、圖形來(lái)輔助理解相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)。

例如，在教學(xué)“加法”的相關(guān)知識(shí)時(shí)，為了讓學(xué)生能夠從低年級(jí)就樹(shù)立數(shù)形結(jié)合思想，教師在相關(guān)問(wèn)題的講解過(guò)程中，可以適時(shí)地滲透這一數(shù)學(xué)思想。

例1：

對(duì)于例1這一類題型（如圖1），從嚴(yán)格意義上說(shuō)，它不屬于數(shù)形結(jié)合思想滲透的范疇，只不過(guò)因?yàn)樾W(xué)低年級(jí)學(xué)生抽象思維能力較弱，需要結(jié)合圖形來(lái)理解相關(guān)數(shù)學(xué)概念。但這是教師給學(xué)生滲透數(shù)形結(jié)合思想的切入口。所以，在這一類習(xí)題的解答過(guò)程中，教師可以先組織學(xué)生觀察圖片，并鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)對(duì)圖片信息進(jìn)行合理的表達(dá)。比如，第一張圖中的“3+□=□”，學(xué)生可以表達(dá)為三只白兔子在一起玩耍，過(guò)了一會(huì)兒又來(lái)了一只灰兔子，現(xiàn)在一共有多少只兔子？教師引導(dǎo)學(xué)生在這樣的練習(xí)中感受數(shù)與形之間的關(guān)系，能降低學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的枯燥感，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

圖1

（二）習(xí)題解答中的滲透

數(shù)形結(jié)合思想是提高學(xué)生解題能力的重要數(shù)學(xué)思想之一，尤其是解答應(yīng)用題時(shí)，學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想不僅能理解題意，還能找到題目中的等量關(guān)系，進(jìn)而快速解題，積累解題經(jīng)驗(yàn)，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣。

例2：某公司修一條長(zhǎng)為2850 米的公路，已知前3天，該公司每天修150米，但要求后續(xù)的工程12天完成，思考該公司平均每天修多少米才能按要求完成任務(wù)？

教師可以引導(dǎo)學(xué)生按照?qǐng)D2進(jìn)行思考，以幫助學(xué)生找到已知量和未知量之間的關(guān)系，進(jìn)而找到試題的解答思路。教師在教學(xué)時(shí)一定要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題干自己畫圖，并隨著年級(jí)的增長(zhǎng)，逐漸增加學(xué)生結(jié)合題意自己畫圖的次數(shù)，以真正達(dá)到逐步滲透數(shù)學(xué)思想的目的。

圖2

二、數(shù)學(xué)方程思想

方程思想是指通過(guò)方程及方程組的構(gòu)建來(lái)引導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題。這一思想在小學(xué)數(shù)學(xué)高年級(jí)階段才會(huì)出現(xiàn)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維[3]。那么，在教學(xué)過(guò)程中，教師該如何滲透數(shù)學(xué)方程思想呢？

（一）一題多解中滲透方程思想

一題多解是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)散思維的有效方式之一。學(xué)生在一題多解的訓(xùn)練過(guò)程中也能提高知識(shí)的靈活應(yīng)用能力。但是，如何在一題多解中滲透方程思想呢？簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是學(xué)生在解答問(wèn)題時(shí)要運(yùn)用方程或方程組來(lái)提高解題能力。

還以前文的例2為例，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)生可以依據(jù)圖形傳達(dá)出來(lái)的等量關(guān)系得出答案：（2850-150×3）÷12=200（米）。此時(shí)，教師可以借助方程思想，引導(dǎo)學(xué)生思考：如果假設(shè)該公司平均每天修x米就可以在12 天完成，我們能找到哪些等量關(guān)系？這樣的引導(dǎo)不僅符合學(xué)生的認(rèn)知水平，還能加深學(xué)生的理解，對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力有積極的促進(jìn)作用。所以，在應(yīng)用題的解答過(guò)程中，教師可以通過(guò)開(kāi)展這種一題多解活動(dòng)，將方程思想滲透到解題過(guò)程中，以此來(lái)幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)規(guī)律。

（二）公式逆用中滲透方程思想

數(shù)學(xué)解題時(shí)存在好多公式逆用的現(xiàn)象，目的是考查學(xué)生的知識(shí)靈活運(yùn)用能力，但這也給學(xué)生解題增加了難度。所以，在這種情況下，方程思想可以幫助學(xué)生按照正向的思想來(lái)解答問(wèn)題，以降低試題解答的難度，提高學(xué)生的解題效率[4]。

例3：梯形的上底為5 cm，下底為10 cm，面積為90 cm2，求該梯形的高。

學(xué)生都知道梯形的面積公式是“（上底+下底）×高÷2”，學(xué)生如果不借助方程思想進(jìn)行試題的解答，而是借助公式逆用的方式，在逆向運(yùn)算的過(guò)程中就很容易出現(xiàn)計(jì)算上的錯(cuò)誤。比如，“除以2”就很容易丟掉。此時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生借助方程思想就會(huì)讓問(wèn)題解答變得更為簡(jiǎn)單，即設(shè)該梯形的高為x，由題意得到（5+10）x÷2=90，這樣計(jì)算難度就會(huì)降低，答題正確率相對(duì)較高?？傊谝恍┕侥嬗玫倪^(guò)程中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生借助方程思想進(jìn)行解答，以此來(lái)提高學(xué)生的問(wèn)題解答效率。

三、數(shù)學(xué)建模思想

數(shù)學(xué)建模思想是指將與數(shù)學(xué)有關(guān)的情境通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)進(jìn)行描述，或者建立與數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，進(jìn)而讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系。這對(duì)提高學(xué)生的知識(shí)靈活應(yīng)用能力有很大的促進(jìn)作用。但是，學(xué)生建模能力的培養(yǎng)和提高相對(duì)來(lái)說(shuō)難度較大，需要學(xué)生具備較高的理解能力和數(shù)學(xué)思維能力。

例如，“雞兔同籠”問(wèn)題是教師對(duì)學(xué)生滲透數(shù)學(xué)建模思想常用的一類試題。在教學(xué)時(shí)，教師可以先組織學(xué)生對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行思考，如借助多媒體向?qū)W生展示“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？”為了幫助學(xué)生理解，為后續(xù)數(shù)學(xué)建模打好基礎(chǔ)，教師引導(dǎo)學(xué)生以小組為單位來(lái)將這一情境轉(zhuǎn)化成常見(jiàn)的數(shù)學(xué)試題形式。比如，雞兔同籠，已知頭有35 個(gè)，腳有94 只，請(qǐng)問(wèn)雞有多少只？兔有多少只？然后，教師可以組織學(xué)生思考與討論，并鼓勵(lì)學(xué)生借助多種解題方法對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行解答，這樣不僅能夠達(dá)到發(fā)散學(xué)生數(shù)學(xué)思維的目的，還能深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，提高其學(xué)習(xí)效率。除此以外，教師還可以通過(guò)“舉一反三”的方式來(lái)進(jìn)行同類建模，比如，某人打算儲(chǔ)備210 升水，想要將其分別裝在大、小兩種瓶子里面，已知大瓶可以裝3 升/瓶子，小瓶1 升裝2 瓶，已知共裝了140 瓶，問(wèn)大、小瓶各裝了多少瓶？對(duì)于該題來(lái)說(shuō)，他的本質(zhì)與“雞兔同籠”問(wèn)題是一樣的。所以，在解答該題時(shí)，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生以“雞兔同籠”的模型來(lái)進(jìn)行思考。這樣不僅能夠幫助學(xué)生建立問(wèn)題之間的聯(lián)系，還有利于學(xué)生拓展知識(shí)面。這種建模思想的滲透，極大地提高了學(xué)生的解題能力。

四、數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想

數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想是可以在教學(xué)中滲透也可以在解題中滲透的思想，其目的是將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，將未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已知的問(wèn)題，將整體問(wèn)題轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問(wèn)題?？傊?，數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想就是通過(guò)轉(zhuǎn)化的方式來(lái)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量和解題效率，進(jìn)而讓學(xué)生在獨(dú)立思考和自主轉(zhuǎn)化的過(guò)程中形成解題能力。

（一）將整體問(wèn)題轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問(wèn)題

例如，某人讀了一本故事書，目前已讀和未讀的頁(yè)數(shù)比為4 ∶5，如果繼續(xù)讀10 頁(yè)，那么正好讀了全書的一半，請(qǐng)問(wèn)全書一共有多少頁(yè)？

這是一道相對(duì)復(fù)雜的試題，這里的關(guān)鍵量是比例。為了提高學(xué)生的解題能力，滲透數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，在解答該題時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生將這一問(wèn)題進(jìn)行了如下轉(zhuǎn)化。

（1）某人正在讀一本書，如果該書總頁(yè)數(shù)是x的話，且已讀和未讀的頁(yè)數(shù)比是4 ∶5，請(qǐng)問(wèn)已讀多少頁(yè)？未讀多少頁(yè)？

（2）在這個(gè)基礎(chǔ)上，如果再讀10 頁(yè)的話，那么正好讀了全書的一半，請(qǐng)問(wèn)該書的一半是多少頁(yè)？

筆者將原本的一個(gè)問(wèn)題按照題干拆分成了兩個(gè)問(wèn)題，問(wèn)題之間雖然有交叉，但更容易找到等量關(guān)系。從該題的轉(zhuǎn)化過(guò)程來(lái)看，我們還引入了方程，設(shè)了未知數(shù)，這也利于對(duì)方程思想的滲透。所以不難看出，將這種整體問(wèn)題轉(zhuǎn)化成若干小問(wèn)題的方式不僅可以讓問(wèn)題簡(jiǎn)單化，還能讓學(xué)生在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中理清題意。

（二）將新的知識(shí)轉(zhuǎn)化成舊的知識(shí)

在教學(xué)“梯形的面積公式”相關(guān)內(nèi)容時(shí)，教師可以通過(guò)將梯形分割或拼接成已經(jīng)學(xué)過(guò)的平行四邊形、三角形、長(zhǎng)方形的方式，來(lái)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推導(dǎo)。這種方法能鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的推理證明能力和學(xué)習(xí)效率。

五、歸納推理思想

歸納推理思想指的是由部分到整體，從個(gè)別到一般的推理，是鍛煉學(xué)生歸納能力及邏輯推理能力的數(shù)學(xué)思想之一。所以，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要有意識(shí)地給學(xué)生搭建歸納推理的平臺(tái)，通過(guò)鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考和探究來(lái)達(dá)到鍛煉和提高學(xué)生歸納能力和邏輯推理能力的目的，進(jìn)而為學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提升打好基礎(chǔ)。

例4：分析下面的數(shù)字（如圖3），在這一三角數(shù)陣找規(guī)律。

圖3

求：第7 行，左起第3 個(gè)數(shù)是多少？第10 行，左起第5 個(gè)數(shù)是多少？第1997 行，左起第3 個(gè)數(shù)是多少？

教師組織學(xué)生以小組為單位對(duì)這一組數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察和分析，并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)每行每列之間的關(guān)系進(jìn)行思考，嘗試找到數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，比如，第4 行中的數(shù)字3 與第3 行中的數(shù)字有什么關(guān)系？按照這個(gè)思路，教師可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)第5 行與第4 行之間的數(shù)字關(guān)系進(jìn)行分析，比如，第5 行中的第2 個(gè)數(shù)字4 是第4 行第1 位數(shù)和第2 位數(shù)之和，從而引導(dǎo)學(xué)生一步步思考，嘗試在這三角矩陣中對(duì)第7行和第10行上的數(shù)字進(jìn)行推導(dǎo)。但是，對(duì)于第1997 行的數(shù)字，采用這種列舉的方式顯然是行不通的。所以，在思考該題時(shí)，筆者再次引導(dǎo)學(xué)生思考行數(shù)與每行數(shù)字之間的關(guān)系?？傊龑?dǎo)學(xué)生大膽思考，從這一矩陣中橫向、縱向及斜向中尋找數(shù)字之間的關(guān)系，不僅能夠鍛煉和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力，還利于學(xué)生在分析與思考的過(guò)程中形成一定的數(shù)學(xué)邏輯思維。

結(jié) 語(yǔ)

由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透既可以提高學(xué)生的解題能力，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，又能深化學(xué)生的認(rèn)知，使學(xué)生輕松掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì)。所以，教師要有意識(shí)地向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想，要通過(guò)恰當(dāng)活動(dòng)的開(kāi)展及學(xué)生自主性的凸顯來(lái)確保學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提高打好基礎(chǔ)。當(dāng)然，數(shù)學(xué)思想并不只有上文提到的這幾種，還包括整體思想、分類思想等，這些都是數(shù)學(xué)解題中常用到的思想。但需要說(shuō)明的是，在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答過(guò)程中，通常不是借助某一種思想進(jìn)行解答，而是多種思想共同使用，這同時(shí)也考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力。