阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用

江西 孫春生

1.在以A,B為定點(diǎn)的阿氏圓上任意一點(diǎn)，到A,B兩點(diǎn)的距離之比都等于定值λ(λ≠1)；

3.頂點(diǎn)C的軌跡就是阿氏圓，是以TD為直徑的圓，且A,B,T,D四點(diǎn)共線.

阿波羅尼斯圓常以以下三種形式出現(xiàn)：①作為數(shù)學(xué)文化試題直接應(yīng)用；②需要挖掘隱含條件，轉(zhuǎn)化使用；③與立體幾何知識(shí)聯(lián)系在一起，拓展應(yīng)用．以下分類例析．

一、作為數(shù)學(xué)文化題呈現(xiàn)

【例1】阿波羅尼斯(古希臘數(shù)學(xué)家，約公元前262-190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，他證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(k>0,k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人把這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓．已知定點(diǎn)A(-2,0),B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)C滿足|AC|=2|BC|，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為一個(gè)阿波羅尼斯圓，記此圓為圓P，已知點(diǎn)D在圓P上(點(diǎn)D在第一象限)，AD交圓P于點(diǎn)E，連接EB并延長(zhǎng)交圓P于點(diǎn)F，連接DF，當(dāng)∠DFE=30°時(shí)，直線AD的斜率為

( )

【分析】先設(shè)點(diǎn)C(x,y)，根據(jù)|AC|=2|BC|求出點(diǎn)C的軌跡方程，過(guò)圓心P作PG⊥DE于點(diǎn)G，求出|PG|，|PA|，可求出sin∠PAG的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得直線AD的斜率.

因?yàn)椤螪PE=2∠DFE=60°，|PE|=|PD|，則△DPE為等邊三角形，

【評(píng)注】近幾年高考數(shù)學(xué)文化題難度加大，首先要明白題中含義，明確數(shù)學(xué)關(guān)系，再結(jié)合相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題.

二、構(gòu)造阿波羅尼斯圓

( )

解法一:設(shè)點(diǎn)C(m,n)，

【評(píng)注】本題解題的關(guān)鍵是構(gòu)造2|MA|=|MC|，得到M所在圓就是對(duì)應(yīng)的阿波尼羅斯圓，然后逆向求出定點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用三角形兩邊之差小于第三邊的方法解決.本題的解法二，直接利用阿波羅尼斯圓中，角平分線的性質(zhì)來(lái)解，簡(jiǎn)潔明了.

三、挖掘隱含條件使用

【分析】此類題我們通常想到的是用解斜三角形的方法，但如果利用AB=2AD，構(gòu)造阿波羅尼斯圓來(lái)解決，則能優(yōu)化思維，簡(jiǎn)化運(yùn)算．

解法一:用解斜三角形的方法，設(shè)AD=CD=m，

則AB=2m，根據(jù)面積公式得,

所以(S△ABCmax)=BD·r=2.

【評(píng)注】解題過(guò)程中，若多關(guān)注問(wèn)題的形成，注重知識(shí)的積累，形成解法的多樣性，在答題時(shí)往往能更勝一籌．

四、在空間中拓展應(yīng)用

【例4】在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P是正方體的表面ADD1A1(包括邊界)上的動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足PA=2PD，則點(diǎn)P所形成的圓的半徑為；若E是CD的中點(diǎn)，且正方體的表面ADD1A1(包括邊界)上的動(dòng)點(diǎn)F滿足條件∠AFB=∠EFD，則三棱錐F-ACD體積的最大值是．

解:如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DD1為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(2,0),D(0,0)，

設(shè)P(x，y)，

因?yàn)锳B⊥平面ADD1A1，CD⊥平面ADD1A1，

所以∠FAB=90°，∠FDE=90°，

因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以AF=2DF，由此得到點(diǎn)F的軌跡即為P點(diǎn)的軌跡.

則三棱錐P-ACD體積的最大值是

【評(píng)注】第二問(wèn)中要根據(jù)角度相等，充分利用空間位置關(guān)系，得出AF=2DF這一幾何條件，再利用阿波羅尼斯圓的性質(zhì)解決問(wèn)題．

五、 逆向構(gòu)造探究題

【例5】已知圓C：(x-3)2+y2=4，直線l：(m+1)x-(3m-1)y+m-3=0．

(1)求直線l所過(guò)定點(diǎn)A的坐標(biāo)及當(dāng)直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)m的值；

解法一：(1)定點(diǎn)A(2,1)，m=1，過(guò)程略．

假設(shè)存在定點(diǎn)N(3,t)滿足題意，則有|PM|2=λ2|PN|2，

整理得(x-3)2+(y-3)2=λ2[(x-3)2+(y-t)2]，

又因?yàn)?x-3)2=4-y2，

所以4-y2+(y-3)2=λ2[4-y2+(y-t)2]，

化簡(jiǎn)得(2λ2t-6)y-(λ2t2+4λ2-13)=0,

當(dāng)λ=1，t=3時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)M重合，不符合題意，

解法二:設(shè)過(guò)定點(diǎn)M,N的阿波羅尼斯圓交直線x=3于T,D兩點(diǎn)，則T(3,2),D(3,-2)分別為△MAC的內(nèi)角平分線與外角平分線與直線MN的交點(diǎn)，M(3,3)，設(shè)N(3,n)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入