拋物線的切線性質(zhì)及其應(yīng)用探究

安徽 王 輝

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是各類考試考查的重點(diǎn)，特別是直線與拋物線的相切問題，充分蘊(yùn)含著解析幾何的靈魂，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，解法靈活多變.本文探究試題本質(zhì)，歸納結(jié)論并進(jìn)行拓展引申，以期拋磚引玉，指導(dǎo)高三高效復(fù)習(xí)備考.

1.引例呈現(xiàn)與分析

(2021·全國乙卷理·21)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，且F與圓M:x2+(y+4)2=1上點(diǎn)的距離的最小值為4．

(1)求p；

(2)若點(diǎn)P在M上，PA，PB為C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求△PAB面積的最大值．

試題分析：試題表面常規(guī)，但內(nèi)涵深刻，考查圓錐曲線的綜合運(yùn)用，重點(diǎn)考查直線與拋物線的相切位置關(guān)系，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算求解等能力，較好地檢測了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)潛能．

2.解法探究

所以Δ=16k2+16b>0，即k2+b>0，且x1+x2=4k，x1x2=-4b，所以P(2k,-b)，

又因?yàn)辄c(diǎn)P(2k,-b)在圓M:x2+(y+4)2=1上，故

而yp=-b∈[-5,-3]，

評析：第(2)問標(biāo)準(zhǔn)套路，設(shè)切點(diǎn)，直接求導(dǎo)得到切點(diǎn)A,B處的斜率，進(jìn)而求出拋物線的切線方程，聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)P的坐標(biāo).待定系數(shù)法設(shè)切點(diǎn)弦AB所在直線方程，聯(lián)立直線與拋物線的方程組，利用韋達(dá)定理，找到變量k,b之間的關(guān)系，結(jié)合弦長公式，構(gòu)造函數(shù)表示三角形的面積，進(jìn)而用函數(shù)思想方法求最值.解題思路清晰明了，但是運(yùn)算煩瑣，對學(xué)生的運(yùn)算能力要求較高.

解法2：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(a,b)，AB中點(diǎn)為Q(x0,y0),

又因?yàn)榍芯€PA,PB都過點(diǎn)P(a,b)，

代入x2=4y,可得x2-2ax+4b=0，Δ=4a2-16b>0,

于是x1+x2=2a，x1x2=4b,

因?yàn)辄c(diǎn)P(a,b)在圓M:x2+(y+4)2=1上，因此a2+(b+4)2=1，

即a2=1-(b+4)2，所以

評析：本解法相對于解法1，運(yùn)算量就小很多，通過寫出PA，PB兩條切線的方程，利用兩點(diǎn)確定唯一直線，設(shè)而不求的技巧，寫出切點(diǎn)弦AB的方程.此解法抓住弦AB的中點(diǎn)Q與P的橫坐標(biāo)相同這一性質(zhì)，分割表示所求面積，降低了運(yùn)算量.學(xué)生應(yīng)重視拋物線相關(guān)性質(zhì)結(jié)論的積累，簡化解題過程.

3.拋物線的切線性質(zhì)探究

通過對引例分析和解答，得到弦AB的中點(diǎn)Q與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)相同這一性質(zhì)，是不是巧合?能不能把拋物線的切線性質(zhì)一般化，還有哪些與切線有關(guān)的常用性質(zhì)?本文將進(jìn)行如下探究總結(jié).

結(jié)論1：已知點(diǎn)Q(x0,y0)在拋物線上，則過點(diǎn)Q(x0,y0)的切線方程如下：

(1)若y2=2px(p>0),則切線方程為y0y=p(x0+x);

若y2=-2px(p>0),則切線方程為y0y=-p(x0+x);

(2)若x2=2py(p>0),則切線方程為x0x=p(y0+y);

若x2=-2py(p>0),則切線方程為x0x=-p(y0+y);

證明(1)對y2=2px(p>0)的兩邊求導(dǎo)數(shù)，

因?yàn)辄c(diǎn)Q(x0,y0)在拋物線上，

將②代入到①中，得y0y-2px0=px-px0,y0y=p(x+x0),

因此切點(diǎn)為Q(x0,y0)的切線方程是y0y=p(x0+x).

結(jié)論2：已知點(diǎn)Q(x0,y0)不在拋物線y2=2px(p>0)上，設(shè)過點(diǎn)Q(x0,y0)的切線為QA,QB,A,B為切點(diǎn)，則過切點(diǎn)AB的直線方程為y0y=p(x+x0)，

證明：由結(jié)論1可得，對于拋物線y2=2px(p>0)來說，過拋物線上的點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)的切線方程分別是

y1y=p(x+x1),y2y=p(x+x2).

因?yàn)辄c(diǎn)Q(x0,y0)在直線y1y=p(x+x1)上，所以

y1y0=p(x0+x1) ①，

同理點(diǎn)Q(x0,y0)在直線y2y=p(x+x2)上，

y2y0=p(x0+x2) ②.

由①②可知,點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)均在直線

y0y=p(x+x0)上,

所以切點(diǎn)弦直線AB的方程是y0y=p(x+x0)，問題得證.

同理可得焦點(diǎn)在x軸上的切點(diǎn)弦直線方程，此處略.

結(jié)論3：已知點(diǎn)Q(x0,y0)不在拋物線y2=2px(p>0)上，設(shè)過點(diǎn)Q(x0,y0)的切線為QA,QB,A,B為切點(diǎn)，設(shè)弦AB的中點(diǎn)為P，則PQ平行于拋物線的對稱軸.

證明：由結(jié)論2可知,過拋物線y2=2px外一點(diǎn)Q(x0,y0)的切點(diǎn)弦AB的直線方程為y0y=p(x+x0)，代入拋物線方程y2=2px，得y2-2y0y+2px0=0,

上述引例解法2實(shí)際上是結(jié)論1,2,3的應(yīng)用，這就需要學(xué)生在平時(shí)重視一般結(jié)論和基本解題方法的積累，善于鉆研和思考問題的本質(zhì)規(guī)律，從而提高復(fù)習(xí)備考效率.

4.引例的引申探究

引申2：設(shè)Q(a,b)是拋物線x2=2py(p>0)外部一點(diǎn)，設(shè)弦AB與QA,QB圍成的三角形面積為S，則

以上引申的證明不再贅述.

5.一般化結(jié)論探究，揭示問題本質(zhì)

對于一個(gè)數(shù)學(xué)問題，如果我們從不同的角度去思考和剖析的話，往往會得到意想不到的結(jié)果與收獲.因此在平時(shí)的教學(xué)過程中，要學(xué)會對問題的深入探究以及對同根、同源、同宗問題的延續(xù)及推理，總結(jié)歸納解題方法，找到問題的一般結(jié)論.

事實(shí)上，我們把“一條過定點(diǎn)的拋物線的中點(diǎn)弦”“一條定直線x=-m”“一條切線”“一條平行于對稱軸的直線”四個(gè)語句中的任意三個(gè)作為條件，余下的一個(gè)作為結(jié)論，能夠構(gòu)成以下幾個(gè)真命題.

結(jié)論4：如圖，過拋物線C:y2=2px(p>0)的對稱軸上的任意一點(diǎn)(m,0)(m>0)作直線AB,交拋物線于A,B兩點(diǎn)，切線QA與直線x=-m交于點(diǎn)Q,過點(diǎn)Q且平行于拋物線對稱軸的直線交直線AB于點(diǎn)P,則P為AB的中點(diǎn).

證明：設(shè)直線AB的方程為x=ty+m,

將其代入拋物線方程C:y2=2px(p>0)，整理得y2-2pty-2pm=0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則y1+y2=2pt,y1y2=-2pm,

而過點(diǎn)A處切線的方程為yy1=p(x+x1)，

結(jié)論5：過拋物線C:y2=2px(p>0)的對稱軸上的任意一點(diǎn)(m,0)(m>0)作直線AB,交拋物線于A,B兩點(diǎn)，記AB的中點(diǎn)為P,過點(diǎn)P且平行于對稱軸的直線與直線x=-m的交點(diǎn)為Q,則直線QA,QB為拋物線的切線.

證明:設(shè)直線AB的方程為x=ty+m,

將其代入拋物線方程C:y2=2px(p>0)，整理得y2-2pty-2pm=0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，

則y1+y2=2pt,y1y2=-2pm,

結(jié)論6：過拋物線y2=2px(p>0)的對稱軸上的任意一點(diǎn)(m,0)(m>0)作直線AB,交拋物線于A,B兩點(diǎn)，切線QA與直線x=-m交于點(diǎn)Q,P為AB的中點(diǎn)，則直線PQ平行于拋物線的對稱軸.

結(jié)論7：過拋物線y2=2px(p>0)的對稱軸上的任意一點(diǎn)(m,0)(m>0)作直線AB,交拋物線于A,B兩點(diǎn)，直線QA為拋物線的切線，則過AB的中點(diǎn)且平行于拋物線對稱軸的直線與直線QA的交點(diǎn)在直線x=-m上.

結(jié)論8：過直線x=-m(m>0)上的任意一點(diǎn)Q作拋物線y2=2px(p>0)的切線，切點(diǎn)分別為A,B,則直線AB過定點(diǎn)(m,0).

證明：設(shè)Q(-m,yQ)，由題意得,切點(diǎn)弦AB所在直線的方程為yyQ=p(-m+x), 所以直線AB過定點(diǎn)(m,0).

反過來，拋物線互相垂直的兩條切線的交點(diǎn)必在準(zhǔn)線上.

以上探究的結(jié)論主要圍繞焦點(diǎn)在x軸正半軸上的拋物線y2=2px(p>0)，當(dāng)焦點(diǎn)在其它位置時(shí)，拋物線相關(guān)性質(zhì)同理可得.當(dāng)然，與拋物線有關(guān)的切線性質(zhì)還有很多，在此不再一一列舉.

6.延展應(yīng)用，拾級而上

直線與拋物線、橢圓的位置關(guān)系一直是高考和模擬考試中的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，在很多圓錐曲線題目中都是探求一些特殊結(jié)論(如定點(diǎn)、定值問題)，這些結(jié)論看似特殊，實(shí)則都具有普遍性，它們的背景往往是某種圓錐曲線的一個(gè)特定性質(zhì)，由這些性質(zhì)可以衍生出許多形式不同但本質(zhì)相同的試題，研究這類試題不僅能夠更好地把握解析幾何的本質(zhì)，還能擴(kuò)展視野，減少大量的運(yùn)算過程，避免煩瑣的推理，提升解題能力以及核心素養(yǎng).下面舉例說明上述結(jié)論性質(zhì)在解決直線與拋物線相切問題時(shí)的運(yùn)用.

【例】(2021·“江南十?！币荒Ｂ?lián)考理·20)已知?jiǎng)訄AP與x軸相切且與圓x2+(y-2)2=4相外切，圓心P在x軸的上方，P點(diǎn)的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程；

解析：(1)x2=8y(x≠0)；

(2)由題意知，E(4,2)在曲線C上，直線AB的斜率存在，

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

則x1+x2=8k,x1x2=-32.

故y=4，所以交點(diǎn)D(4k,-4)，

設(shè)E到AB的距離為d1,D到AB的距離為d2，

評析：本題解題的關(guān)鍵在于借助切線方程聯(lián)立求點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為E到AB的距離d1和D到AB的距離d2的比值問題，再利用換元法求最值即得答案.本題與引例中的2021年全國乙卷理科第21題有幾分相似.利用性質(zhì)結(jié)論9可知，兩切線的交點(diǎn)為D(pk,-m)，即點(diǎn)D(4k,-4)顯然就在直線y=-4上.在解題時(shí)合理使用結(jié)論能簡化推理和運(yùn)算過程，具有簡潔、直觀的特點(diǎn)，極大地提高了解題效率.

7.結(jié)束語