補償法解題初探

云南 王子謙

補償法是一種有效的解題方法，但高中物理對補償法的介紹卻比較少，學(xué)生對微元法、整體法、隔離法了解和應(yīng)用得較多。由于補償法本身具有靈動跳躍、思維敏捷的特點，學(xué)生較難掌握，因此在高中階段介紹不多，教師在課堂上慢慢道來卻另有一番風(fēng)味，下面我們作一些有益的嘗試。

1.力學(xué)中的補償法

伽利略的很多實驗都是“天才”之作，最美麗的十大物理實驗伽利略就占了兩個：“伽利略的自由落體實驗”和“伽利略的加速度實驗”，這兩個實驗都是神來之筆，其中“伽利略的自由落體實驗”就是以上所說的補償法的具體表現(xiàn)。

具體內(nèi)容是這樣的：當時人們普遍認為從同一高度自由下落的重球先落地，輕球后落地。伽利略就設(shè)想把輕球和重球連在一起，此時連接體變成一個更重的球，這個球應(yīng)比原來兩個球更快落地，但連接體中輕球會牽扯重球，重球的速度將減慢，這樣連接體下落的反而比重球還慢。伽利略利用這一矛盾駁斥重球先落地、輕球后落地的結(jié)論。從這一論證過程看，伽利略是做了一個條件補償后得到另一結(jié)論來否定原結(jié)論的。

補償法在力學(xué)中的應(yīng)用還有：求被挖掉一個小圓的大圓薄板的質(zhì)心；求不規(guī)則物體的轉(zhuǎn)動慣量；求重力矩；求不規(guī)則物體之間的萬有引力等。

2.電學(xué)實驗中的補償法

采用伏安法測未知電阻時，通常的實驗方法會因電壓表分流給測量結(jié)果帶來誤差。在伏安法測電阻中要想進一步減小電壓表內(nèi)阻對測量結(jié)果的影響，可采用電流補償法。假設(shè)增加一個電源并組成如圖1虛線框中的電路，Rx與電壓表V有一端直接連在一起，另一端通過開關(guān)K2和檢流計G連在一起。調(diào)節(jié)R1使電壓表中電壓值恰與待測電阻Rx兩端的電壓相等時，流過檢流計G的電流為零，這時無論電壓表內(nèi)阻大小如何，都不會影響被測量電路中的電流，從而達到精確測量的目的，這種方法就叫電流補償法。

圖1

3.交變電流中的補償法

假設(shè)有兩個交變電流，其電壓變化規(guī)律如圖2所示，它們的最大值與周期都相同，它們的瞬時表達式分別為u1=Umsinωt、u2=Umcosωt，把它們分別加在兩個阻值相同的電阻上，設(shè)電阻的阻值為R，在一個周期內(nèi)兩個交流電產(chǎn)生的焦耳熱相同，都為Q，產(chǎn)生的總的焦耳熱Q總=2Q。設(shè)它們交流電壓的有效值為U，則有：

另外，在任一時刻t，這兩個電阻上的熱功率分別為：

兩個電阻上總的發(fā)熱功率為：

可以看出，兩個電阻上發(fā)熱的總功率是定值，與時刻t無關(guān)，所以在一個周期內(nèi)兩個電阻上總的發(fā)熱量為：

把正弦交流電和余弦交流電巧妙地結(jié)合在一起，起到一個化變?yōu)椴蛔兊男Ч?，把原來需要高深?shù)學(xué)知識才能解決的問題化解為簡單問題。

4.在物理競賽中使用補償法

在物理競賽試題中利用補償法能取得意想不到的效果，能讓學(xué)生感受到巧妙的構(gòu)思。

【例2】如圖3所示，A1A2是面積很大、互相平行又相距較遠的帶電金屬板，相距為d，兩板間的電勢差為U。同時，在兩板間還有方向與勻強電場正交且垂直紙面向外的均勻磁場。一束電子通過左側(cè)帶負電的板A1上的小孔，沿垂直于金屬板的方向射入，為使該電子束不碰到右側(cè)帶正電的板A2，問所加磁場的磁感強度至少多大?設(shè)電子所受重力及從小孔進入時的初速度均可不計。

圖3

【分析】電子在復(fù)合場中僅受兩個力，即電場力和洛倫茲力，由于洛倫茲力為變力，故合力亦為變力。該變力大小及方向均在隨時間變化，故運動既非勻變速運動，也不是勻速圓周運動或簡諧運動。這里我們就可用補償法解題，首先設(shè)想一個力F1來平衡電場力以消除電場力F2引起的電子速率變化，將問題簡化，然而添加一個力后必須要另加一個反向的力才能和原來的運動效果完全相同，我們可以設(shè)電子沿y軸有大小相等方向相反的初速度，其合速度仍為0，其中一個分速度對應(yīng)的洛倫茲力平衡掉電場力，運動情境就變?yōu)橛谐跛俣惹覂H受一個洛倫茲力的情況了。

圖4

圖5

5.應(yīng)用補償法的易錯點

雖然補償法能夠?qū)?fù)雜的問題變得簡單，但不是所有情況都能使用補償法來解決，如在電磁感應(yīng)問題中，如果在分析問題時考慮的不夠全面，就很容易出現(xiàn)錯誤。

【例3】一正方形線框以速度v1進入一有界勻強磁場區(qū)域，線框邊長L，磁場寬度也為L。線框電阻R，磁感強度為B，求線框離開磁場時的速度v2。

圖6

【錯解】這道題中的線框通過勻強磁場區(qū)域時受變力作用而做非勻變速運動。如果采用補償法解題，假設(shè)線框進入勻強磁場區(qū)域時受一恰與此時安培力相等的恒定外力作用，線框就可勻速通過該磁場區(qū)域。在此過程中F做功W=2FL，這一過程跟不受F力作用時差異在于F力的功保證了動能不變，所以有如下解答。

造成錯解的原因是對問題的分析不夠全面，造成補償后運動過程中的安培力變大，產(chǎn)生的焦耳熱增加，補償之后條件已經(jīng)改變，所以由此計算出的結(jié)論是錯誤的。因此使用補償法時要謹慎。