張 侖, 張曉明,2, 馬喜宏,2, 陶 威, 楊曉蕾
(1.中北大學(xué) 電子測(cè)試技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,山西 太原 030051;2.中北大學(xué) 儀器科學(xué)與動(dòng)態(tài)測(cè)試教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,山西 太原 030051)
磁性目標(biāo)產(chǎn)生的磁場(chǎng)疊加在地球磁場(chǎng)之上,會(huì)引起周圍局部區(qū)域地磁場(chǎng)畸變即磁異常。相比于其他物理勘探法,磁異常探測(cè)法成本低速度快等優(yōu)點(diǎn),目前成為國內(nèi)外磁目標(biāo)探測(cè)的首選方法[1]。磁場(chǎng)張量測(cè)量相對(duì)于總磁場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)矢量測(cè)量,可以提供更多的信息,不易受到區(qū)間環(huán)境的磁干擾影響。因此成為了目前研究的熱點(diǎn)問題[2,3]。
磁場(chǎng)梯度張量目前多采用多個(gè)矢量傳感器組成測(cè)量陣列,得到空間范圍內(nèi)磁場(chǎng)的張量信息[4]。由于制造工藝,矢量磁傳感器通常會(huì)存在零偏、靈敏度和軸間不正交等系統(tǒng)制造誤差。各個(gè)傳感器在組成磁張量測(cè)量系統(tǒng)的安裝過程中也會(huì)出現(xiàn)偏移、旋轉(zhuǎn)等安裝誤差,偏移誤差可以通過工藝消除,但是由旋轉(zhuǎn)引起的非對(duì)準(zhǔn)誤差通常難以消除,會(huì)導(dǎo)致張量分量幾百到幾千納特(nT)的誤差,嚴(yán)重影響張量測(cè)量系統(tǒng)的精度,所以,有必要對(duì)磁張量測(cè)量系統(tǒng)的非對(duì)準(zhǔn)誤差進(jìn)行標(biāo)定及校正[5,6]。
傳統(tǒng)針對(duì)矢量傳感器的校準(zhǔn)方法往往需要磁屏蔽筒、三軸非磁標(biāo)定平臺(tái)、亥姆霍茲線圈等設(shè)備,但存在設(shè)備體積大,無法攜帶且成本較高等問題[7]。于振濤等人[8]利用差分測(cè)量法融合了磁力儀的制造誤差及安裝誤差,但其并未進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用。張光等人[9]基于標(biāo)量校正提出了磁張量測(cè)量系統(tǒng)的線性模型,但忽視了誤差模型中轉(zhuǎn)換過程的高階小量,一定程度上影響到最終校正的效果。杜昱辰等人[10]提出了基于線性模型的校正方法,但未考慮到線性模型中系數(shù)矩陣的誤差。
考慮到上述問題,本文針對(duì)陣列中多個(gè)傳感器的非對(duì)準(zhǔn)誤差,嘗試構(gòu)建線性方程組并采用整體最小二乘法求解,計(jì)算各傳感器相對(duì)于陣列系統(tǒng)正交系的非對(duì)準(zhǔn)誤差進(jìn)行校正,為張量測(cè)量系統(tǒng)非對(duì)準(zhǔn)誤差的快速標(biāo)定提供新思路。
磁場(chǎng)全張量就是磁矢量三分量在三個(gè)相互正交的方向上的分量組成的,若某點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度為
B=[BxByBz]T
(1)
其磁場(chǎng)梯度張量可表示為
(2)
磁場(chǎng)張量測(cè)量系統(tǒng)通常工作在無源場(chǎng)環(huán)境下,由麥克斯韋方程可知,在無源空間中磁場(chǎng)旋度和散度為0,由式(2)可得Byx=Bxy,Bzx=Bxz,Byz=Bzy,Bxx+Byy+Bzz=0,則磁梯度張量矩陣可表示為
(3)
利用測(cè)量系統(tǒng)測(cè)量Bxx,Bxy,Bxz,Byy,Byz五個(gè)分量就可求出磁梯度張量矩陣G[11]。
在實(shí)際中,磁通門傳感器安裝在陣列結(jié)構(gòu)上時(shí)各個(gè)傳感器正交坐標(biāo)系間會(huì)存在非對(duì)準(zhǔn)誤差,如圖1所示,傳感器1坐標(biāo)系O1-X1Y1Z1與傳感器2坐標(biāo)系O2-X2Y2Z2之間存在旋轉(zhuǎn)誤差,即非對(duì)準(zhǔn)誤差,經(jīng)過非對(duì)準(zhǔn)誤差校正后的系統(tǒng)中各傳感器輸出均為理想正交。
圖1 傳感器間非對(duì)準(zhǔn)誤差示意
在XYZ三軸上旋轉(zhuǎn)傳感器可將坐標(biāo)系Oi-XiYiZi(i=2,3,4)轉(zhuǎn)換到O1-X1Y1Z1上,定義繞X軸旋轉(zhuǎn)為橫傾角α,繞Y軸旋轉(zhuǎn)為俯仰角β,繞Z軸旋轉(zhuǎn)為方位角γ,單個(gè)傳感器三軸正交輸出為Bi=[Bix,Biy,Biz]T,傳感器1為參考標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系,輸出為B1=[B1x,B1y,B1z]T,以傳感器2為例,與傳感器1坐標(biāo)系關(guān)系如圖2。
圖2 傳感器坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系
定義Kα,Kβ,Kγ分別為橫傾、俯仰和方位旋轉(zhuǎn)矩陣。兩坐標(biāo)系任意姿態(tài)均能通過繞三軸依次旋轉(zhuǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)換[12]。旋轉(zhuǎn)矩陣相乘順序與旋轉(zhuǎn)順序相對(duì)應(yīng),這里選擇繞X,Y,Z軸旋轉(zhuǎn)的順序,則傳感器2空間任意姿態(tài)正交系O2-X2Y2Z2與參考正交系O1-X1Y1Z1間輸出磁場(chǎng)三分量轉(zhuǎn)換可以表示為
(4)
式中Kα,Kβ,Kγ分別橫傾、俯仰和方位旋轉(zhuǎn)矩陣。X,Y,Z軸改寫為向量乘積形式
(5)
定義R為各傳感器測(cè)量值,Vx,Vy,Vz為旋轉(zhuǎn)向量。假設(shè)實(shí)驗(yàn)中使測(cè)量系統(tǒng)繞三軸旋轉(zhuǎn),共采集到N組空間姿態(tài)數(shù)據(jù),則式(5)可增廣為線性方程組
(6)
對(duì)于線性方程組RV=B,普通的最小二乘思想是在殘差平方和極小的約束下求解最佳參數(shù),是建立在R沒有誤差的前提下,可表示為
RV=B+EB
(7)
式中EB為標(biāo)準(zhǔn)傳感器輸出B的噪聲,但是絕大多數(shù)情況下系數(shù)矩陣R和觀測(cè)矩陣B同時(shí)存在誤差[13],同時(shí)考慮二者誤差時(shí),線性方程組可表示為
(R+ER)V=B+EB
(8)
式中ER為各傳感器測(cè)量噪聲,與EB為相互獨(dú)立的白噪聲誤差,解決這類問題采用整體最小二乘法,對(duì)于線性方程組RV=B在以下準(zhǔn)則約束下
(9)
式中 ‖M‖F(xiàn)為Frobenius范數(shù),簡稱F范數(shù),將線性方程組RV=B改寫為
[RB][VT-1]T=0
(10)
記增廣矩陣C=[RB],對(duì)其進(jìn)行奇異值分解
C=UΣVT
(11)
其中
Σ=diag[σ1,σ2,…,σn,σn+1]
(12)
根據(jù)矩陣奇異值(SVD)分解定義,對(duì)于增廣矩陣CN×4,當(dāng)N≥4時(shí)可進(jìn)行奇異值分解,即姿態(tài)數(shù)據(jù)應(yīng)至少滿足4組。此時(shí)有整體最小二乘解[13]Vx,Vy,Vz
(13)
式中In為n維單位向量。聯(lián)立式(5)、式(13)可解出α,β,γ角為
(14)
正交系校正順序與旋轉(zhuǎn)順序相對(duì)應(yīng),由式(4)可得校正順序依次為γ,β,α,即可實(shí)現(xiàn)非對(duì)準(zhǔn)誤差的校正。校正后各只傳感器將沿著參考傳感器1正交系O1-X1Y1Z1輸出。
通過MATLAB仿真驗(yàn)證提出的線性對(duì)準(zhǔn)方法。設(shè)地磁總場(chǎng)強(qiáng)為54 000 nT,測(cè)量系統(tǒng)基線距離為0.45 m。依次繞傳感器三軸旋轉(zhuǎn),繞Z軸開始旋轉(zhuǎn),間隔為30°,Z軸每轉(zhuǎn)滿一周繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)一次,Y軸每轉(zhuǎn)滿一周繞X軸轉(zhuǎn)動(dòng)一次,得到1 782組姿態(tài)傳感器的理想輸出B1~4。加入均值為0 nT,方差為1 nT的高斯隨機(jī)噪聲模擬真實(shí)磁場(chǎng)環(huán)境。在理想均勻磁場(chǎng)中,若傳感器之間完全對(duì)準(zhǔn)則任意姿態(tài)下張量分量恒為0,使用RMSE來量化校正效果,以張量分量Bxx為例,如式(15)
(15)
式中N為姿態(tài)數(shù),Bxxi為第i個(gè)姿態(tài)下的張量分量輸出,Bxx為參考輸出,理想磁場(chǎng)下為0。ERMS理論值為0,ERMS越小,校準(zhǔn)效果越好。
將4只矢量磁傳感器視為已完成理想正交化即系統(tǒng)誤差標(biāo)定,取X,Y,Z軸旋轉(zhuǎn)角度分別為[0,30°,60°],[30°,90°,120°],[60°,120°,150°],[90°,150°,180°]的4組姿態(tài)數(shù)據(jù),用于張量測(cè)量系統(tǒng)非對(duì)準(zhǔn)誤差的標(biāo)定。9個(gè)參數(shù)的預(yù)設(shè)值與估計(jì)值如表1,對(duì)應(yīng)RMSE列于表2。
表1 非對(duì)準(zhǔn)誤差角預(yù)設(shè)值與估計(jì)值
表2 校正前后張量分量RMSE值 nT/m
仿真結(jié)果表明,僅使用4組測(cè)量數(shù)據(jù)估計(jì)的非對(duì)準(zhǔn)誤差預(yù)測(cè)精度均高于99.7 %,經(jīng)對(duì)準(zhǔn)后系統(tǒng)張量分量輸出RMSE值均小于2 nT/m,根據(jù)式(3)可知在預(yù)設(shè)測(cè)量噪聲范圍內(nèi)。故提出的非對(duì)準(zhǔn)誤差校正方法對(duì)準(zhǔn)性能良好,可用于張量測(cè)量系統(tǒng)補(bǔ)償校準(zhǔn)。
目前,常用的磁場(chǎng)張量測(cè)量陣列有平面十字形、正方形、三角形、空間直角四面體等結(jié)構(gòu),其中平面十字形陣列結(jié)構(gòu)安裝方便,帶來的結(jié)構(gòu)誤差較小[14],故采用平面十字形陣列結(jié)構(gòu)。用4只三軸磁通門傳感器搭建如圖3所示的平面十字磁張量測(cè)量系統(tǒng),十字架結(jié)構(gòu)選用無磁結(jié)構(gòu),基線距離為0.45 m。選取平坦空曠、磁干擾小的環(huán)境進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。
圖3 平面十字磁張量測(cè)量系統(tǒng)校正實(shí)驗(yàn)
測(cè)量系統(tǒng)共采集76組姿態(tài)信息,分成兩部分:單軸組與隨機(jī)組。單軸組繞系統(tǒng)Z軸旋轉(zhuǎn)一周,采集4組姿態(tài)數(shù)據(jù)(間隔90°),用于估計(jì)非對(duì)準(zhǔn)誤差參數(shù);隨機(jī)組繞任意軸旋轉(zhuǎn),采集72組姿態(tài)數(shù)據(jù),用于增加姿態(tài)數(shù)據(jù)量以驗(yàn)證標(biāo)定效果。以標(biāo)量磁強(qiáng)計(jì)測(cè)得系統(tǒng)空間范圍內(nèi)總場(chǎng)強(qiáng)均值Bc作為標(biāo)準(zhǔn),將4組傳感器進(jìn)行系統(tǒng)誤差校正得到理想正交系,以傳感器1為參考進(jìn)行非對(duì)準(zhǔn)誤差角度解算出非對(duì)準(zhǔn)誤差。對(duì)比最小二乘法,計(jì)算所有姿態(tài)數(shù)據(jù)對(duì)準(zhǔn)后的測(cè)量系統(tǒng)各張量分量Bxx,Bxy,Bxz,Byy,Byz,如圖4所示。以0 nT/m為標(biāo)準(zhǔn)的RMSE結(jié)果列于表3。
圖4 實(shí)驗(yàn)對(duì)準(zhǔn)前后各空間姿態(tài)張量分量對(duì)比
表3 校正前后張量分量RMSE值 nT/m
結(jié)果可以看出:繞單軸旋轉(zhuǎn)1周采集4組姿態(tài)數(shù)據(jù)即可得到較精確估計(jì)?;谡w最小二乘法對(duì)比最小二乘法估計(jì),考慮到各傳感器存在測(cè)量噪聲誤差的問題,對(duì)準(zhǔn)校正后張量測(cè)量系統(tǒng)輸出更加穩(wěn)定、精確,校正后張量分量RMSE值由上千nT/m降低到65 nT/m以下,考慮到實(shí)際測(cè)量環(huán)境中并非均勻磁場(chǎng),會(huì)受到多磁源、局部磁異常、傳感器自身磁滯等因素綜合影響,可認(rèn)為非對(duì)準(zhǔn)誤差得到了有效校正。
本文提出磁場(chǎng)張量測(cè)量系統(tǒng)的非對(duì)準(zhǔn)誤差校正法,對(duì)非對(duì)準(zhǔn)誤差產(chǎn)生機(jī)理分析并進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。基于平面十字張量測(cè)量系統(tǒng),只需測(cè)量系統(tǒng)采集4組姿態(tài)數(shù)據(jù),即可得到較精確的系統(tǒng)非對(duì)準(zhǔn)誤差參數(shù)。仿真校準(zhǔn)后的非對(duì)準(zhǔn)誤差角預(yù)測(cè)精度高于99.7 %,實(shí)際系統(tǒng)測(cè)量環(huán)境中并非理想均勻磁場(chǎng),會(huì)受到多磁源、局部磁異常、傳感器自身磁滯等因素影響,實(shí)測(cè)校正后張量分量RMSE由校正前上千nT/m降至65 nT/m以內(nèi),相對(duì)于最小二乘法降低了一個(gè)數(shù)量級(jí),對(duì)準(zhǔn)后張量系統(tǒng)輸出均方根小而穩(wěn)定,且無結(jié)構(gòu)要求,故還可以應(yīng)用于任意三軸磁傳感器及與加速度計(jì)組合的測(cè)量系統(tǒng)內(nèi)。具有一定的科研、工程應(yīng)用價(jià)值。