基于模糊最小絕對非線性回歸的木材熱物性參數(shù)預測模型*

曹書博 李嘉豪 周世玉 劉曉平 周玉成

(1.山東建筑大學信息與電氣工程學院 濟南 250101；2.山東建筑大學熱能工程學院 濟南 250101)

作為一種生物質(zhì)材料，木材有針、闊葉材之分，其中針葉材主要由軸向管胞、木射線、木薄壁組織和樹脂道組成，闊葉材主要由木纖維、導管分子、木射線和軸向薄壁細胞組成，針、闊葉材的微觀結(jié)構(gòu)特征決定了木材的各向異性。木材熱擴散系數(shù)、體積比熱和導熱系數(shù)是木材材性領域的重要研究內(nèi)容，其不僅是衡量木材能否適應工作需要的依據(jù)，也是對具體應用領域進行基礎研究、分析計算和工程設計的關鍵參數(shù)(徐德良，2014)。然而，目前市場上現(xiàn)有木制產(chǎn)品幾乎沒有提供任何關于木材熱物性能的數(shù)據(jù)，很難根據(jù)木材熱物性標準在不同類型木材中進行選擇(Lagüelaetal.，2015)，木材導熱規(guī)律研究一直是木材應用領域的經(jīng)典問題。林銘等(2004)將木材導熱與金屬導電的宏觀規(guī)律進行類比，推導出了木材徑向熱導率數(shù)學表達式。Gu等(2005)通過觀察木材結(jié)構(gòu)，建立了針葉材弦向和徑向?qū)嵯禂?shù)模型。隨著人工智能的不斷發(fā)展，許多研究者將智能算法應用于探索木材導熱規(guī)律中，并取得了良好效果。楊文斌等(2006)利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡對木材徑向?qū)嵯禂?shù)進行了建模預測。胡亞才等(2005)提出一個計算橫紋導熱系數(shù)的分形模型和一個預測導熱系數(shù)的人工神經(jīng)網(wǎng)絡模型，并基于瞬態(tài)測量法試驗數(shù)據(jù)對模型進行了驗證。徐旭等(2007)提出一個以溫度和木材樣品孔隙率為輸入量、以木材導熱系數(shù)為輸出量的人工神經(jīng)網(wǎng)絡模型，并對木材導熱系數(shù)進行了非線性擬合。蔡從中等(2009)基于木材在不同影響因素(密度、含水率和比重)下沿橫向的導熱系數(shù)實測數(shù)據(jù)集，采用粒子群算法尋優(yōu)的支持向量回歸方法建立了木材沿不同方向的導熱系數(shù)預測模型。由于木材導熱系數(shù)受其微觀結(jié)構(gòu)、密度等多方面因素影響，不同導熱模型之間差異巨大(高青等，2008)，迄今為止尚未找到具有足夠精確度且適用范圍廣泛的木材導熱系數(shù)理論計算方程，通過試驗測量木材導熱系數(shù)幾乎成為實際應用過程中確定木材導熱系數(shù)的唯一有效途徑。瞬態(tài)平面熱源法是測量木材導熱系數(shù)的常用方法，但該方法計算過程中需要的已知無量綱特征時間函數(shù)D(τ)并不能直接計算出來，而是采用迭代法進行估計，這會對測量精度造成影響(豐正功，2017)。

模糊回歸分析是評價輸出變量與輸入變量之間函數(shù)關系的一種強有力方法，廣泛用于描述、控制和預測輸出變量的數(shù)值，常用模糊最小二乘法通過使觀測值與理論值之間的誤差平方和最小來確定模型參數(shù)，但由于最小二乘法對異常值敏感，無法得到滿意的回歸結(jié)果(Chukhrovaetal.，2019)。為解決這一問題，引入最小絕對回歸方法，即利用觀測值與理論值之間的誤差絕對值和最小來確定模型參數(shù)。Dielman等(1986)驗證了當數(shù)據(jù)中存在異常值時，最小絕對回歸方法優(yōu)于最小二乘法。Chang等(1994)提出了一種基于模糊差值排序的模糊最小絕對回歸方法，但是會產(chǎn)生線性規(guī)劃問題。Torabi等(2007)提出了一種基于“分辨率恒等式”的模糊輸入模糊輸出線性模型中模糊參數(shù)的最小絕對值估計方法。Choi等(2008)采用最小絕對偏差估計量構(gòu)建模糊回歸模型，并使用模糊最小絕對值法估計模糊參數(shù)。Kelkinnama等(2012)基于LR模糊數(shù)空間的一個新度量介紹了一個新的最小絕對模糊回歸模型。Taheri等(2012)通過引入一種新的模糊空間度量方法和最弱三角范數(shù)，并用最小絕對偏差方法構(gòu)建模型。Chachi等(2013)采用廣義Hausdorff-metric方法估計模糊參數(shù)，建立了一個實數(shù)輸入模糊輸出的最小絕對模糊回歸模型。Zeng等(2016)提出一種新的三角模糊數(shù)距離測度的前向估計方法，并討論了不同輸入輸出數(shù)據(jù)類型的不同情況以及回歸系數(shù)。Hesamian等(2017)研究半?yún)?shù)部分線性模型，提出了一種基于曲線擬合法和最小絕對偏差的模糊平滑函數(shù)和模糊系數(shù)混合估計方法。Hesamian等(2018)將最常用的經(jīng)典兩相法推廣到用非參數(shù)核函數(shù)估計區(qū)間值模糊平滑函數(shù)，用最小絕對偏差法估計區(qū)間值模糊系數(shù)，擴展了區(qū)間值模糊平滑函數(shù)的兩階段估計過程?，F(xiàn)有的模糊最小絕對回歸方法大多為線性回歸方法，即輸出變量是輸入變量的線性組合，但在對非線性相關的輸入輸出數(shù)據(jù)進行建模時會產(chǎn)生較大估計誤差。

鑒于此，本研究利用試驗測量獲得的木材體積比熱、徑向及弦向?qū)嵯禂?shù)和熱擴散系數(shù)，建立基于模糊最小絕對非線性回歸(fuzzy least absolute nonlinear regression,FLANR)方法的木材體積比熱模型和各向異性導熱模型，分析木材熱物性參數(shù)規(guī)律，以期為木材導熱規(guī)律研究、木材熱物性評價標準制定提供理論基礎和數(shù)據(jù)支撐。

1 材料與方法

1.1 試驗選材

對130種常見木材進行采樣，共涉及39個科。試驗樣品制作過程如圖1所示，原木材樣品尺寸均為210 mm×100 mm×20 mm，根據(jù)試驗要求，將每種木材樣品加工成2組試驗樣品，用于測量木材體積比熱的試驗樣品為直徑18 mm、厚度2 mm的圓片形樣品，用于測量木材導熱系數(shù)和熱擴散系數(shù)的試驗樣品為2塊50 mm×50 mm×20 mm的長方體樣品。所有試驗樣品均保存在溫度26 ℃、濕度55%的空調(diào)室內(nèi)。每次試驗前，將試驗樣品經(jīng)烤箱干燥，去除其內(nèi)部水分，以避免含水率對試驗的影響。

圖1 試驗樣品制作過程示意 Fig.1 The production process of the experimental sample

1.2 試驗原理

采用Hot Disk熱常數(shù)分析儀TPS2200測量130種常見木材樣品的體積比熱、導熱系數(shù)和熱擴散系數(shù)。Hot Disk測量基于瞬態(tài)平面熱源法，其測量的核心元件為具有連續(xù)雙螺旋結(jié)構(gòu)的溫度依賴探頭，外層為雙層Kapton保護層。Hot Disk熱常數(shù)分析儀測量原理如圖2所示。

圖2 測量探頭電路原理Fig.2 The schematic diagram of test probe circuit

根據(jù)電橋平衡原理，得到電橋平衡方程如下：

(1)

式中：RS為串聯(lián)電阻器的電阻值；RL為探頭引線的電阻值；R0為探頭的初始電阻值；ΔR為電阻隨溫度變化的增量；R(t)為探頭在t時刻的電阻值；ΔU(t)為樣品兩端檢測面電位在t時刻的變化量；I0為瞬態(tài)加熱初始時通過探頭的電流。

求得t時段內(nèi)樣品溫度增量：

(2)

式中：α代表探頭電阻率的溫度系數(shù)。

進而由Hot Disk熱常數(shù)分析儀自帶的分析系統(tǒng)得到試驗樣品的比熱、導熱系數(shù)和熱擴散系數(shù)。

1.3 試驗過程

測量樣品各向異性(軸向和徑向)導熱系數(shù)和熱擴散系數(shù)時需要將樣品體積比熱作為已知條件。樣品體積比熱測量使用Hot Disk熱常數(shù)分析儀的比熱模塊，將樣品置于一個絕熱且由高導材料制成的樣品支架中，加熱空樣品支架探頭并保存數(shù)據(jù)到參數(shù)文件，每次測量前，將已測取的參數(shù)文件導入測量樣品試驗中，以去除樣品支架對測量結(jié)果的影響。

樣品體積比熱測量的具體過程如下：首先將樣品置于樣品支架中，為其創(chuàng)造一個絕熱環(huán)境，并將加熱時間、加熱功率、樣品體積、樣品質(zhì)量作為已知條件輸入Hot Disk熱常數(shù)分析儀；然后將同一樣品在加熱功率100和200 mW時分別進行1次試驗，2次試驗結(jié)果均值作為最終試驗結(jié)果。為保證試驗條件相同，在2次試驗之間設置90 min間隔，確保樣品散熱充分。Hot Disk熱常數(shù)分析儀每次試驗時均會以相同時間間隔均勻采集200個時間點的溫升值，用于計算樣品體積比熱。為保證試驗結(jié)果準確性，需采集溫升變化較為穩(wěn)定的部分，本研究在計算試驗結(jié)果時選擇第101～200號時間點的溫升值參與計算。圖3為樣品體積比熱測量時的瞬態(tài)溫升圖。

圖3 20號比熱模塊樣品瞬態(tài)溫升圖(風車木)Fig.3 The transient temperature rise diagram of No.20 specific heat module sample (Combretum imberbe)

完成樣品體積比熱測量后，進行樣品各向異性(軸向和徑向)導熱系數(shù)和熱擴散系數(shù)測量。試驗使用Hot Disk熱常數(shù)分析儀的各向異性模塊，并將儀器探頭更換為雙螺旋金屬絲覆膜探頭。試驗時，將金屬探頭置于已固定的2塊長方體木材樣本中間，如圖4所示。為保證試驗結(jié)果有效性，體積比熱及各向異性(軸向和徑向)導熱系數(shù)和熱擴散系數(shù)測量使用的試驗樣本均由同一塊木材標本切割得到。同時，為減少外界環(huán)境因素對試驗結(jié)果的影響，每次試驗均使用黑色防護罩將試驗樣本與外界環(huán)境隔離。

圖4 探頭測量樣品熱物性參數(shù)示意Fig.4 The schematic diagram of thermophysical parameters of sample measured by probe

樣品導熱系數(shù)和熱擴散系數(shù)測量的具體過程如下：首先將樣品和金屬探頭固定在樣品支架上，并將樣品體積比熱等參數(shù)作為已知條件輸入各向異性模塊；然后在加熱功率50 mW、加熱時間80 s的條件下分別進行5次試驗，每次試驗間隔10 min且試驗參數(shù)相同；最后對5次測量結(jié)果取均值得到樣品各向異性(軸向和徑向)導熱系數(shù)和熱擴散系數(shù)。

需要特別注意的是，木材各向異性導熱系數(shù)和熱擴散系數(shù)試驗結(jié)果中使用的“軸向”和“徑向”是以金屬探頭為參照物，分別與木材樣品的徑向和弦向相對應，下文涉及所有各向異性試驗結(jié)果均對應木材樣品的徑向和弦向。

2 建模與訓練

模糊回歸分析是一種非常實用的數(shù)據(jù)分析工具，在許多領域得到廣泛應用。模糊最小絕對非線性回歸通過引入模糊推理方法，去除現(xiàn)有模糊最小絕對回歸的假設，可在輸入輸出之間非線性數(shù)學表達式未知的情況下準確描述數(shù)據(jù)間的非線性關系。

2.1 模糊最小絕對非線性回歸模型構(gòu)建方法

如果一個模糊系統(tǒng)由乘積推理機、單值模糊器以及上述定義的模糊規(guī)則庫組成，則模糊最小絕對非線性模型可以表示為：

(3)

(4)

假設x0=1，由三角模糊數(shù)運算(Zengetal.，2017)，模糊最小絕對非線性模型可以改寫為：

(5)

根據(jù)最小絕對回歸準則，即最小化模糊系統(tǒng)輸出的估計值與真實值在絕對值距離意義下的誤差，定義如下目標函數(shù)：

(6)

(7)

為求解式(7)中的優(yōu)化問題，定義以下變量：

則在式(7)中，

同理，

進而將式(7)轉(zhuǎn)化為：

(8)

式中：j=1,2,…,p；k=1,2,…,K；i=1,2,…,N。

最后進行坐標反變換，得到模糊最小絕對非線性回歸理論模型。

2.2 模糊最小絕對非線性回歸模型建模過程

木材體積比熱模型輸入包括樣品質(zhì)量、樣品體積、樣品溫升參數(shù)a、樣品溫升參數(shù)b、加熱時間和加熱功率，輸出為樣品體積比熱。木材各向異性導熱模型輸入包括樣品厚度、樣品軸向深度、樣品徑向深度、樣品質(zhì)量、探頭半徑、環(huán)境溫度、樣品溫升參數(shù)a、樣品溫升參數(shù)b、加熱時間和加熱功率，輸出為樣品軸向?qū)崧?、軸向熱擴散系數(shù)、徑向?qū)崧屎蛷较驘釘U散系數(shù)。本研究以木材體積比熱模型為例介紹模型建立的具體過程。

對輸入變量的論域進行劃分，為每個輸入變量分配3個高斯隸屬度函數(shù)，如圖5所示。模糊規(guī)則庫共由以下729條模糊規(guī)則構(gòu)成：

…

3 結(jié)果與分析

3.1 模型評價指標

模型建立后，為定量分析模型計算結(jié)果與試驗測試結(jié)果的擬合程度，使用5種常見評價指標對所建立的木材體積比熱模型和各向異性模型進行分析。

木材體積比熱模型為多輸入單輸出模型，使用平均相對誤差(mean relative error,MRE)、最大相對誤差(maximum relative error,MARE)、均方誤差(mean square error,MSE)和擬合度(R2)對模型回歸結(jié)果進行評價:

(9)

;(10)

(11)

(12)

木材各向異性模型為多輸入多輸出模型，使用擬合優(yōu)度(goodness of fit,GOF)評價指標進行分析(Wangetal.,2007):

(13)

R2理想值為1，MRE、MARE、MSE、GOF理想值為0。

3.2 木材體積比熱模型訓練與驗證結(jié)果

本研究使用Hot Disk熱常數(shù)分析儀測量不同木材體積比熱，共產(chǎn)生130組數(shù)據(jù)。在建模過程中，隨機選取其中120組數(shù)據(jù)作為訓練集，剩余10組數(shù)據(jù)作為驗證集。模型的訓練與驗證結(jié)果分別如圖6、7所示。建模所用數(shù)據(jù)集具有一定離散性，很難用數(shù)學表達式描述數(shù)據(jù)間的關系，采用本研究提出的模糊最小絕對非線性回歸(FLANR)方法，能夠清楚表征在數(shù)學表達式未知情況下的非線性關系。

圖6 木材體積比熱模型訓練結(jié)果Fig.6 Training results of the wood volume specific heat model

計算模型評價指標可知，模型訓練結(jié)果的MRE=0.019 3%、MARE=0.041 6%、MSE=0.028 0%、R2=0.999 9，模型驗證結(jié)果的MRE=0.026 0%、MARE=0.049 1%、MSE=0.035 2%、R2=0.977 6。當建模所用數(shù)據(jù)集較小時，F(xiàn)LANR仍能得到較好結(jié)果。將FLANR建模結(jié)果與ANFIS(褚鑫，2020)建模結(jié)果進行比較，如表1所示，可以看出，F(xiàn)LANR建立模型與ANFIS建立模型相比，無論是訓練還是驗證均有更好效果，F(xiàn)LANR建立模型計算時間更短，且具有更強泛化能力。

圖7 木材體積比熱模型驗證結(jié)果Fig.7 Validation results of the wood volume specific heat model

表1 FLANR和ANFIS結(jié)果比較Tab.1 Comparison of prediction results for FLANR and ANFIS

3.3 木材各向異性導熱模型訓練與驗證結(jié)果

與體積比熱模型類似，木材各向異性模型同樣隨機選取120組數(shù)據(jù)作為訓練集，剩余10組數(shù)據(jù)作為驗證集。模型的訓練與驗證結(jié)果分別如圖8、9所示?？梢钥闯?，采用FLANR方法能夠清楚表征多輸入多輸出模型的非線性關系，所建立木材各向異性導熱模型的訓練和驗證均有較好結(jié)果，模型的GOF=5.767 5×10-7。將本研究建立的模型與使用模糊最小二乘法(FLS)建立的模型進行比較，由于建模使用數(shù)據(jù)集為10輸入和4輸出，輸出變量間具有耦合性，導致 FLS無法準確描述輸入輸出變量的關系，結(jié)果如表2所示。限于文章篇幅，只給出木材軸向?qū)崧实谋容^結(jié)果。

圖8 木材各向異性導熱模型訓練結(jié)果Fig.8 Training results of wood anisotropic thermal conductivity model

圖9 木材各向異性導熱模型驗證結(jié)果Fig.9 Validation results of wood anisotropic thermal conductivity model

由表2可知，使用FLANR建立的模型具有更好的擬合效果和更強的泛化性。與常用模糊最小二乘法相比，模糊最小絕對非線性回歸將最小絕對準則與模糊邏輯理論結(jié)合，既發(fā)揮了模糊信息處理非確定信息的能力，又充分利用了最小絕對準則處理具有一定離散性數(shù)據(jù)集時表現(xiàn)出快速性和泛化性的優(yōu)勢，同時驗證了本研究所構(gòu)建木材體積比熱模型和各向異性導熱模型應用于木材熱物性參數(shù)預測的可行性。

表2 FLANR和FLS結(jié)果比較Tab.2 Comparison of prediction results for FLANR and FLS

為驗證本研究提出FLANR方法的有效性，將建立的木材各向異性導熱模型與蔡從中等(2009)采用支持向量機(SVM)建立的木材徑向、弦向?qū)嵯禂?shù)模型進行比較，結(jié)果如表3所示。

表3 FLANR和SVM結(jié)果比較Tab.3 Comparison of prediction results for FLANR and SVM

由表3可知，F(xiàn)LANR驗證結(jié)果的MRE、MARE、MSE和R2均優(yōu)于相應的SVM驗證結(jié)果。蔡從中等(2009)建立的木材導熱系數(shù)模型中僅包含28種木材樣品，而本研究以130種木材為研究對象；另外，本研究建立木材導熱系數(shù)模型的輸出不僅包括木材徑向和弦向?qū)嵯禂?shù)，還包括木材徑向和弦向熱擴散系數(shù)。

4 結(jié)論

本研究利用Hot Disk熱常數(shù)分析儀對130種常見木材進行熱物性參數(shù)測試，并根據(jù)試驗結(jié)果對木材導熱規(guī)律進行進一步研究。利用模糊最小絕對非線性回歸方法，建立木材體積比熱模型和各向異性導熱模型，該方法將最小絕對回歸方法與模糊邏輯理論相結(jié)合，既保持了最小絕對回歸準則魯棒性較強的優(yōu)點，同時可以在模型數(shù)學表達式未知情況下準確描述輸入變量與輸出變量之間的非線性關系。為驗證模糊最小絕對非線性回歸方法的有效性，將本研究建立模型與使用ANFIS、FLS和SVM建立模型進行比較，結(jié)果表明，本研究方法在用于多輸入單輸出或多輸入多輸出模型建立時，預測結(jié)果擬合度均能達到0.99以上，平均相對誤差、最大相對誤差和均方誤差的最小值分別為0.19%、0.34%和0.08%，所建立模型具有較好的擬合效果和泛化性。本研究建立的木材體積比熱模型和各向異性導熱模型為木材熱物性評價標準的制定提供了理論基礎，同時也為根據(jù)木材熱物性標準在選擇不同類型的木材時提供了依據(jù)，對木材產(chǎn)品的標準化和規(guī)范化具有重要意義。