SINS減振系統(tǒng)參數(shù)與耦合角運動的關(guān)系

姚建軍，閆紅松，李 欣，李 茜，李 偉

（北京自動化控制設(shè)備研究所，北京 100074）

劇烈的隨機振動是捷聯(lián)慣導系統(tǒng)在飛行器上面臨的主要力學環(huán)境，振動引起系統(tǒng)性能不穩(wěn)定或元器件損壞而影響正常的工作。為了減小振動帶來的不良影響，經(jīng)常將捷聯(lián)慣導系統(tǒng)通過橡膠減振器彈性聯(lián)結(jié)到載體上，即采用整體減振措施。如果減振系統(tǒng)的彈性中心（也有叫減振中心）與慣導系統(tǒng)的質(zhì)心不重合，慣導系統(tǒng)在作線振動的同時還會伴隨有角振動，作角振動的同時也夾雜著線振動，即慣導系統(tǒng)的線振動與角振動之間發(fā)生耦合[1]。振動耦合給系統(tǒng)引入偽角運動信號，不僅由于尺寸效應(yīng)影響線加速度的測量精度[2-7]，而且還影響角速度測量的傳遞特性，從而影響系統(tǒng)的測量精度和動態(tài)性能。因此，如何減小振動耦合、如何減小由于振動耦合引起的角運動一直以來都是捷聯(lián)慣導系統(tǒng)減振設(shè)計的重點和難點。目前，國內(nèi)外在這方面已開展了較多的理論研究與工程實踐[8-11]，取得了一些定性的認識。比如，減振系統(tǒng)的彈性中心盡量與質(zhì)心重合、線共振頻率盡可能低、角共振頻率盡可能高；八點隔振模式比四點隔振模式在抑制耦合角運動方面更加優(yōu)越等。但是，迄今為止尚沒有人從定量計算的角度研究過這類問題，捷聯(lián)慣導系統(tǒng)的減振設(shè)計在控制耦合角運動方面目前還處于半經(jīng)驗狀態(tài)。盡管在設(shè)計完成后可以采用有限元方法對耦合角運動響應(yīng)進行核算，但一旦設(shè)計不滿足要求，無論是方案更改還是參數(shù)確定都缺乏理論方面的指導，盲目性較大，設(shè)計風險偏高。

針對這一問題，本文采用數(shù)學推理的方法研究探討了耦合角運動與減振系統(tǒng)的偏心距、減振器的跨距等減振器布置參數(shù)之間以及與減振器的剛度、阻尼等力學參數(shù)之間的解析關(guān)系，給出了線加速度激勵隨機振動條件下耦合角速度的計算公式，藉此闡釋了捷聯(lián)慣導系統(tǒng)減振器布置及力學參數(shù)對耦合角運動的影響規(guī)律。根據(jù)本文給出的理論計算公式，便可很簡便地對減振器布置形式（即隔振模式[8]）的選擇及參數(shù)的選取對耦合角運動的影響等問題作出定量分析和評判。本文研究成果填補了捷聯(lián)慣導減振系統(tǒng)耦合角運動理論計算方面的不足，可為工程設(shè)計提供理論指導和算法支撐。

1 耦合角運動解析計算方法

1.1 耦合角運動解析計算模型

如果捷聯(lián)慣導系統(tǒng)結(jié)構(gòu)剛度足夠大，與減振器相比可近似作為剛體處理，則采用整體減振措施的捷聯(lián)慣導系統(tǒng)的動力學特性可用六自由度等效模型來近似模擬[1,8]。根據(jù)文獻[1]，當彈性中心與慣導系統(tǒng)的質(zhì)心不重合時，線振動與角振動耦合，一個軸向上的線振動可以引起另外兩個軸向上的角振動；當慣量坐標系（坐標原點與慣導系統(tǒng)的質(zhì)心重合，三個坐標軸分別與慣導系統(tǒng)的三個慣性主軸重合）與彈性坐標系（坐標原點與慣導減振系統(tǒng)的彈性中心重合，三個坐標軸分別與慣導減振系統(tǒng)的三個彈性主軸重合）不平行時，角振動與角振動耦合，一個軸向上的角振動也可以引起另外兩個軸向上的角振動。本文主要討論由于線振動引起的角振動，不考慮由于角振動耦合引起的角振動。故假設(shè)慣量坐標系與彈性坐標系平行，彈性中心位于慣量坐標系的某一坐標軸上，且與質(zhì)心不重合。這樣，六自由度模型可簡化為圖1所示的二自由度模型。圖中，m為慣導系統(tǒng)的質(zhì)量，J為慣導系統(tǒng)相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量，k1、k2、c1、c2分別為慣導系統(tǒng)兩側(cè)減振器的剛度和阻尼，l為兩側(cè)減振器之間跨距的一半；o點表示慣導系統(tǒng)的質(zhì)心位置，o1點表示兩側(cè)減振器連線的中點，o點與o1點之間的距離為δ。設(shè)慣導系統(tǒng)質(zhì)心相對載體沿上下方向直線運動的自由度為y，向上為正；慣導系統(tǒng)在垂直紙面方向上繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的自由度為θ，逆時針為正。則慣導系統(tǒng)在基礎(chǔ)簡諧運動（設(shè)其加速度為）激勵下的動力學微分方程可表示為式(1)。

圖1 慣導系統(tǒng)二自由度模型示意圖Fig.1 Sketch map of two-degree-of-freedom model of INS

方程(1)中，l1=l+δ，l2=l-δ；k1+k2為系統(tǒng)的線振動剛度；為系統(tǒng)的角振動剛度；k2l2-k1l1為系統(tǒng)的剛度不平衡量；c1+c2為系統(tǒng)的線振動阻尼；為系統(tǒng)的角振動阻尼；c2l2-c1l1為系統(tǒng)的阻尼不平衡量。

由方程(1)可以看出，系統(tǒng)由于存在剛度不平衡和阻尼不平衡，從而使得線運動引起角運動，角運動的同時改變線運動激勵從而影響線運動，線運動與角運動發(fā)生耦合。所以說，剛度不平衡和阻尼不平衡是線運動與角運動發(fā)生耦合的內(nèi)部原因。

將剛度不平衡量的表達式重新整理：

設(shè)彈性中心與o1點的距離為s，位于o1點的右側(cè)。根據(jù)彈性中心的物理意義，有：

即彈性中心是各減振器剛度相對該點的一階矩之和為零的點。

由式(3)，有：

將式(4)帶入式(2)，得：

由式(5)可以看出，剛度不平衡是由于彈性中心與質(zhì)心不重合造成的，其量值大小等于彈性中心與質(zhì)心之間的距離與減振系統(tǒng)線振動剛度的乘積。當彈性中心與質(zhì)心重合時，剛度不平衡量為零（注：此時阻尼不平衡量也為零），線運動與角運動解耦，與文獻[1]的結(jié)論一致。

由式(4)(5)也可以看出，減振器剛度不一致對系統(tǒng)振動耦合性能的影響與質(zhì)心偏離具有同等的效果，其等效關(guān)系根據(jù)式(4)確定，即：

式(6)中，δ′可以認為是由于減振器剛度不一致所導致的等效偏心量。

不妨令e=δ-s，稱e為系統(tǒng)質(zhì)心偏離彈性中心的偏心距；令k=k1+k2，稱k為減振系統(tǒng)的線振動剛度。則式(5)可以寫成：

下面來分析系統(tǒng)的角振動剛度。

將式(8)帶入系統(tǒng)的角振動剛度表達式，有：

一般來說，Δk遠小于k，δ遠小于l，4Δklδ比要小得多，在工程上可以忽略不計，且l2+δ2≈l2，這樣：

令c=c1+c2，稱c為減振系統(tǒng)的線振動阻尼。按照同樣的推導方法，可以得到：

將式(7)(10)(11)(12)代入方程(1)有：

這樣，我們就將一個兩自由度耦合動力學微分方程簡化成兩個具有關(guān)聯(lián)關(guān)系的單自由度動力學微分方程。該方程即為本文研究捷聯(lián)慣導系統(tǒng)耦合角運動的數(shù)學模型。

1.2 耦合角運動解析計算方法

下面我們來研究方程(14)的解析計算方法。

將式(15)帶入方程(14)有：

由方程(16)的上式有：

由方程(16)的下式有：

式中，λθ為激勵頻率ω與角共振頻率之比，。

將式(17)帶入式(18)得：

這樣可以寫出基礎(chǔ)線加速度激勵下角速度響應(yīng)的頻響函數(shù)：

根據(jù)振動系統(tǒng)在單一隨機振動激勵下的響應(yīng)功率譜計算公式[12]，有：

角速度響應(yīng)的均方根值為：

將式(21)帶入式(23)有：

在共振區(qū)域內(nèi)對式(24)中的被積函數(shù)作簡化處理，令：

經(jīng)驗證，這樣簡化將會給計算結(jié)果帶來5%左右的誤差（參見下文表1）。

式(26)中的積分項：

在工程上，功率譜密度通常采用單邊譜W（f）來表示，式中，f為圓頻率，雙邊譜S（ω）與單邊譜的換算關(guān)系為。

重新整理式(26)得到：

2 耦合角運動與減振器布置參數(shù)及力學參數(shù)之間的關(guān)系

下面根據(jù)式(28)來討論由于耦合產(chǎn)生的角速度均方根值（下面簡稱耦合角速度均方根值）與減振器布置參數(shù)及力學參數(shù)之間的關(guān)系。

由式(28)右側(cè)第二項可知，耦合角速度均方根值與偏心距e成正比，偏心距大耦合角速度均方根值大、偏心距小耦合角速度均方根值小。由于偏心距是彈性中心與系統(tǒng)質(zhì)心之間的距離，它不僅受到減振器幾何位置參數(shù)相對系統(tǒng)質(zhì)心對稱性的影響，而且還受到減振器剛度一致性的影響，所以，耦合角速度均方根值不僅與減振器相對系統(tǒng)質(zhì)心布置的對稱性相關(guān)，而且還與減振器剛度的一致性相關(guān)。當減振器的剛度一致時，耦合角速度均方根值與減振器布置的幾何對稱中心相對系統(tǒng)質(zhì)心的偏移量成正比；當減振器相對系統(tǒng)質(zhì)心對稱布置時，耦合角速度均方根值與減振器的剛度偏差成正比；當減振器既不能相對系統(tǒng)質(zhì)心對稱布置，其剛度也不能保持一致時，耦合角速度均方根值與二者的等效差值成正比（參見式(5)(6)），二者的作用既有可能相互增強也有可能相對抵消。

由式(28)右側(cè)第二項可知，耦合角速度均方根值與減振器的跨距2l的平方成反比。跨距減小，耦合角速度均方根值迅速增大；跨距增大，耦合角速度均方根值迅速減小。例如，如果減振器的跨距增大50%，耦合角速度均方根值將會減小一半還多；如果減振器的跨距增大1倍，耦合角速度均方根值將會減小四分之三；如果減振器的跨距增大2倍，耦合角速度均方根值差不多會減小1個數(shù)量級?？梢姡瑴p振器跨距對于耦合角速度均方根值具有非常顯著的影響。觀察式(28)的后幾項不難看出，減振器跨距對于耦合角速度均方根值的影響遠比其他因素顯著。

由式(28)右側(cè)第三項可知，耦合角速度均方根值與減振系統(tǒng)線共振頻率fn的平方根成反比，即與減振器剛度的四次方根成反比。減振器的剛度提高1倍，耦合角速度均方根值僅僅降低16%；減振器的剛度提高3倍變成原來的4倍，即減振系統(tǒng)的共振頻率提高1倍，耦合角速度均方根值僅僅降低不到30%?？梢?，與減振器跨距相比，減振器剛度對耦合角速度均方根值的影響要小得多。盡管如此，由于在工程上提高減振器剛度比提高減振器跨距更容易實現(xiàn)，因此提高減振器剛度的措施也經(jīng)常被采用。

由式(28)右側(cè)第四項可知，耦合角速度均方根值還受到減振系統(tǒng)線共振頻率與角共振頻率之比λθn的影響。當減振系統(tǒng)的線共振頻率一定時，則主要取決于角共振頻率。一般情況下，角共振頻率大于線共振頻率。此時，角共振頻率提高，λθn減小，1 -增大，減小，耦合角速度均方根值減小。此外，當角共振頻率接近線共振頻率時，1-趨近于0，趨近其極大值，耦合角速度均方根值也趨近其極大值。所以，在工程上應(yīng)盡量避免角共振頻率靠近線共振頻率。

由式(28)右側(cè)第四項、第五項可知，耦合角速度均方根值受到減振器阻尼的影響，關(guān)系比較復雜?？傮w而言，減振器的阻尼增大，耦合角速度均方根值減?。粶p振器的阻尼減小，耦合角速度均方根值增大。當減振系統(tǒng)的角共振頻率是線共振頻率的倍以上時，阻尼對第四項的影響較小，主要影響體現(xiàn)在第五項，此時，耦合角速度均方根值與阻尼的平方根成反比。當減振系統(tǒng)的角共振頻率是線共振頻率的倍以下時，角共振頻率越靠近線共振頻率阻尼的影響越大，甚至成為顯著影響因素。

由式(28)右側(cè)第六項可知，耦合角速度均方根值與線加速度隨機振動激勵譜在共振區(qū)域譜值的平方根成正比。如果隨機振動激勵譜在共振區(qū)域內(nèi)的譜值較大，即使其均方根值較小也可能激發(fā)起較大的耦合角速度；反之，如果隨機振動激勵譜在共振區(qū)域內(nèi)的譜值很小，即使其均方根值很大也激發(fā)不起太大的耦合角速度。所以，通過改變減振系統(tǒng)的共振頻率使共振區(qū)域移動到隨機振動激勵譜中譜值較小頻帶的方法也可以實現(xiàn)抑制耦合角速度的目的。

3 減振器布置形式對耦合角運動的影響

由式(28)知，捷聯(lián)慣導系統(tǒng)在線加速度隨機振動激勵下由于彈性中心偏離系統(tǒng)質(zhì)心導致的耦合角速度均方根值主要受偏心距、減振器跨距、減振器剛度（或減振系統(tǒng)線共振頻率）、減振器阻尼、減振系統(tǒng)角共振頻率、隨機振動激勵譜在共振區(qū)域的譜值等因素影響。在這些影響因素中，減振器的布置形式或者僅改變跨距、或者僅改變偏心距、或者同時改變跨距和偏心距，而減振器跨距改變的同時還會改變系統(tǒng)角共振頻率，進而對系統(tǒng)的耦合角運動產(chǎn)生影響。所以，如果一種減振器的布置形式或者能使減振器的跨距增大、或者能使偏心距減小、或者兼而有之，那么就認為這種減振器布置形式對抑制耦合角運動是有益的，反之是無益的。下面以文獻[8]中提到的捷聯(lián)慣導系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計中最常采用的腰部平面四點隔振模式和空間八點隔振模式為例，通過對比分析的方法來進一步說明這個問題。

仍然以一個長方體來模擬慣導系統(tǒng)，設(shè)其長、寬、高分別為300 mm、200 mm、150 mm。采用腰部平面四點隔振模式時，將減振器布置在長方體的上下對稱平面上；采用空間八點隔振模式時，將減振器布置在長方體的八個頂點位置，如圖2所示。假設(shè)每組減振器的剛度、阻尼均一致。在兩種隔振模式中，由于減振器在長、寬、高方向上均對稱布置，所以減振器布置形式對偏心距不產(chǎn)生影響，只對跨距產(chǎn)生影響。在減振器剛度一定的條件下，由于跨距決定角振動剛度進而決定角共振頻率，所以跨距應(yīng)與轉(zhuǎn)動自由度相對應(yīng)，具體確定方法是：以某旋轉(zhuǎn)平面上能夠抑制慣導系統(tǒng)繞該平面法線方向轉(zhuǎn)動的減振器之間的最長距離作為與該轉(zhuǎn)動自由度相對應(yīng)的減振器跨距。下面舉例說明。

圖2 減振器布置形式示意圖Fig.2 Sketch map of vibration absorber arrangement form

令計算坐標系的x軸、y軸、z軸與長方體的寬、長、高方向分別平行（參見圖2）。當慣導系統(tǒng)繞x軸轉(zhuǎn)動時，對于平面四點隔振模式，減振器的跨距為減振器在y軸方向上的距離；對于空間八點隔振模式，減振器的跨距為長方體在x軸方向上的長方形截面的對角線長度（參見圖3）。當慣導系統(tǒng)繞y軸轉(zhuǎn)動時，對于平面四點隔振模式，減振器的跨距為減振器在x軸方向上的距離；對于空間八點隔振模式，減振器的跨距為長方體在y軸方向上的長方形截面的對角線長度。當慣導系統(tǒng)繞z軸轉(zhuǎn)動時，無論是平面四點隔振模式還是空間八點隔振模式，減振器的跨距均為長方體在z軸方向上的長方形截面的對角線長度。

圖3 減振器跨距示意圖Fig.3 Sketch map of vibration absorber span

4 仿真驗證與分析

為了演示驗證減振器布置形式對耦合角運動的影響，以圖2所示的兩種慣導減振系統(tǒng)為例，采用解析法和有限元數(shù)值計算法兩種方法對慣導系統(tǒng)在不同軸向上偏心時的耦合角速度均方根值進行了計算，結(jié)果見表1。

為便于比較，假設(shè)偏心距均為5 mm、系統(tǒng)線振動頻率均為100 Hz、線振動模態(tài)阻尼比均為0.125、線加速度隨機振動激勵譜均為譜值為1 (m/s2)2/Hz的白噪聲譜（0 Hz～2000 Hz）。所建立的有限元模型與文獻[8]一致，即以剛性長方體來代替慣導系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，以線性彈簧阻尼單元來模擬減振器。有限元建模與仿真過程均在大型通用有限元軟件ansys15.0環(huán)境下完成。在本例中，由于慣導系統(tǒng)結(jié)構(gòu)對稱，該有限元模型實質(zhì)上已退化為一個二自由度模型，其數(shù)值解與理論解一致。

表中，按照式(28)計算得到的解析解與用三維有限元模型計算得到的數(shù)值解相近（解析解通常比數(shù)值解小5%左右），可以說明式(28)以及第3節(jié)提出的減振器跨距計算方法是正確的，并且也是比較精確的。需要說明的是，本文所使用的有限元建模和計算方法已在多個型號的研制中得到了驗證。

由表1計算結(jié)果可以看出，與腰部平面四點隔振模式相比，空間八點隔振模式由于增大了兩個旋轉(zhuǎn)自由度上的減振器跨距，并同時增大了這兩個旋轉(zhuǎn)自由度上的角共振頻率，所以這兩個旋轉(zhuǎn)自由度方向上的耦合角速度得到了不同程度的減小。根據(jù)式(28)可估算，減振器跨距增大產(chǎn)生的影響分別占77%、90%，遠比角共振頻率增大的影響顯著。在四點隔振平面的法線方向上，兩種隔振模式的減振器跨距和角共振頻率均相同，所以耦合角運動不發(fā)生變化。這也就是說，與腰部平面四點隔振模式相比，空間八點隔振模式只能減小四點隔振平面上兩個方向上的耦合角運動，而不能改變四點隔振平面法線方向上的耦合角運動。此外，這里還發(fā)現(xiàn)一個有趣的對偶現(xiàn)象，即：在相同條件下，無論是腰部四點隔振模式還是空間八點隔振模式，A軸方向偏心、B軸方向激振與B軸方向偏心、A軸方向激振產(chǎn)生同樣的耦合結(jié)果。

表1 耦合角速度計算結(jié)果列表Tab.1 List of calculation results of coupling angular velocity

5 結(jié) 論

本文建立了捷聯(lián)慣導整體減振系統(tǒng)耦合角運動數(shù)學計算模型，推導出了隨機振動條件下耦合角速度的解析計算公式，填補了捷聯(lián)慣導減振系統(tǒng)耦合角運動理論計算方面的不足，揭示了減振器布置形式、減振器布置參數(shù)、減振器力學參數(shù)以及隨機振動激勵譜對耦合角速度的影響規(guī)律，可為捷聯(lián)慣導減振系統(tǒng)的設(shè)計、分析與評估提供直接的理論支撐和具體計算方法。本文研究成果既適用于內(nèi)部無機械運動部件的捷聯(lián)慣導系統(tǒng)（如光纖捷聯(lián)慣導系統(tǒng)等），也適用于內(nèi)部帶有機械轉(zhuǎn)動部件的捷聯(lián)慣導系統(tǒng)（如旋轉(zhuǎn)調(diào)制慣導系統(tǒng)、機抖激光陀螺捷聯(lián)慣導系統(tǒng)等），但不適用于對慣性測量單元采用二級減振措施的慣導系統(tǒng)。無論是旋轉(zhuǎn)調(diào)制慣導系統(tǒng)還是機抖激光陀螺慣導系統(tǒng)，盡管轉(zhuǎn)動部件在一個方向上轉(zhuǎn)動時也可以在與轉(zhuǎn)動方向垂直的方向上耦合出角運動，但無論是耦合機理[14]、耦合運動形式還是控制耦合運動的方法[15]都與本文所討論的環(huán)境振動引起耦合角運動問題存在顯著差別，作者建議分別研究和處置，故本文沒有考慮轉(zhuǎn)動部件的轉(zhuǎn)動運動對耦合角運動的影響。

本文的研究結(jié)論是在慣量坐標系與彈性坐標系平行的假設(shè)條件下得出的，沒有考慮角運動與角運動耦合帶來的影響。在工程上盡管很難做到兩坐標系之間絕對平行，但對于關(guān)注耦合角運動的慣導系統(tǒng)來說，兩坐標系之間的不平行度一般都會被控制在較小的范圍，角運動之間僅發(fā)生輕微耦合。此時，式(28)的計算精度略有下降，但基本不改變由此得出的比例關(guān)系。后續(xù)將對角運動之間耦合帶來的影響進行深入探討。