復雜船體結構拓撲優(yōu)化中最小穩(wěn)定拓撲板厚的快速確定方法

朱俊俠，吳嘉蒙*，劉亞沖，高明星

1 中國船舶及海洋工程設計研究院，上海 200011

2 上海市船舶工程重點實驗室，上海 200011

1 引 言

近年來，結構優(yōu)化成為了船舶結構設計領域的研究熱點，優(yōu)化的目的是在確保結構安全的前提下，盡可能減少結構重量，實現(xiàn)輕量化結構設計[1-2]。在常規(guī)的結構優(yōu)化方法中，拓撲優(yōu)化不同于尺寸優(yōu)化或形狀優(yōu)化，其目標是尋找結構材料最優(yōu)的分布形式及結構的最佳傳力路徑，使其能夠較大程度地改善結構特性，而這是其他優(yōu)化方法無法做到的[3-4]。

目前，船舶結構拓撲優(yōu)化方法的應用研究還不夠深入，尤其是針對復雜的船體結構，例如橫向強框架、水平桁等。所謂“復雜”結構，不僅是指代結構型式，還體現(xiàn)在板厚分布方面。不同于機械三維實體零件，對船體結構開展拓撲優(yōu)化設計時，其設計域單元類型多為二維板殼單元，也可以認為其是由多個二維設計域組合在一起的優(yōu)化設計[5-7]。針對三維實體單元的拓撲優(yōu)化，只需輸入材料的密度，而針對二維板殼單元拓撲優(yōu)化，還需確定設計域的板厚。因此，如何確定二維設計域的板厚，這是船體結構拓撲優(yōu)化需要直接面對的一個問題。

對于結構型式簡單的船體結構，若其初始結構的板厚是唯一的或數(shù)值相差不大，要求設計域板厚與初始結構板厚一致或相似即可。然而，對于比較復雜的船體結構，例如VLCC油船貨艙內的橫向強框架，在初始設計中就存在多個板厚，且最大值與最小值之間相差近10 mm。同時，強框架上還布置有防屈曲筋和面板，對其進行拓撲優(yōu)化時設計域的板厚如何取值尚無準確的方法[8]。鑒于設計域板厚與設計域體積直接相關，板厚得不到確定將無法確定設計域體積，影響約束條件中體積分數(shù)約束值的確定，致使在目前船體結構拓撲優(yōu)化實踐中體積分數(shù)約束值通常需要依靠大量試算才能大致獲得，缺乏可靠的確定方法。在體積分數(shù)約束值給定的前提下，本文作者在文獻[1]中的研究發(fā)現(xiàn)，設計域板厚取值差異在復雜受力環(huán)境下將對橫向強框架的拓撲構型產(chǎn)生影響，故針對不同設計域板厚的大量優(yōu)化計算及多個工況的多組拓撲結果，提出了“最小穩(wěn)定拓撲板厚”的概念，認為在各工況載荷下存在某個最小設計域板厚（即設計域板厚不小于該值時，橫向強框架的拓撲優(yōu)化構型相對穩(wěn)定），并且基于該最小穩(wěn)定拓撲板厚可進行穩(wěn)定拓撲構型的工程化方案設計。但是，在通過逐個工況來確定最小穩(wěn)定拓撲板厚的過程中需要依賴工程師判斷構型的穩(wěn)定性，且只能定性而無法定量給出判斷，工作效率和自動化程度有待提高。

綜上所述，本文將以橫向強框架拓撲優(yōu)化為例，進一步開展復雜船體結構的相關研究?；诔跏紮M向強框架的體積，提出一種設定體積分數(shù)約束值的折衷方法，以及基于拓撲結果中的單元相對密度值，提出一種橫向強框構型識別方法，并通過量化處理，減少人為判斷因素的干擾，快速確定各工況下強框架的最小穩(wěn)定拓撲板厚。

2 拓撲優(yōu)化中體積分數(shù)約束值的一種確定方法

2.1 方法介紹

拓撲優(yōu)化中常見的約束條件有體積分數(shù)約束、位移約束以及應力約束[9]。本文作者在文獻[1]中提出，針對橫向強框架的拓撲優(yōu)化，約束條件應不設置應力約束，僅設置體積分數(shù)約束即可。但是，設計域板厚取值的不確定性會影響到約束條件中體積分數(shù)約束值的設定。

船體結構拓撲優(yōu)化中體積分數(shù)約束值Cvf的設定一般需要參考初始結構的體積V0，并將V0與設計域體積Vdd之比Cvf0作為參考值。鑒于輕量化設計的目的，在實際結構優(yōu)化時，Cvf取值可以適當小于Cvf0，即

式中，V為優(yōu)化后所保留的拓撲構型體積。

然而，如上所述，橫向強框架的設計域板厚目前尚無準確的方法，即使設計域范圍已確定，設計域體積Vdd依然無法確定，進而導致體積分數(shù)約束參考值Cvf0無法確定，體積分數(shù)約束值Cvf無設定依據(jù)，最終使拓撲優(yōu)化較難開展。經(jīng)研究認為，針對以橫向強框架為代表的復雜船體結構，拓撲優(yōu)化時Cvf的確定可以歸結為Cvf0的確定問題，但是Cvf0確定的條件是設計域板厚已知。因此，可將式（1）中的所有體積項展開，寫為式中：A為優(yōu)化后所保留的拓撲構型面積；A0為初始結構的面積；Ad為設計域的面積；td為設計域板厚；taver為初始設計強框架結構的平均板厚。其他變量同式（1）。

由式（2）可知，Cvf0的確定有2種方法：第1種是考慮td，根據(jù)自行取值的td，與初始設計強框架的平均板厚taver進行直接計算（以下稱方法1）；第2種是不考慮td，僅將拓撲前、后的面積之比A0/Ad作為確定Cvf0的依據(jù)，即認為A0/Ad≈Cvf0，此時，Cvf0可唯一確定（以下稱方法2）。

進一步分析發(fā)現(xiàn)：方法1盡管能夠同時考慮td和taver，但其致命的問題是Cvf0會隨著td的變化而變化，無法唯一確定；而方法2可以確保Cvf0的唯一性，但此時td的影響無法考慮，其結果將完全依靠拓撲前、后的面積之比A0/Ad來確定。經(jīng)研究認為：拓撲優(yōu)化的最終目的在于尋找到設計域內最佳/主要的載荷傳遞路徑，關注的重點應是設計域的最終拓撲構型；在板厚均勻的二維設計域上，結構的構型在一定程度上可由面積分布情況來決定。因此，將拓撲結構的體積之比退化為其面積之比是可以接受的。至于設計域板厚對拓撲結果的影響，可以通過同一體積分數(shù)約束值下多組設計域板厚的拓撲結果進行判斷。因此，綜合上述分析，本文認為方法2更為可行。

2.2 實船算例的驗證與分析

為了進一步驗證上述2種方法的合理性，以某型VLCC油船貨艙內典型強框架的拓撲優(yōu)化為例，按照上述2種不同方法取值，分別給出體積分數(shù)約束值Cvf的拓撲結果。本文所有拓撲優(yōu)化計算是基于固體各向同性懲罰微結構（solid isotropic microstructures with penalization，SIMP）的變密度法在HyperWorks/OptiStruct軟件平臺上完成的。優(yōu)化工況為《雙殼油船和散貨船協(xié)調共同結構規(guī)范（HCSR）》[10]中三艙段模型強度分析規(guī)定的載荷工況，共42種。優(yōu)化模型的具體尺寸信息詳見文獻[1]。本文僅給出了拓撲優(yōu)化目標橫向強框架所在位置以及強框架拓撲優(yōu)化設計域設定的示意圖，如圖1和圖2所示的黃色區(qū)域。拓撲優(yōu)化的工況在本節(jié)選擇為A1_HSM1_S（其中，A1為裝載模式，HSM1_S為設計波工況）。

圖1 拓撲優(yōu)化目標橫向強框架所在位置Fig.1 Location of target transverse web frame for topology optimization

圖2 橫向強框架拓撲優(yōu)化設計域Fig.2 Design domain of transverse web frame for topology optimization

1） 通過td和taver（23 mm）計算體積分數(shù)約束參考值Cvf0。

在表1中給出了一系列橫向強框架的td值，采用方法1分別確定Cvf0，在約束條件中暫取Cvf等于Cvf0，具體數(shù)值如表1第2列所示。表中，x表示單元相對密度的閾值。

表1 不同設計域板厚與對應體積分數(shù)約束值下的橫向強框架拓撲優(yōu)化結果Table1 Topology optimization results of transverse web frame constrained by different plate thickness of design domain and corresponding volume fraction

由表1可知，采用方法1確定體積分數(shù)約束值時，td取值對Cvf影響較大。例如，td從20 mm變?yōu)?0 mm時，Cvf由0.21減至0.10，此改變對最終的拓撲結果會產(chǎn)生很大影響。因此，為將此影響可視化，基于上述td與Cvf分別開展了目標橫向強框架的拓撲優(yōu)化。優(yōu)化的數(shù)學模型如下：

式中：X為設計域內各單元的相對密度；C為單工況三艙段結構柔度值；[Cvf]為指定的體積分數(shù)約束值；xmin為設計域內單元相對密度的最小值，通常取為0.001。

根據(jù)表1第3與第4列給出的不同td與Cvf所對應的橫向強框架拓撲優(yōu)化結果可見，當td在小范圍內變化時，對拓撲優(yōu)化結果的影響不明顯，例如td為20，23與25 mm時的結果；當td的變化范圍增大時，例如由20 mm變?yōu)?0 mm，Cvf則由0.21減至0.10，此時，對拓撲結果的影響開始顯現(xiàn)，不僅橫撐的面積縮減，縱艙壁上的垂直桁與內底的相交結構也由大肘板變?yōu)榱诵睋危划攖d的變化范圍繼續(xù)增加時，例如由20 mm變?yōu)?0 mm，Cvf則由0.21減至0.04，此時，對拓撲結果的影響特別明顯，橫撐的面積急劇縮小，同時內底板上的大肘板基本消失。

由上述分析結果可見：當td變化時，若Cvf也隨之改變，則td的取值對拓撲結果起著至關重要的作用；若取值不合適，就無法獲得理想的拓撲構型；另外，若試圖通過本方法不斷調整td來獲得Cvf值，則需要對比多組拓撲結果，這不僅對工程師的優(yōu)化設計經(jīng)驗有一定的要求，而且也很難獲得精度較高的Cvf值。

綜上所述，通過理論分析與算例驗證，本文認為采用方法1確定Cvf并不理想。

2） 通過面積比A0/Ad確定Cvf0。

該方法在確定體積分數(shù)約束參考值Cvf0時，暫不考慮td的影響，而以面積比A0/Ad作為依據(jù)。其實，該比值也等同于方法1中td=taver的計算結果。經(jīng)計算后可知，Cvf0=A0/Ad= 0.17。作為對比，表2給出了相同Cvf（Cvf= 0.17）時不同td的拓撲優(yōu)化結果。

由表2所示結果可見，在A1_HSM1_S工況下，當td從15 mm變化至40 mm時，橫向強框架的拓撲構型基本穩(wěn)定，拓撲構型的面積也近似，沒有出現(xiàn)如表1中所示拓撲構型變化較大的現(xiàn)象。通過該方法確定Cvf可以暫時跳過確定td這個難題，同時依然可以獲得較為理想的拓撲構型。接下來，可以在相同Cvf下開展td對拓撲優(yōu)化結果的影響研究，進而給出td的取值建議或者方法，即將確定td的問題放在后續(xù)階段予以研究。因此，本文認為方法2是一種較為合理的方法，建議作為確定Cvf的方法。

表2 相同體積分數(shù)約束值（Cvf = 0.17）下不同設計域板厚所得拓撲優(yōu)化結果Table2 Topology optimization results with different thickness of design domain under the same volume fraction constraint (Cvf = 0.17)

綜上所述，復雜船體結構的td目前無法確定且Cvf與td之間存在密切的聯(lián)系，通過分析拓撲優(yōu)化的目標，本文對初步提出的2種Cvf確定方法進行了選優(yōu)，以船體結構典型強框架的拓撲優(yōu)化為實例，對優(yōu)化結果進行對比，最終給出了確定Cvf的折衷方法。

3 拓撲優(yōu)化設計域最小穩(wěn)定拓撲板厚的確定方法

3.1 一般性確定方法

對于復雜船體結構的拓撲優(yōu)化，在td尚無法確定時，需要對其開展優(yōu)化結果的影響研究。本文作者在文獻[1]中詳細給出了某型VLCC油船貨艙內典型橫向強框架在15種工況下不同td的拓撲結果，基于多組拓撲結果分析，提出了“最小穩(wěn)定拓撲板厚”的概念。

限于篇幅，本文僅給出了文獻[1]中較具代表性的2種工況下的橫向強框架拓撲結果，具體如表3和表4所示。開展優(yōu)化的數(shù)學模型如式（3）所示，出于輕量化設計的考慮，Cvf取值為0.12。

通常，最小穩(wěn)定拓撲板厚的確定是基于拓撲構型識別方法。隨著td由小到大地遞增，拓撲構型開始穩(wěn)定時其所對應的最小td即為“最小穩(wěn)定拓撲板厚”。根據(jù)表3和表4的拓撲結果，兩種工況下的最小穩(wěn)定拓撲板厚分別為15 （僅從構型上判斷，甚至10 mm也可以）和23 mm。目前，關于拓撲構型是否趨于穩(wěn)定的判斷，需要依靠工程師的經(jīng)驗，這不利于提高工作效率。同時，在有些工況下，例如A1_HSM1_S工況，最小穩(wěn)定拓撲板厚為15和10 mm時所對應的拓撲結果相差并不明顯，在此工況下的最小穩(wěn)定拓撲板厚其實并不好作出判斷。

表3 A1_HSM1_S工況下不同設計域板厚所得拓撲優(yōu)化結果Table3 Topology optimization results of different plate thicknesses of design domain in the load case of A1_HSM1_S

表4 A2_BSR1P_S工況下不同設計域板厚所得拓撲優(yōu)化結果Table4 Topology optimization results of different plate thicknesses of design domain in the load case of A2_BSR1P_S

因此，需要采用一種構型識別方法來自動判斷構型是否趨于穩(wěn)定，進而確定各工況下的最小穩(wěn)定拓撲板厚。通過該方法對構型判斷問題予以量化處理，并在保證一定的準確性前提下，減少工程師的人為判斷，從而提高優(yōu)化效率。

3.2 基于單元統(tǒng)計的設計域最小穩(wěn)定拓撲板厚確定方法

從上述表中多組強框架的拓撲結果可以發(fā)現(xiàn)，40 mm的td遠大于各工況下的最小拓撲穩(wěn)定板厚，且此時的拓撲構型都較為合理。因此，可將40 mm的td對應的拓撲構型作為參考構型。若相同工況下其他td的拓撲構型與該參考構型相似，即可以認為其也是穩(wěn)定的拓撲構型。由此，橫向強框的設計域最小拓撲穩(wěn)定板厚的確定問題可以轉化為：參照強框架td=40 mm時所對應的穩(wěn)定拓撲構型，尋找可達到穩(wěn)定拓撲構型的最小td。

通過對該型VLCC油船貨艙典型橫向強框架多組拓撲優(yōu)化的試算，可以發(fā)現(xiàn)強框架拓撲構型大致可以分為3種：第1種為橫撐布置在中間艙，內底設有肘板或斜撐；第2種為橫撐布置在兩個邊艙，內底設有肘板或斜撐；第3種為橫撐同時布置在中間艙與邊艙，內底設有肘板或斜撐，該構型可認為是第1和第2種構型的過渡型式。上述3種構型最關鍵的差別在于橫撐位置，只要獲取拓撲結果中的某個參數(shù)，且能夠有效區(qū)分構型間的差異，即可作為構型對比的依據(jù)。在拓撲結果中，單元相對密度云圖是提取拓撲構型最重要的依據(jù)，單元保留與否是通過單元相對密度來判斷的，即單元相對密度越高，表明該單元越重要，應予以保留，而單元相對密度越低，表明該單元越不重要，可以予以舍棄。因此，可將設計域劃分為若干個子區(qū)域，對兩種構型進行對比，若每個區(qū)域內保留的高密度單元數(shù)量都相差無幾，即可認為兩種構型是相似的。通過觀察橫向強框架的上述3種拓撲構型，可以發(fā)現(xiàn)不同區(qū)域內高密度單元數(shù)量有著較明顯的差別?；诖颂匦?，本文將強框架設計域劃分為如圖3所示的左、中、右3個區(qū)域（分別對應于紅、藍、黃區(qū)域），然后，統(tǒng)計各自區(qū)域內的相對密度大于0.34的單元數(shù)量，將其作為該區(qū)域內結構分布情況的一種指標。由于在拓撲優(yōu)化時，通常會設置設計域左右對稱的工程約束，因此左、右兩個區(qū)域的結果相同，任選一邊即可。本文選擇的是左邊區(qū)域的結果。

圖3 橫向強框架設計域分區(qū)示意圖Fig.3 Distribution of design domain in transverse web frame

構型識別的具體步驟如下：

1） 開展n個工況下不同設計域板厚的拓撲優(yōu)化計算，分別讀取各工況不同設計域板厚的拓撲結果。

2) 分別統(tǒng)計i（i≤n）工況設計域板厚為40 mm時左邊與中間區(qū)域內單元相對密度大于0.34的單元數(shù)量num_port_40與num_mid_40。

3) 設置初始的設計域板厚X= 9 mm。

4）X=X+1。

5） 分別統(tǒng)計i工況設計域板厚為X時左邊與中間區(qū)域內單元相對密度大于0.34的單元數(shù)量num_port_X與num_mid_X。

6） 左邊區(qū)域統(tǒng)計結果的對比。若num_port_40 ＞100，則計算w_port_X=num_port_X/num_port_40，在滿足0.7 ≤w_port_X≤1.4時，進入步驟7），否則返回步驟4）；若num_port_40 ≤ 100，在滿足num_port_40 – 60 ≤num_port_X≤num_port_40 + 60時，進入步驟7），否則返回步驟4）。

7） 中間區(qū)域統(tǒng)計結果的對比。若num_mid_40 ＞100，則 計 算w_mid_X=num_mid_X/num_mid_40，在滿足0.7 ≤w_mid_X≤1.4時，進入步驟8），否則返回步驟4）；若num_mid_40 ≤ 100，在滿足num_mid_40 – 60 ≤num_mid_X≤num_mid_40 + 60時，進入步驟8），否則返回步驟4）。

8） 輸出i工況下設計域最小穩(wěn)定板厚為ti=X。

9） 判斷i≥n是否成立，若成立，則輸出n個工況下橫向強框架的最小穩(wěn)定拓撲板厚為t=max{t1,t2，···，tn}；若不成立，則i=i+1，返回步驟2）。

上述步驟中的各項指標限定范圍是通過分析處理不同工況下各板厚的拓撲結果得到的，是各項指標的包絡值。

為驗證上述方法的可靠性，在表5中給出4種工況下（A1_HSM1_S，A1_FSM2_H，A2_BSR1P_S以及A2_HSM1_S）部分設計域板厚的參數(shù)統(tǒng)計結果。限于篇幅，未列入其他工況的結果。

根據(jù)表5中的數(shù)據(jù)，采用本節(jié)提出的構型識別方法進行判定，4種工況下的設計域最小穩(wěn)定拓撲板厚ti分別為15，24，23和11 mm。而采用3.1節(jié)所提的一般性確定方法，需要結構工程師直觀地對比各設計域板厚所對應的拓撲構型。當拓撲構型不再出現(xiàn)較大范圍變化時，其所對應的設計域板厚即為該工況下的設計域最小穩(wěn)定板厚。對比由工程師人為判斷的結果與采用本節(jié)所提方法獲得的結果，二者是一致的。除上述4種工況外，其他工況下的判定結果也是一致的，具體結果不再逐一列出。

綜上所述，可以認為借助基于單元統(tǒng)計識別拓撲構型來確定復雜船體結構設計域最小穩(wěn)定拓撲板厚的方法是有效的。該方法可以將最小穩(wěn)定板厚確定問題進行數(shù)字化定量處理，一定程度上取代了結構工程師的人為判斷需要，從而可以較快速地獲取最小穩(wěn)定拓撲板厚。同時，本文所提方法的流程清晰且指標具體，有利于運用計算機語言實現(xiàn)自動化處理，提高結構工程師優(yōu)化工作的效率。

4 結 語

本文基于變密度的拓撲優(yōu)化理論及Hyper-Works/OptiStruct優(yōu)化平臺，以VLCC油船貨艙內橫向強框架為例，針對復雜船體結構二維板殼單元設計域板厚取值差異會影響體積分數(shù)約束值的設定和穩(wěn)定拓撲構型的獲得等問題開展了分析研究，提出了一種設定體積分數(shù)約束值的折衷方法以及基于單元統(tǒng)計來識別構型并確定最小穩(wěn)定拓撲板厚的方法。

研究結果表明：本文提出的體積分數(shù)約束值設定方法能夠在尚無法確定設計域板厚的情況下，不依靠大量試算即可獲得較可靠的體積分數(shù)約束值；基于單元統(tǒng)計的構型識別法有利于將構型識別問題進行數(shù)字化和程序化處理，一定程度上能夠擺脫對工程師經(jīng)驗的依賴；同時，所提構型識別法能夠快速確定相關工況下的設計域最小穩(wěn)定拓撲板厚，為后續(xù)將該問題納入復雜船體結構拓撲優(yōu)化的自動化流程提供了解決方法。另外，本文研究成果還進一步完善了橫向強框架拓撲優(yōu)化研究的內容，可以為其他基于二維板殼單元的復雜船體結構拓撲優(yōu)化問題提供思路和方法借鑒，具有重要的工程應用價值。