基于Ciscrea AUV耦合模型的H ∞魯棒控制器設(shè)計

劉艷，馮旭琛，楊睿，黎明，馮一飛

中國海洋大學(xué) 工程學(xué)院，山東 青島 266100

0 引 言

自主式水下航行器（AUV）因其靈活性和自主性被廣泛應(yīng)用于海底資源勘探、水下打撈以及海洋測繪等領(lǐng)域[1]。如何快速實(shí)現(xiàn)對AUV的精確控制一直是亟待解決的技術(shù)難題[2]。通常，AUV控制方法可分為基于模型控制和無模型控制?；谀Ｐ涂刂品椒ㄊ峭ㄟ^精確揭示AUV所遵循的物理規(guī)律和運(yùn)行機(jī)理，在先進(jìn)的運(yùn)動控制方法基礎(chǔ)上，可以解決風(fēng)、浪、流擾動下無模型控制方法難以實(shí)現(xiàn)的AUV精準(zhǔn)控制問題[3-4]。AUV運(yùn)動學(xué)與水動力學(xué)模型具有非線性、參數(shù)不確定性以及各自由度間的耦合性特點(diǎn)，因此，AUV運(yùn)動控制系統(tǒng)的設(shè)計具有挑戰(zhàn)性。

Yang等[5]采用H∞魯棒控制方法解決了Ciscrea AUV單自由度艏搖模型的非線性和不確定性問題。Rosendo等[6]基于準(zhǔn)滑模調(diào)節(jié)的約束補(bǔ)償算法和比例微分控制算法，實(shí)現(xiàn)了Ciscrea AUV艏搖和垂蕩雙自由度控制。Guerrero等[7]在AUV六自由度數(shù)學(xué)模型上設(shè)計了去耦合控制器，但前期工作均未考慮耦合參數(shù)對控制結(jié)果的影響，多自由度耦合控制問題未得到解決。

H∞不確定集合控制方法具有魯棒性特點(diǎn)，對AUV模型中的不確定性參數(shù)不敏感，其控制性能不受擾動和參數(shù)變化的影響，可有效解決多自由度耦合控制問題。根據(jù)H∞魯棒控制原理，滿足魯棒穩(wěn)定性及魯棒性能要求是設(shè)計AUV魯棒控制系統(tǒng)的兩個關(guān)鍵因素。首先，AUV模型中的不確定性參數(shù)可表述為不確定集合。根據(jù)小增益定理，具有不確定集合作用的閉環(huán)系統(tǒng)其魯棒穩(wěn)定性等價于標(biāo)稱閉環(huán)系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性，且阻尼、附加質(zhì)量等參數(shù)的不確定性分量均可視為不確定集合并予以處理。其次，若AUV模型魯棒控制器結(jié)果滿足H∞魯棒性能要求，則控制器可以保證AUV具有良好的運(yùn)動控制性能（例如跟蹤、干擾抑制和能量最小等），而H∞控制器綜合是設(shè)計求解H∞魯棒控制器的關(guān)鍵。

為此，Zames[8]以單輸入單輸出（single-input single-output，SISO）為對象，提出了基于頻域的H∞綜合方法，Doyle和Ball等[9-10]面向多輸入多輸出（multi-input multi-output，MIMO）對象，提出了基于狀態(tài)空間的DGKF（Doyle-Glover-Khargonekar-Francis）方法。這兩種方法都可通過求解代數(shù)Riccati方程（ARE)得到H∞綜合控制器，但Ciscrea AUV模型存在虛軸附近的極點(diǎn)，采用ARE方法實(shí)現(xiàn)H∞控制器綜合時，其廣義被控對象不滿足對應(yīng)的正則約束條件，而采用基于內(nèi)點(diǎn)法的線性矩陣不等式(linear matrix inequality, LMI)方法則可完成[11]。不同于ARE方法，LMI方法的正則約束條件較少，可直接求解ARE奇異問題[12]。

基于以上考慮，本文將針對Ciscrea AUV四自由度非線性數(shù)學(xué)模型的魯棒控制問題，從耦合控制角度，提出H∞綜合控制器設(shè)計方法，以實(shí)現(xiàn)在外部干擾下的AUV三維軌跡跟蹤與艏搖控制。首先，通過攝動法將Ciscrea AUV二次非線性阻尼作用和慣性矩陣的參數(shù)不確定性轉(zhuǎn)化為不確定集合，并得到廣義系統(tǒng)。然后，針對耦合的廣義系統(tǒng)，利用H∞綜合方法在穩(wěn)定的魯棒控制器上優(yōu)化閉環(huán)系統(tǒng)性能，通過MATLAB軟件提供的LMI工具箱[13-14]求解魯棒控制器。最后，模擬外部干擾下的三維軌跡跟蹤和艏搖控制場景。

1 Ciscrea AUV數(shù)學(xué)模型

本文利用MATLAB完成了Ciscrea AUV數(shù)學(xué)模型沿螺旋線下沉的仿真。由于僅涉及橫蕩、縱蕩、垂蕩和艏搖這4個方向的運(yùn)動，故只針對Ciscrea AUV四自由度數(shù)學(xué)模型進(jìn)行控制仿真。表1所示為Ciscrea AUV數(shù)學(xué)模型的運(yùn)動參數(shù)。

表1 Ciscrea AUV四自由度數(shù)學(xué)模型的運(yùn)動參數(shù)Table1 Four-DOF kinematic parameters of Ciscrea AUV

Ciscrea AUV模型的速度向量和位置向量分別表示為V=[u v w r]T和η=[x y zψ]T，已知其水動力模型為

式中：MRB和MA分別為Ciscrea AUV模型的慣性矩陣和附加質(zhì)量矩陣；D(|V|)為阻尼系數(shù)矩陣；g(η)為 回復(fù)力；τpro為 推進(jìn)器輸出的推力；τenv為外部干擾力（風(fēng)、浪、流）。

在不考慮橫搖和縱搖自由度的情況下，控制系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)AUV運(yùn)動控制。假設(shè)AUV的姿態(tài)始終與重力垂直，無需考慮重力與浮力的相互作用，則g(η)可忽略不計。但是，AUV受到的外力包括了推進(jìn)器輸出的推力τpro和 外部干擾力 τenv，其水動力模型又可寫為

基于上述AUV模型，考慮質(zhì)量變化對模型參數(shù)的影響。其中，MA僅與AUV的外形有關(guān)[15-16]，在實(shí)際工程中，AUV搭載的配件（例如相機(jī)、機(jī)械臂等）對其外形的改變可忽略不計，故MA不受影響。對于形狀規(guī)則的物體，MA可由經(jīng)驗(yàn)公式直接計算。然而，Ciscrea AUV是典型的具有復(fù)雜外形和開放架構(gòu)的AUV，經(jīng)驗(yàn)公式并不適用。因此，文獻(xiàn)[17]通過流體計算軟件WAMIT計算得到了如下MA，詳細(xì)計算過程可參見此文獻(xiàn)。

Ciscrea AUV模型的慣性矩陣寫為：

式中：m為 AUV的自身質(zhì)量；Izz為AUV繞z軸的轉(zhuǎn)動慣量。

由Solidworks軟件可計算得到MRB如下：

鑒于AUV質(zhì)量變化會影響MRB[18]，故假設(shè)MRB具有30%的不確定性，可得到如下含不確定性的慣性矩陣：

H∞綜合方法通常適用于線性系統(tǒng)，需要對AUV模型進(jìn)行線性化。因此，本文采用攝動法[19]將阻尼系數(shù)矩陣中的二次非線性作用轉(zhuǎn)換為不確定集合?d，其中不確定性的變化主要源于AUV作業(yè)速度的變化。已知：

式中：Dl為 線性阻尼系數(shù)矩陣；Dn(|V|)為非線性阻尼系數(shù)矩陣，Dn(|V|)=Dndiag(|V|T)。通過模型辨識實(shí)驗(yàn)、STAR-CCM+和ANSYS-CFX這3種方法均可辨識得到四自由度水動力模型的阻尼參數(shù)，并取平均值作為最終的參數(shù)結(jié)果，具體如下[17]：

AUV在整個作業(yè)過程中，其速度變化介于初始速度V0與 最大速度Vm之間，其中V0=[0000]T，Vm=[0.50.50.55]T。假設(shè)AUV穩(wěn)定的作業(yè)速度為Vm，在該作業(yè)速度附近考慮 2 0%的不確定性，則非線性阻尼系數(shù)矩陣Dn(|V|)可轉(zhuǎn)化為含不確定性的線性矩陣Dnl，即

式中：Pd=diag(0.2,0.2,0.2,0.2);?d=diag(δ5,δ6,δ7,δ8)。其中，Pd為 非線性阻尼矩陣的不確定性邊界，?d為非線性阻尼矩陣的不確定集合。

經(jīng)線性化后，可得到如下具有不確定性的水動力學(xué)模型：

式中：M為水動力學(xué)模型的慣性矩陣與附加質(zhì)量矩陣之和；D為水動力學(xué)模型的阻尼矩陣。因M和D均為不確定的量，故可使用標(biāo)稱值和不確定集合表述如下：

圖1所示為不確定性模型的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。其中，系統(tǒng)輸入為u，對應(yīng)AUV所受到的外力，即τpro與τenv之 和；系統(tǒng)輸出為y， 對應(yīng)AUV的位置向量η。如圖1所示，不確定性矩陣包含了M?1和D模塊。本文采用線性分式變換（LFT）方法[20]將不確定性系統(tǒng)變換為廣義系統(tǒng)和不確定集合兩個部分。

圖1 不確定性模型系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Block diagram of the uncertainty model

其中，模塊M?1和D可以表示為上LFT，即

式中：FU為 上LFT的傳遞函數(shù)；Mm為M?1的廣義矩陣；Md為D的廣義矩陣。

對于廣義矩陣P和不確定集合?組成的上LFT，有FU(P,?)=P22+P21?(I?P11?)?1P12，故可得：

上述各公式可用圖2表示，其中um與ym為M?1模塊的攝動輸入和攝動輸出，ud與yd為D的攝動輸入和攝動輸出，wm與zm為M?1模塊的外界輸入與輸出，wd與zd為D模塊的外界輸入與輸出。

圖2 M?1和D的上LFT表示Fig.2 Upper LFT formulation of M?1 andD

綜上所述，對于含不確定集合的系統(tǒng)，可以表示為如圖3所示的結(jié)構(gòu)，其中，u為 4×1的輸入向量，y為 4×1的輸出向量。

圖3 不確定性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Block diagram of the uncertainty system

由圖3所示不確定性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，選取狀態(tài)變量x=[x1x2]T，其中，x1=[xy zψ]T,x2=[uv wr]T，據(jù)此，可得到如式（15）所示不確定性系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程。

消去zd，可得：

由Gcis表示CiscreaAUV四自由度廣義系統(tǒng)，則Gcis有輸入向量[umudu]T和輸出向量[ymydy]T，其狀態(tài)空間可表示為：

其中：

從式(17)和式（18）可以看出，廣義系統(tǒng)Gcis不包括不確定性的量，并且Gcis與 不確定集合?共同組成了Ciscrea AUV不確定性模型。如圖4所示，將Ciscrea AUV不確定性模型由上LFT表示為G=FU(Gcis,?)， 其中 ?=diag(?m,?d) 。Gcis的傳遞函數(shù)矩陣的奇異值曲線如圖5所示，圖中繪出了Gcis的 4個 奇 異 值 γ1,γ2,γ3,γ4在 頻 域 上 分 布 的 曲線。由圖可見，開環(huán)系統(tǒng)最大奇異值是大于1的，不滿足性能約束條件。

圖4 開環(huán)模型線性分式變換Fig.4 Linear fraction transformation of the open-loop model

圖5 廣義系統(tǒng)G cis奇異值曲線Fig.5 Singular value curves of the general system Gcis

2 魯棒控制器綜合

圖6所示為考慮不確定性系統(tǒng)一般化跟蹤問題的原理圖。為了方便闡述原理，圖中被控對象為單輸入單輸出系統(tǒng)。其中，r,d,n,e,y,u,yp分別為參考輸入、低頻干擾、測量噪聲、系統(tǒng)誤差、控制輸入、控制輸出和系統(tǒng)測量信號，K為控制器，G為被控對象不確定性模型，它由廣義系統(tǒng)P和不確定集合?組成。將圖6表示為圖7所示的互連系統(tǒng)。圖7中：w為r,d,n組成的外部輸入向量，即w=[r d n]T；z′為設(shè)計者定義的性能輸出向量，包括了e,u,yp； 為了表征期望性能，通常會在z′后串聯(lián)權(quán)重函數(shù)矩陣W來評價控制性能，得到評價輸出向量z。

圖6 一般化的跟蹤問題原理圖Fig.6 Block diagram of the general tracking problem

圖7 H ∞魯棒綜合問題的互連系統(tǒng)表示Fig.7 Interconnection system formulation for robust H∞ synthesis problem

考慮閉環(huán)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性，由小增益定理可知：當(dāng)?穩(wěn) 定且 //?//∞＜1時，不確定的閉環(huán)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性等價于標(biāo)稱閉環(huán)系統(tǒng)WTw→z′(P,K)的內(nèi)部穩(wěn) 定 性，且 //WTw→z′(P,K)//∞＜1成 立。由 下LFT的定義可確定傳遞函數(shù)Tw→z′(P,K)：

此時，無需考慮不確定性擾動對閉環(huán)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的影響，只需考慮標(biāo)稱閉環(huán)系統(tǒng)的性能指標(biāo)。對于控制系統(tǒng)的跟蹤問題，通常關(guān)注e,u,yp等信號，根據(jù)這些信號來衡量閉環(huán)系統(tǒng)跟蹤能力是否良好、閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)過程中控制器輸出能量是否合理，以及閉環(huán)系統(tǒng)是否抑制干擾等。式（21）表示的則是閉環(huán)系統(tǒng)的性能輸出向量z′=[e u yp]T與外部輸入向量w=[rdn]T之間的關(guān)系。

通常，采用外部輸入信號到特定性能輸出信號之間的傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)來表征性能指標(biāo)要求，進(jìn)而通過優(yōu)化該范數(shù)來優(yōu)化相應(yīng)的性能指標(biāo)。表2所示為具體性能指標(biāo)。

表2 不同性能指標(biāo)對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)Table2 Object functions corresponding to different performance indexes

本文針對Ciscrea AUV的MIMO系統(tǒng)干擾抑制問題對閉環(huán)系統(tǒng)性能進(jìn)行了優(yōu)化，如圖8所示。參考輸入r和低頻干擾輸入d組成系統(tǒng)的外部輸入向量w， 控制器K、廣義系統(tǒng)Gcis和不確定集合?通過串聯(lián)反饋形成閉環(huán)系統(tǒng)。權(quán)重函數(shù)矩陣為W=diag(We,Wu,Wp)（其中，下標(biāo)p表示yp以示簡潔），通過將其串聯(lián)在系統(tǒng)性能輸出向量[eu y]T后得到評價性能輸出ze,zu,zy組成的向量z=[zezuzy]T，其中權(quán)重函數(shù)We，Wu和Wp分別用來約束閉環(huán)系統(tǒng)對特定信號的跟蹤能力、u對外部干擾的抑制能力和y對外部干擾的抑制能力。本文的主要設(shè)計目標(biāo)是抑制外部干擾，系統(tǒng)的性能可以由d到z的H∞范數(shù)表示，如式（20）所示。

圖8 閉環(huán)系統(tǒng)H∞控制框圖Fig.8 Block diagram of H ∞ control for the closed-loop system

閉環(huán)系統(tǒng)的設(shè)計目標(biāo)是在保證閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性前提下對性能進(jìn)行優(yōu)化，因此，對應(yīng)的H∞魯棒綜合問題可表示為優(yōu)化問題，如式（21）所示。

根據(jù)上文所述不確定系統(tǒng)跟蹤問題的魯棒穩(wěn)定性條件，可知：當(dāng)不確定集合 ?(s)（s表示拉普拉斯變量）穩(wěn)定且 //?(s)//∞＜1時，閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性等價于廣義系統(tǒng)Gcis與 控制器K互連得到的標(biāo)稱閉環(huán)系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性，且 //Td→z(Gcis,K)//∞＜1，亦即

本文在滿足閉環(huán)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的前提下，利用經(jīng)典的ARE方法或LMI方法優(yōu)化標(biāo)稱閉環(huán)系統(tǒng)性能，即求解 min//Td→z(Gcis,K)//∞。為了降低魯棒控制器的保守性，通常希望優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)值越小越好。因權(quán)重函數(shù)是影響優(yōu)化結(jié)果的重要因素，故選取合適的權(quán)重函數(shù)需要一定的經(jīng)驗(yàn)[21]。鑒于r,d均為低頻信號，閉環(huán)系統(tǒng)應(yīng)在低頻的外部輸入信號下具有較小的跟蹤誤差和較強(qiáng)的抗擾性。

因權(quán)重函數(shù)的逆表征了期望性能，故We,Wp的逆矩陣元素均為高通濾波器。同時，為了最小化控制器的輸出能量并統(tǒng)一量綱，本文選取了合適的權(quán)重函數(shù)，即Wu=diag(0.01,0.01,0.01,0.01)，并且參考Ciscrea AUV艏搖控制器設(shè)計方案，經(jīng)調(diào)試得到了如下權(quán)重函數(shù)：

圖9 權(quán)重函數(shù)逆函數(shù)幅頻特性曲線Fig.9 Frequency response of the inverse of weighting function

本文利用MATLAB軟件中的LMI工具箱求解最優(yōu)性能函數(shù)值，得到一個20維的MIMO魯棒控制器。圖10所示為閉環(huán)系統(tǒng)的奇異值曲線，圖中繪出了標(biāo)稱閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)//Td→z(Gcis,K)//∞的4個奇異值 γ1,γ2,γ3,γ4在頻域上分布的曲線。由圖可見，閉環(huán)系統(tǒng)的最大奇異值小于1，則//Td→z(Gcis,K)//∞＜1成立，閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性和標(biāo)稱性能滿足要求。

圖10 閉環(huán)系統(tǒng)奇異值曲線Fig.10 Singular value curves of the closed-loop system

3 Ciscrea AUV軌跡跟蹤仿真與分析

為了驗(yàn)證所提控制系統(tǒng)的有效性，本文對干擾下的定點(diǎn)跟蹤和三維軌跡跟蹤進(jìn)行了仿真，分別給出了參考輸入r4×1和 干擾輸入d4×1下的標(biāo)稱閉環(huán)系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)，分別如圖11和圖12所示。

圖11 有參考輸入下的標(biāo)稱閉環(huán)系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)Fig.11 Transient response of the nominal closed-loop system under reference signal input

圖12 有干擾輸入下標(biāo)稱閉環(huán)系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)Fig.12 Transient response of the nominal closed-loop system under disturbance signal input

假設(shè)各運(yùn)動方向的參考輸入r(i)和干擾輸入d(i)均 為分段的階躍信號序列，周期為10 s，r(i)=[2.5311.50]，d(i)=[1.5311.50]，i∈{1,2,3,4}。其中，d(i)可簡單理解為各運(yùn)動方向位移（角度）的輕微擾動。圖11所示為AUV在橫蕩、縱蕩、垂蕩方向的位置x,y,z和 艏搖方向的歐拉角ψ隨時間變化的曲線。除了計量單位分別是m和 rad以外，各運(yùn)動方向的參考輸入大小都是一樣的。由圖可見，輸入信號僅含有參考輸入r，并隨時間變化而變化。系統(tǒng)可以快速（調(diào)節(jié)時間小于5 s）跟蹤參考輸入且無超調(diào)，從而驗(yàn)證了無外部干擾下閉環(huán)系統(tǒng)在x,y,z,ψ方向的跟蹤能力。

令參考輸入為0，得到圖12所示的標(biāo)稱閉環(huán)系統(tǒng)在干擾輸入下輸出信號隨時間變化的曲線。由圖可見，干擾輸入下的系統(tǒng)輸出在5s內(nèi)衰減至0，系統(tǒng)抗擾性得到了驗(yàn)證。

利用MATLAB軟件模擬Ciscrea AUV在外部干擾下螺旋下沉的場景。真實(shí)的風(fēng)、浪、流通常以力或力矩形式直接作用在AUV上，并對其產(chǎn)生擾動。本文考慮恒定流速與流向的水流對AUV產(chǎn)生的阻尼力。

假設(shè)水流流速vd與水平面的夾角為α，在水平面的投影與AUV縱蕩坐標(biāo)夾角為α1，則水流流速在AUV的x,y,z方向的分量依次為：

水流在固定方向?qū)UV產(chǎn)生的阻尼力F與流速v的關(guān)系表示為

式中：k1,k2分別為二次非線性阻尼系數(shù)和線性阻尼系數(shù)，各運(yùn)動方向上的k1,k2值可由阻尼系數(shù)矩陣D(|V|)及 水流分量的大小得到。當(dāng)α=π/6,β=π/3時，通過查表計算，可得流速為 0.3m/s的恒定水流在x,y,z方向產(chǎn)生的水流干擾d=[3.94624.0079 1.8083]TN。

分別在有/無干擾的條件下，令A(yù)UV跟蹤空間螺旋曲線s1，同時實(shí)現(xiàn)1 rad的艏搖角控制：

式中：參考輸入s1為 空間螺旋曲線，在 50s時加入水流干擾輸入d，在 0～100s時間段內(nèi)標(biāo)稱系統(tǒng)的軌跡曲線如圖13～圖15所示。

圖13 有/無干擾下AUV標(biāo)稱系統(tǒng)軌跡跟蹤曲線對比Fig.13 Comparison of trajectory tracking curves of the AUV nominal system with and without interference

設(shè)AUV初始位置為 (x,y,z)=(0,0,0)，初始艏搖角為 0rad，由圖13可見，AUV可以有效跟蹤參考軌跡。由圖14可見，外界干擾并沒有使得系統(tǒng)軌跡嚴(yán)重偏離參考軌跡，系統(tǒng)在干擾下仍然保證了其跟蹤精度，這證明了控制系統(tǒng)具有一定的抗擾性。當(dāng)干擾在ψ方向的分量為0時，由圖15可見，x,y,z方向的干擾作用在AUV耦合數(shù)學(xué)模型上造成了ψ方向的細(xì)微擾動，閉環(huán)系統(tǒng)在5s內(nèi)消除了擾動，其有效性得到了驗(yàn)證。

圖14 有/無干擾下AUV標(biāo)稱系統(tǒng)軌跡跟蹤在不同坐標(biāo)平面投影曲線Fig.14 Trajectory tracking projection curves of the AUV nominal system on different coordinate planes with and without interference

圖15 有/無干擾下AUV艏搖控制暫態(tài)響應(yīng)Fig.15 Transient response of the AUV yawing control with and without interference

為了驗(yàn)證本文所提控制系統(tǒng)的魯棒性，對不確定性模型G的10個攝動模型進(jìn)行了閉環(huán)系統(tǒng)仿真，結(jié)果如圖16所示。慣性矩陣MRB以 [0.3;0.2;0.15;0.1;0.05;?0.05;?0.1;?0.15;?0.2;?0.3]的幅度在標(biāo)稱模型上變化，得到了被控對象的10個攝動模型。可以看出，圖中的曲線沒有明顯差別，MRB在有界攝動內(nèi)變化時不會影響系統(tǒng)控制性能。

圖16 有干擾下攝動系統(tǒng)三維軌跡跟蹤曲線Fig.16 Three-dimensional trajectory tracking curves of the AUV perturbation system with interference

本文利用小增益定理保證了閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性，在此基礎(chǔ)上求解了 min//Tw→z(Gcis,K)//∞，因此求解的控制器K只能滿足標(biāo)稱閉環(huán)系統(tǒng)的性能條件。本文利用結(jié)構(gòu)奇異值 μ分析方法綜合考慮了魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能。在范數(shù)有界的復(fù)數(shù)不確定性結(jié)構(gòu)擾動下，分別針對閉環(huán)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能計算了結(jié)構(gòu)奇異值的邊界。

通過下LFT，將標(biāo)稱閉環(huán)系統(tǒng)表示為M=FL(Gcis,K)， 其中FL為下LFT，則在該系統(tǒng)上施加范數(shù)有界的復(fù)數(shù)不確定性結(jié)構(gòu)集合?得到結(jié)構(gòu)奇異值 μ分析框圖，如圖17所示。圖中，w1與w2均為外部輸入信號，e1與e2為M模塊的輸入和輸出，M對應(yīng)于不確定性結(jié)構(gòu)?的奇異值定義為

圖17 閉環(huán)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性分析框圖Fig.17 Robust stability analysis of the feedback system

圖18（a）給出了 μ?(M11jω ）的上、下界及滿足系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的 //?//∞的上界，經(jīng)計算可得γ1=0.24373， 當(dāng)// ?//∞＜1/0.24373時，不確定的閉環(huán)系統(tǒng)均能保持穩(wěn)定性。圖18（b）給出了μ?(M(jω))的上、下邊界及滿足系統(tǒng)標(biāo)稱性能的結(jié)構(gòu)奇異值μ，其最大值為0.988 02，而魯棒性能要求下的1 /γ2最高可達(dá)1.114 4，即γ2＜1。 對于本文的?=diag(?m,?d)結(jié)構(gòu)，僅當(dāng) //?//∞＜1/1.1144時，才能滿足閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒性能。綜合以上結(jié)果，發(fā)現(xiàn)在任意復(fù)數(shù)不確定性結(jié)構(gòu)滿足 //?//∞＜1/1.1144時，閉環(huán)控制系統(tǒng)可保證魯棒穩(wěn)定性并滿足魯棒性能要求。

圖18 閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)奇異值方法分析Fig.18 Structure singular value analysis of the closed-loop system

4 結(jié) 語

本文針對Ciscrea AUV四自由度的非線性不確定性模型設(shè)計H∞魯棒控制器，并分析了海流干擾場景中AUV三維軌跡跟蹤性能。結(jié)果表明，標(biāo)稱控制系統(tǒng)可以維持一定的跟蹤精度和響應(yīng)速度，可有效消除干擾力對AUV產(chǎn)生的輸出擾動，抗擾性能良好。在攝動系統(tǒng)閉環(huán)仿真中，AUV未失穩(wěn)，控制器的魯棒穩(wěn)定性得以驗(yàn)證。本文通過結(jié)構(gòu)奇異值分析得到了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)奇異值的上、下界，該上、下界保證了控制器的魯棒性能。

AUV的H∞魯棒控制器具有一定的抗擾性，本文求解的是一個四自由度的高階控制器，但因其結(jié)構(gòu)復(fù)雜，給實(shí)際工程實(shí)現(xiàn)帶來了一定的困難。如何求解結(jié)構(gòu)簡潔的MIMO魯棒控制器是未來需要解決的問題。