解決倍比問題 經(jīng)歷分?jǐn)?shù)產(chǎn)生

朱紅利 邵漢民

摘要：“倍”是小學(xué)階段重要的概念，又是比較抽象的概念。倍是通過兩個量的比較而產(chǎn)生的，它的本質(zhì)是用分?jǐn)?shù)表示兩個數(shù)量倍比的結(jié)果。本課試圖打破傳統(tǒng)教學(xué)慣性，以分?jǐn)?shù)是怎樣產(chǎn)生的為路徑，大膽而科學(xué)地對教材進(jìn)行重新組織，讓學(xué)生經(jīng)歷分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生過程;并與第一課時進(jìn)行比較，感知分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的異同，從而拓展和加深對分?jǐn)?shù)意義的理解

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)的意義;倍比;分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生

中圖分類號：G4 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

人教版“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”教學(xué)線索是“分物”→“平均分除法→”“除法比較”這樣的順序安排的。但回溯分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的歷史背景，它的產(chǎn)生可以分成三方面，分別是“分物”“測量”“除法比較”。從分?jǐn)?shù)產(chǎn)生與形成的過程來看，教材這樣的教學(xué)設(shè)計雖然也關(guān)注到了分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的背景，但沒有充分地加以展示。

基于此，本課例試圖從單元整體設(shè)計的角度出發(fā)，以分?jǐn)?shù)產(chǎn)生和形成的三種路徑組織教學(xué)，本節(jié)課教學(xué)順序調(diào)整為第二課時，是在學(xué)生掌握了分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生之一--“分物”中產(chǎn)生分?jǐn)?shù)為前提進(jìn)行的實踐研究。因此，分?jǐn)?shù)的意義2--解決倍比問題，并不僅僅是讓學(xué)生掌握解題方法，更重要的是讓學(xué)生經(jīng)歷分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的過程，感受到分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性，體會分?jǐn)?shù)意義建構(gòu)的多元性。

一、創(chuàng)設(shè)情境，探討問題并歸類

（一）閱讀信息，提出數(shù)學(xué)問題

新課標(biāo)指出：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，要緊密聯(lián)系學(xué)生的生活環(huán)境，從學(xué)生的經(jīng)驗和已有知識出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流的情景?！苯滩睦?提供的教學(xué)情境已充分滿足學(xué)情，于是我們在單元整體設(shè)計的前提下，又對它進(jìn)行了增刪--刪去2個問題：“鵝的只數(shù)是鴨的幾分之幾？”、“雞的只數(shù)是鴨的幾倍？”同時增加一個問題導(dǎo)向：“根據(jù)以上信息，請你選擇其中2個條件來提出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題”。

于是，在短暫的討論后進(jìn)行分組落實，要求每個學(xué)生把提出的問題寫到作

業(yè)紙上，并嘗試著寫出答案。如第一組解決雞和鴨的問題;第二組解決雞和鵝的問題;第三組解決鴨和鵝的問題;還有一組自由選擇提問。

（二）比較類別，體會問題差異

學(xué)生在充分的思考后，每組提出了各自的問題，整理如下：

1、雞和鴨（或雞和鵝、鴨和鵝）一共有多少只？

2、雞比鴨（或雞比鵝、鴨比鵝）多幾只？

3、雞是鴨（或雞是鵝、鴨是鵝）的幾倍？或者鴨是雞的幾分之幾？

集體交流反饋階段，有組員提出某一類問題時，教師要及時引導(dǎo)其他組員反饋同類型的問題，這樣學(xué)生很容易找到各自問題的歸屬，體會到問題的差異。

運用所學(xué)，解決舊有問題

教師根據(jù)課堂討論的結(jié)果，每類問題選擇一個進(jìn)行板書，并詢問解決此類問

題的方法和答案。很明顯，學(xué)生很快能解決第一類和第二類問題，分別是求和（用加法）如：10+20=30（只）;求差（用減法）如：20-10=10（只）。特別是第二類求兩個數(shù)的差，同一個算式同一個得數(shù)可以解決兩個不同表達(dá)方式的問題，如雞比鴨多10只，反過來可以說鴨比雞少10只。這與第三類問題兩種表達(dá)方式的對比，雞是鴨的幾倍？反過來可以說鴨是雞的幾倍一樣嗎？這里為下面解決倍比問題理解單位“一”的不同埋下伏筆。

二、幾何直觀，解決問題并歸納

（一）自主嘗試，經(jīng)歷探究過程

經(jīng)過第一階段的問題歸類，學(xué)生初步感知到了第三類問題的表述方式：“一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾（幾倍）”，它與求和、求差是不同類型的問題，確定它就是本節(jié)課的研究重點，從而進(jìn)入新課的探究過程。

選定范例，探求結(jié)果。

“雞是鴨的（ ）倍？”，這個問題，學(xué)生在三年級學(xué)過用除法求倍數(shù)，所以以它作為教學(xué)的切入口，確定范例。大部分學(xué)生都能說清楚，比如：雞和鴨比，把鴨作為標(biāo)準(zhǔn)量，也就是20是10的2倍。20÷10=2

反向推導(dǎo)，探究方法。

有了2倍的基礎(chǔ)，老師順勢提問，“雞是鴨的（2 ）倍，”反過來可以怎么說？學(xué)生很快就能說出鴨是雞的二分之一，很自然地能感受到二分之一也可以表示兩個數(shù)量比較的結(jié)果，接著結(jié)合圖示解釋二分之一的意義;最后小結(jié)計算的方法：10÷20=或（）。讓學(xué)生結(jié)合圖示說明兩個分?jǐn)?shù)的異同，這無意中滲透了分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，又讓學(xué)生明確了比表達(dá)更簡潔方便的優(yōu)勢。

對比減法，確定單位。

減法可以用同一個結(jié)果同一個算式表示2個不同表述的問題，那“雞是鴨的2倍”，可以說成“鴨是雞的2倍”嗎？為什么不可以？引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖示找準(zhǔn)單位一，明確因為單位一的不同，所以兩者正反用除法比較結(jié)果是不同的。

“雞是鴨的（ ）倍？”，鴨的只數(shù)是單位一，雞和它比，也就是20是10的2倍。 “鴨是雞的（ ）”，雞的只數(shù)是單位一，鴨和雞比，只有雞的一半，也就是10是20的。

（二）依據(jù)圖示，表達(dá)分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化

小學(xué)高年級學(xué)生的思維特點是他們的抽象思維在很大程度上還需要直觀形象思維的支撐，所以在具體教學(xué)中要幫助學(xué)生化抽象為直觀，在探究環(huán)節(jié)反饋交流時，就是讓學(xué)生自主選擇并運用直觀的圖示，通過圈一圈，劃一劃等的方法來說明分?jǐn)?shù)的具體含義，這對于順利開展教學(xué)是十分必要的。

下面是“鴨的只數(shù)是鵝的（ ?）”這一環(huán)節(jié)的課堂實錄：

師：“鴨的只數(shù)是鵝的（ ?）？”，請你結(jié)合圖示進(jìn)行解釋。

生：鴨有10只，鵝7只，把鵝當(dāng)作單位一，平均分成7份，鴨有這樣的10份，也就是10÷7=

師：這個得數(shù)有不一樣的表示嗎？

生：有，還可以用來表示。鴨有10只，鵝7只，把鵝看作單位一，平均分成7份，鴨有同樣多的一個單位（同樣多的部分用了虛線上下對應(yīng)），還比鵝多了3份，也就是多了，所以10÷7=。

（三）整體感知，提煉內(nèi)在聯(lián)系

師：回顧今天所研究的內(nèi)容，你有什么發(fā)現(xiàn)？

引導(dǎo)學(xué)生觀察板書的4個問題和算式，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)了倍比問題兩個量（劃橫線的是單位一的量）的內(nèi)在聯(lián)系，并抽象得到了概括性的表達(dá)方式：

一個數(shù)a是另一個數(shù)b的（ ）？ ? → ? ?a÷b=（b≠0）

學(xué)生經(jīng)歷了分?jǐn)?shù)這樣的產(chǎn)生過程，知道了分?jǐn)?shù)不僅可以用來表示兩個量倍比的關(guān)系，還知道了求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾或者幾倍本質(zhì)上是一樣的，都可以用除法來計算，用分?jǐn)?shù)來表示倍比的結(jié)果。

三、設(shè)計題組，感知相同與差異

（一）比較分析，體會相同之處

分?jǐn)?shù)的意義第一課時，學(xué)生經(jīng)歷了分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的過程之一，通過“分物”得到分?jǐn)?shù);第二課時學(xué)生又經(jīng)歷了分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的另一個過程，通過兩個數(shù)的倍比來得到。為了讓學(xué)生對兩者有更深入的了解，教師在練習(xí)環(huán)節(jié)設(shè)計了一個題組，讓學(xué)生來進(jìn)行對比發(fā)現(xiàn)。

題組：六一節(jié)501班有5個男生，6個女生表演節(jié)目;張老師買了5米的紅綢帶分給表演的女生。①平均每個女生分到幾米紅綢帶？②男生人數(shù)是女生的幾分之幾？

經(jīng)過獨立計算，大部分學(xué)生得到了兩個這樣的算式：

①5÷6=（米） ?②5÷6=

教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生：請你再對比下這兩道題目，發(fā)現(xiàn)它們有什么相同點：

生：都可以用除法計算，而且這兩個問題的得數(shù)都與分?jǐn)?shù)有關(guān)。

（二）深入研究，發(fā)現(xiàn)不同之處

教師繼續(xù)拋磚引玉：請你再深入思考，發(fā)現(xiàn)它們有什么不同？

經(jīng)過小組討論，交流匯報，總結(jié)了3處不同：

組1：第一個算式的得數(shù)是帶數(shù)量單位的，表示具體長度。第二個得數(shù)沒有單位，表示一種關(guān)系。

組2：兩個分?jǐn)?shù)的意義不同：第一個分?jǐn)?shù)表示把5米的紅綢帶平均分成6份，每人分到米;第二個分?jǐn)?shù)表示男生人數(shù)是女生的六分之五。

組3：這兩個分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生不同：第一個米是分物得到的;第二個是兩個量的比較（教師強(qiáng)調(diào)補充：倍比）得到的。

這個環(huán)節(jié)教師放手讓學(xué)生觀察、比較、分析，進(jìn)一步強(qiáng)化了分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的兩種方式，鞏固了在不同情境下分?jǐn)?shù)可以表示不同的意義，為后續(xù)更加全面地認(rèn)識分?jǐn)?shù)和應(yīng)用分?jǐn)?shù)打下扎實的基礎(chǔ)。

（三）自主創(chuàng)編，形成分?jǐn)?shù)結(jié)構(gòu)

在練習(xí)環(huán)節(jié)，要求學(xué)生根據(jù)下面的算式創(chuàng)編兩道不同類型的應(yīng)用題：5÷3=。學(xué)生對分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生和意義有了足夠的感知，已經(jīng)能用除法解決不同情景的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。但是否還有部分學(xué)生對分?jǐn)?shù)的兩種來歷還模糊，于是設(shè)計了反向創(chuàng)編，以檢驗學(xué)生是否真的掌握。

這樣的單元整體設(shè)計，既是對分?jǐn)?shù)認(rèn)識的拓展——從以前表示部分與整體的關(guān)系，拓展到表示兩個不同數(shù)量之間的關(guān)系，又為六年級學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的打下基礎(chǔ)，意義重大。

參考文獻(xiàn)

[1 ] 教師教學(xué)用書五年級下冊，人民教育出版社，2017年

[2 ] 戴曙光，?數(shù)學(xué)，究竟怎么教?：華東師范大學(xué)出版社，2017年