一類帶散射阻尼項(xiàng)的波動方程解的破裂

杜嘉儀， 明 森， 韓 偉， 蘇業(yè)芹

(1. 中北大學(xué) 理學(xué)院， 山西 太原 030051； 2. 西南財經(jīng)大學(xué) 證券與期貨學(xué)院， 四川 成都 611130)

0 引 言

本文研究如下變系數(shù)波動方程的初邊值問題

(1)

非線性波動方程解的破裂和生命跨度估計的研究受到學(xué)者們越來越廣泛的關(guān)注[1-13].文獻(xiàn)[1]研究了波動方程utt-Δu=|u|p， 得到其解滿足Strauss臨界指數(shù)pS(n).當(dāng)n=1時，pS(1)=∞； 當(dāng)n≥2時，pS(n)是二次方程r(p,n)=-(n-1)p2+(n+1)p+2=0的正根.文獻(xiàn)[2]研究了波動方程utt-Δu=|ut|p的Cauchy問題， 得到其解具有Glassey臨界指數(shù)pG(n)=1+2/(n-1).文獻(xiàn)[3]研究了外區(qū)域上變系數(shù)波動方程utt-?i(aij(x)?ju)=f(u,ut)的初邊值問題， 其中f(u,ut)=|u|p， |ut|p.利用檢驗(yàn)函數(shù)方法與Kato引理， 得到解會在有限時間內(nèi)破裂以及生命跨度的上界估計.文獻(xiàn)[4]運(yùn)用Kato引理證明了帶組合非線性項(xiàng)的波動方程utt-Δu=|ut|p+|u|q解的破裂性態(tài)， 并給出解的生命跨度的上界估計.文獻(xiàn)[5]在Rn中研究了帶散射阻尼項(xiàng)與冪次非線性項(xiàng)的波動方程utt-Δu+μ(1+t)-βut=|u|p.利用迭代方法建立了解的生命跨度的上界估計.文獻(xiàn)[6]研究了帶導(dǎo)數(shù)非線性項(xiàng)的波動方程utt-Δu+μ(1+t)-βut=|ut|p， 利用檢驗(yàn)函數(shù)方法并構(gòu)造常微分不等式得到次臨界及臨界情形解的生命跨度估計.文獻(xiàn)[7]研究了關(guān)于帶組合非線性項(xiàng)的波動方程utt-Δu+μ(1+t)-βut=|ut|p+|u|q解的破裂性態(tài)及生命跨度估計， 但未涉及外區(qū)域與變系數(shù)的情形.其它相關(guān)研究見文獻(xiàn)[8-13].因此， 本文擬利用檢驗(yàn)函數(shù)方法和迭代方法來研究問題(1)解的破裂與生命跨度的上界估計.主要結(jié)果如下：

定理1設(shè)n≥1， 1

其中,C是與ε無關(guān)的正常數(shù).

定理2設(shè)n≥1，f(u,ut)=|ut|p.若問題(1)的解u滿足suppu?{(x,t)||x|≤t+R}， 則解的生命跨度估計為

定理3設(shè)f(u,ut)=|ut|p+|u|q.當(dāng)n=1時， 1

定理4設(shè)n≥2，f(u,ut)=|ut|p+|u|q.假設(shè)問題(1)的解u滿足suppu?{(x,t)||x|≤t+R}.如果p>2n/(n-1)， 1

T(ε)≤Cε-(q-1)/(q+1-n(q-1)).

注1本文將文獻(xiàn)[3-4]中利用Kato引理證明的問題推廣為帶散射阻尼項(xiàng)的變系數(shù)問題， 并且利用檢驗(yàn)函數(shù)方法和迭代方法給出解的生命跨度的上界估計. 將文獻(xiàn)[5-7]在Rn中研究的Cauchy問題推廣為外區(qū)域上的變系數(shù)問題， 并且當(dāng)n≥3，n=2，n=1時分別選取不同的檢驗(yàn)函數(shù)φ0(x)， 得到解的破裂性態(tài)并建立其生命跨度的上界估計.另外， 本文在f(u,ut)=|u|p，n=1時得到的解的生命跨度估計結(jié)果優(yōu)于文獻(xiàn)[9]中得到的結(jié)果.

下面給出定理證明過程中需用到的一些引理以及問題(1)弱解的定義.

引理1[3,8-9]設(shè)常數(shù)C，C1，C2>0.存在函數(shù)φ0(x)∈C2(Ωc)， 滿足

當(dāng)n≥3時，φ0(x)→1(|x|→∞)， 且0<φ0(x)<1， ?x∈Ωc.

當(dāng)n=2時，φ0(x)→+∞(|x|→∞)， 且0<φ0(x)

當(dāng)n=1時，φ0(x)→+∞(|x|→∞)， 且C1x<φ0(x)

引理2[3]存在函數(shù)φ1(x)∈C2(Ωc)， 滿足

并且0<φ1(x)

令ψ1(x,t)=e-tφ1(x)， 則有

(ψ1(x,t))t=-ψ1(x,t)，

(ψ1(x,t))tt=ψ1(x,t)=?j(aij(x)?iψ1(x,t)).(2)

引理3[3]令n≥1，p>1， 常數(shù)C>0.對于?t≥0， 有

C(t+R)n-1-(n-1)p/(2(p-1))，

下面給出問題(1)弱解的定義.

引入乘子m(t)=exp(μ(1+t)1-β/(1-β))， 則

0

m′(t)=μ(1+t)-βm(t).(4)

記

下面建立F1(t)的下界估計.

在式(3)中令φ(x,t)=ψ1(x,t)， 結(jié)合式(2)， 可知

計算得到

類似于文獻(xiàn)[5]中的分析， 可知F1(t)>0， ?t≥0. 所以

e2tF1(t)≥F1(0)+1/2m(0)Cu0,u1ε(e2t-1)，

F1(t)≥1/2m(0)Cu0,0ε>0， ?t≥0.(5)

1 定理1的證明

在式(3)中令φ(x,t)=φ0(x)， 利用引理1， 其中f(u,ut)=|u|p， 得到

所以

運(yùn)用Holder不等式、引理3及式(5)可得

C3εp(t+R)(n-1)(1-p/2)， (7)

式中：C3=C-(p-1)(1/2m(0)Cu0,0)p>0.結(jié)合式(6) 和式(7)， 則有

F0(t)≥C4εp(t+R)-(n-1)p/2tn+1， (8)

式中：C4=m(0)C3/(n(n+1))>0.

另一方面， 利用Holder不等式， 可得

1)n≥3情形. 由引理1知0<φ0(x)<1， 于是

將式(10)代入式(6)， 得到

式中：C6=C5m(0)>0. 下面運(yùn)用迭代方法計算.

假設(shè)

F0(t)≥Dj(t+R)-ajtbj， ?t≥0，j∈N*，(12)

式中：D1=C4εp，a1=(n-1)p/2，b1=n+1.將式(12) 代入式(11)得到

F0(t)≥Dj+1(t+R)-aj+1tbj+1，

aj=pj-1((n-1)p/2+n)-n，

bj=pj-1(n+1+2/(p-1))-2/(p-1)，

F0(t)≥(t+R)nt-2/(p-1)exp(pj-1J(t)).(13)

當(dāng)t>R時，J(t)≥log(D1tr(p,n)/2(p-1))-C8.所以，t>C9ε-2p(p-1)/r(p,n)時，J(t)>1.從而得到解的生命跨度估計為T(ε)≤Cε-2p(p-1)/r(p,n).

2)n=2情形.由引理1知0<φ0(x)

式中：C10=C-(p-1)[ln(T+R)]-(p-1)>0.將式(14)代入式(6)， 可得

類似于n≥3情形的證明， 從而得到解的生命跨度估計T(ε)≤Cε-2p(p-1)/r(p,2).

F0(t)≥C12εt.(16)

將式(16)代入式(15)， 則有F0(t)≥C13·εp(t+R)-(p-1)t3.

3)n=1情形.由引理1知C1x<φ0(x)

(C2/2)-(p-1)(t+R)-2(p-1)|F0(t)|p.(17)

將式(17)代入式(6)， 得到

式中：C14=(C2/2)-(p-1)m(0)>0.類似于n≥3情形的證明過程， 可得T(ε)≤Cε-p(p-1)/2.結(jié)合n=2 情形的證明過程可知T(ε)≤Cε-(p-1)/(3-p).注意到1

2 定理2的證明

在式(3)中令φ(x,t)=ψ1(x,t)， 結(jié)合式(2)， 此處f(u,ut)=|ut|p， 則有

計算得到

積分并利用式(5)， 可得

另一方面， 式(19)兩邊同乘以m(t)， 得到

結(jié)合式(20)和式(21)， 可知

運(yùn)用Holder不等式、引理3、 式(4)和式(22)， 可得

根據(jù)Riccati方程的性質(zhì)可知， 當(dāng)(n-1)(p-1)/2≤1， 即1

3 定理3的證明

首先建立F2(t)的下界估計.

類似于定理2的證明， 將|ut|p替換為|ut|p+|u|q， 計算可得

令

F2(t)≥m(0)ε/2C0,u1>0.(25)

類似于定理1的證明， 將|u|p替換為|ut|p+|u|q， 計算可得

利用Holder不等式、引理3及式(25)， 得到

C16εp(t+R)(n-1)(1-p/2).(27)

結(jié)合式(26)和式(27)， 則有

F0(t)≥C17εp(t+R)-(n-1)p/2tn+1.(28)

另一方面， 利用Holder不等式， 可得

類似于定理1的證明， 通過選取不同的φ0(x)可知， 當(dāng)n≥2時， 生命跨度估計為T(ε)≤Cε-p(q-1)/(2q+2-(n-1)p(q-1))； 當(dāng)n=1時，T(ε)≤Cε-p(q-1)/2.

4 定理4的證明